基于二维分岔的超空泡航行体非线性动力学特性分析

吕一品,熊天红,易文俊,吴锦涛

(南京理工大学 瞬态物理国家重点实验室,江苏 南京 210094)

基于二维分岔的超空泡航行体非线性动力学特性分析

吕一品,熊天红,易文俊,吴锦涛

(南京理工大学 瞬态物理国家重点实验室,江苏 南京 210094)

基于二维分岔图,利用相轨图、时域仿真图、Lyapunov指数谱等动力学分析工具分析了超空泡航行体复杂的动力学行为,探讨了超空泡航行体运动状态随尾翼偏转角反馈控制增益及空化数的变化规律,确定了航行体稳定运动的条件和参数范围。结果表明:随着参数的变化,超空泡航行体的动力学行为中存在分岔、混沌、周期窗等丰富的非线性物理现象;合理调整尾翼偏转角,能够有效抑制航行体的振荡与冲击。研究结果对超空泡航行体控制器的设计具有重要的指导意义。

超空泡航行体;非线性动力学;二维分岔图;尾翼偏转角;空化数

超空泡是由气泡形成的、几乎能完全包绕水下运动物体的气穴空腔。当水下航行体与周围水体之间发生高速相对运动时,由于静压力急速下降,航行体表面附近发生空化,迅速形成覆盖航行体大部分甚至全部表面的超空泡,大大降低了航行体的阻力系数,提高了航行体的运动速度和距离[1-3]。然而,航行体在水下高速航行时,浮力主要作用在与水接触的头部空化器和尾翼上,空化器和尾翼的偏转角影响超空泡的尺寸及阻力的大小,进而影响航行体运动的稳定性。同时,尾部与空泡壁接触时会产生复杂的非线性滑行力,滑行力将导致航行体在运动过程中产生有害的振动、冲击、甚至混沌振荡等非线性动力学现象[4-5]。

为了有效控制超空泡航行体的运动姿态,减少航行体与空泡壁碰撞产生的冲击,国内外学者通常选择头部空化器偏转角和尾翼偏转角作为反馈控制律来保证航行体在水下的稳定运动[6-8]。然而,超空泡航行体的稳定运动受多个系统参数影响,空化数、空化器偏转角、尾翼偏转角等参数相互耦合和相互制约,这些系统参数变化所引起的非线性动力学行为是超空泡航行体控制器设计的重要依据。近年来,国内外已有相关研究成果发表,白涛[9]等为保证水下高速运动体在水中能稳定地高速运动,使用分叉法分析运动体的运动稳定性和稳定运动的空化数取值区域;Lin[10]等研究了当空化数在合适的范围内变化时超空泡航行体动力学特性的变化规律;文献[11]中呈现了当空化器偏转角变化时超空泡系统产生的动力学行为。总体来说,有关尾翼偏转角的变化对超空泡非线性动力学特性影响的研究不多见。本文将以尾翼偏转角和空化数为可变参数来探讨水下超空泡航行体的非线性动力学特性,为下一步超空泡航行体控制器的设计提供理论研究基础。

基于超空泡航行体四维动力学模型,利用二维分岔图呈现了系统随空化数和尾翼偏转角反馈控制增益变化所产生的非线性物理现象,通过分岔图、相轨图、Lyapunov指数谱等非线性动力学工具,分析空化数与尾翼偏转角对超空泡航行体非线性动力学特性的影响,并对航行体在不同参数下的运动状态进行仿真。

1 水下超空泡航行体特性

1.1 空化数的描述

空化数是空泡流的基本相似参数,通过改变空化数的大小可以改变流场的空化状态,当空化数降到小于起始空化数时,流场就由非空化状态变为空化状态,进一步降低空化数,在一定条件下流场就可能由气泡空化状态发展为局部附体空泡状态,继而发展到超空泡状态[3]。由此可知,空化数是超空化技术的重要技术指标之一。空化数σ是描述空化起始与状态的一个无因次参数,其表达式为

(1)

式中:p∞为外压,pc为空泡内压,ρ为水的密度,v为航行体在纵平面内头部空化器的合速度[9]。

1.2 水下超空泡航行体受力分析

超空泡航行体的外形结构及受力分析如图1所示,航行体为回转体,头部为空化器,前部为截头锥体,中部为柱体,尾部为扩张围裙式尾翼。

作用在航行体上的力主要有:空化器上的升力Fc、尾翼上的升力Ff、航行体质心位置的重力G,以及滑行力Fp,航行体头部空化器受力表达式[12]为

(2)

式中:Rn为空化器半径;αc为航行体的攻角,即空化器偏转角δc和航行体速度v的夹角;阻力系数Cx=Cx0(1+σ),Cx0=0.82。

同理可得,航行体尾翼所受的升力为[12]

(3)

式中:n为尾翼效率,即尾翼浸入水中的长度与尾翼总长度的比值;αf为尾翼偏转角δe与航行体速度v的夹角。

当航行体在超空泡的包裹下航行时,由于航行体与空泡的相对位置发生变化,其尾部与空泡壁接触时会产生复杂的非线性滑行力,从而导致航行体产生振动与冲击。滑行力表达式[13]为

(4)

式中:Rc为空泡半径,R为航行体半径,R′=Rc-R,如图2所示,h为航行体尾部探出空泡的深度,称作浸没深度,其表达式为[13]

(5)

式中:wth=(Rc-R)v/L为临界分界点,L为航行体长度。由式(5)可知,当|w|>wth时,h>0,尾部穿过空泡浸入了水中,产生了滑行力;|w|

航行体中心线与空泡中心线之间的几何角为浸没角α,表达式为[13]

(6)

1.3 水下超空泡航行体动力学建模

建模选取的体坐标系原点位于航行体头部圆盘形空化器顶端面的圆心,x轴与航行体对称轴重合指向前,z轴垂直x轴指向下。z轴方向的速度是w,v表示纵平面内航行体空化器的合速度,θ为航行体俯仰角,q为体坐标系下的俯仰角速度,航行体深度为z。上述变量有如下关系:

(7)

通过分析计算空化器和尾部的流体动力,再考虑航行体的重力就可得到航行体全部外力和力矩,基于刚体动力学理论可以推出[14]:

(8)

式中:η为模型平均密度与水密度的比值,C为常量,表达式为C=Cx(Rn/R)2/2;重力G可以简化为[12]

(9)

选取参数η=2,n=0.5,Rn=0.019 1m,R=0.050 8m,L=1.8m。以航行体的深度z、垂直速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q为状态变量,联立式(7)～式(9),可得到以尾翼偏转角反馈增益k和空化数σ为可变参数的规范的系统动力学方程式:

(10)

式中:a22=0.198 2v(1+σ),a24=0.064vσ+1.064v,a42=-0.171 9v(1+σ),a44=-0.075 6v(1+σ),b21=5.998 7[1+(1/σ)],b22=27.442 8[1+(1/σ)],b41=-7.088 6[1+(1/σ)],b42=-21.913 0[1+(1/σ)],d2=-1.226 6,d4=1.449 2。

2 水下超空泡航行体的二维分岔分析

基于水下超空泡航行体的四维动力学模型(10),保持其他参数取值不变,以k和σ为可变参数,分析在空化数有效范围σ∈[0.019 8,0.036 8]内[10],尾翼偏转角δe的反馈控制增益k对航行体动力学的影响,随机地选取初始条件,运用Matlab软件编程,依照Lyapunov稳定性理论[15]将方程的稳定解、周期解、混沌解用不同的颜色表示出来,给出了(σ,k)二维分岔图。

在(σ,k)相空间上,系统的动力学行为分布情况如图3所示,水平切面是系统随空化数σ变化的分岔图;竖直切面是系统随尾翼偏转角控制增益k变化的分岔图。利用二维分岔图能够确定超空泡航行体在不同运动状态下对应的参数取值范围。图中浅灰色部分表示航行体的稳定运动区域,在此区域内任取一点(σ,k),航行体在该点对应参数的作用下能够实现稳定航行;图中深灰色部分表示航行体周期运动区域,参数在此范围内取值时,航行体的运动则会出现周期振荡;图中黑色部分表示系统的混沌区域,在此范围内航行体则会出现剧烈的振动与冲击,进而倾覆。

当系统由稳定状态切换到周期状态时,会引发Hopf分岔[15],所以图中浅灰色区域与深灰色区域的交界线即稳定状态与周期状态的临界切换线,被称为Hopf分岔线。相应地,深灰色区域与黑色区域的边界表示周期状态与混沌状态的切换,在此边界处存在切分岔或倍周期分岔等物理现象。

二维分岔图较为完整地展现了超空泡系统随参数变化的动力学分布。可见,σ∈[0.019 8,0.031 08]时,在[-4.726,33.08]范围内调节k的取值均能够有效实现超空泡航行体的稳定航行,对其稳定性控制具有指导意义。

3 水下超空泡航行体的非线性动力学

由超空泡航行体的受力分析可知,只有滑行力Fp是关于垂直速度w的非线性力,其他都是线性力。复杂的非线性力Fp作用于航行体尾部,往往导致航行体的运动出现振动与冲击,甚至倾覆。从非线性的角度对超空泡航行体系统进行分析,探讨在航行过程中产生的非线性物理现象,可以进一步了解超空泡航行体的运动特性,为其稳定性控制做好准备工作。

目前用于刻画非线性运动特征的方法通常有相轨图、分岔图、Lyapunov指数谱等。相轨图是系统运动轨迹的记录,反映出系统状态的变化情况,是观察系统中动力学行为的最直接的方法[15]。分岔图是当系统参数变化时,其庞加莱映射在某一坐标轴上的投影,在分岔图中可以很清晰地描绘出系统性能随参数变化的特征[15]。李雅普诺夫(Lyapunov)指数沿某一方向取值的正负和大小,表示长时间系统在吸引子中相邻轨道沿该方向平均发散或收敛的快慢程度[15]。

3.1 空化数对超空泡航行体非线性动力学特性的影响

观察图3可以发现,在k=1处作水平切面可以得到同时具有稳定、周期、混沌3种状态的分岔图。k=1时,即δe=θ,δc=15z-30θ-0.3q时,系统状态变量w随空化数σ变化的分岔情况如图4所示。

当系统处于小空化数σ∈[0.019 8,0.023 83]时,系统的运动轨迹被吸引到图中加粗的稳定平衡点上,在此范围内,求解式(5)和式(10),航行体的垂直速度w总是大于临界值wth,故浸没深度h总是大于0,航行体尾部一直处于浸入水中的状态,由空化器的升力、尾翼的升力以及滑行力共同平衡航行体的重力,使之稳定运动;随着σ的增加,σ=0.023 83时出现Hopf分岔,此时w=wth=(Rc-R)v/L=2.86 m/s,导致稳定平衡点变成了不稳定平衡点,σ∈[0.023 83,0.031 79]时,航行体平衡态失稳产生周期振荡;在σ=0.031 82处,出现了一个分岔,形成了周期3轨道,之后一系列倍周期分岔导致σ=0.032 66处出现了混沌现象。图5是图4在0.032 5<σ<0.033 0范围的放大,展示了丰富多样的分岔行为,σ=0.032 66时,周期3轨道经历倍周期分岔后合并成一个巨大的混沌吸引子,这种行为被称为混沌危机[13];在σ=0.032 72处,混沌状态转变到周期状态,发生切分岔,切分岔引起阵发混沌,形成了周期6窗,并在σ=0.032 73处,窗口结束,又突变到混沌状态。当σ=0.032 77时,系统再由混沌状态突变到周期轨道,形成了周期5窗,在σ=0.032 79处,窗口结束,次级混沌带与不稳定的周期轨道相遇,再次引发混沌危机,突变为混沌宽带。σ=0.032 84时,该混沌宽带又突变成周期2轨道。由图4所示,系统在σ=0.033 37处由周期2轨道跳变到周期1轨道,而后沿着该轨道作周期运动。

令k=1,即控制律为δe=θ,δc=15z-30θ-0.3q,选择σ=0.022,保持航行体其他参数均不变,图6(a)为此时超空泡航行体的相轨在w-q平面上的投影,状态变量初始时刻的值较大,在反馈控制律的作用下逐渐被吸引到一个平衡点上,此点为稳定平衡点,系统稳定运动;图6(b)为随时间变化的Lyapunov指数谱,4个Lyapunov指数:Ly1=-14.67,Ly2=-15.23,Ly3=-25.63,Ly4=-26.21,均小于0。根据Lyapunov稳定性理论[15],可判断系统处于稳定状态。该情况对应于图3中浅灰色稳定区域的点(0.022,1),同时也验证了在稳定范围σ∈[0.019 8,0.023 83]时的分岔分析。

保持k=1,选择σ=0.030,此时系统轨迹在相平面w-q上的投影为极限环,如图7(a)所示,这表明系统处于周期振荡的运动状态。图7(b)为相对应的Lyapunov指数谱,Ly1=0.192 3,Ly2=-13.75,Ly3=-16.41,Ly4=-37.51,其中,Ly1近似零值,Ly2,Ly3,Ly4均为负值,根据Lyapunov稳定性理论[15],系统周期振荡。该情况对应于图3中深灰色周期区域的点(0.03,1),同时也验证了在图4中σ∈[0.023 83,0.031 79]范围的分岔分析。

保持k=1,选择σ=0.032 7,系统动力学行为如图8所示。系统相轨迹在平面w-q上的投影为混沌吸引子,如图8(a)所示,此时航行体具有复杂的非线性动力学行为。

图8(b)为对应的Lyapunov指数谱,Ly1=11.1,Ly2=-1.772,Ly3=-24.67,Ly4=-37.75,可以发现,Ly1>0,其他3个Lyapunov指数均小于0,根据Lyapunov稳定性理论[15],系统处于混沌状态,航行体运动失稳。该情况对应于图3中黑色混沌区域的点(0.0327,1),同时也验证了图4在σ∈[0.032 66,0.032 84]范围的分岔分析。

3.2 尾翼偏转角对超空泡航行体非线性动力特性的影响

将空化数σ=0.032 6代入式(10),可得到以尾翼偏转角反馈控制增益k为可变参数的超空泡航行体动力学方程,基于该方程研究尾翼偏转角对超空泡航行体非线性动力学的影响。

当σ=0.0326,控制律为δe=kθ,δc=15z-30θ-0.3q时,w随k变化的分岔情况如图9所示,表现出了丰富多样的分岔行为,k∈[-100,-71.5]时,3条稳定的周期轨道说明系统处于周期运动的状态,接着3条轨道在k=-71.8附近分别发生了分岔,一个形成了周期3轨道,一个没有形成稳定的运动轨道,另一个形成了周期2轨道,随着k值的增大,这些轨道在k=-50.5附近均发生分岔,形成了各自的混沌带,混沌带在k=-48.1处发生切分岔,形成了2个周期3窗和一个周期1窗,之后在k=-45.9附近由倍周期分岔进入混沌状态,短暂的混沌状态结束后,又突变到周期2轨道,当k=-21.2时,周期2轨道发生分岔,一个轨道分岔形成一条稳定的周期轨道,另一条轨道分岔形成2条稳定的周期轨道,这3条轨道在k=-14.6附近发生倍周期分岔并分别形成各自的混沌带,混沌带在k=-7.8附近突变到周期2轨道。随着k的进一步增大,在k=-0.5处,系统由周期状态进入混沌状态,当k=0.6时,发生切分岔,形成了周期3窗,之后在k=7.1处突变成混沌状态,紧接着又回到了周期轨道,直到k=22.6时系统发散。

当σ=0.032 6时,选择k=5,即系统控制律为δe=5θ,δc=15z-30θ-0.3q,图10(a)为此时系统的相轨,形成了极限环,航行体的运动处于周期振荡状态。图10(b)为此时对应的Lyapunov指数谱,分别为Ly1=0.216 9,Ly2=-25.84,Ly3=-28.11,Ly4=-31.74,Ly1近似零值,Ly2，Ly3,Ly4均为负值,根据Lyapunov稳定性理论[15],航行体周期振荡。该情况对应于图3中黑色周期区域的点(0.032 6,5),同时也验证了上述分岔分析。

保持σ=0.032 6,令k=7.1,此时系统的相轨图和Lyapunov指数谱对应于图11(a)和图11(b)。

如图11(a)所示,形成了一个混沌吸引子,航行体的运动具有复杂的非线性动力学行为;如图11(b)所示,Ly1=10.92,Ly2=-2.29,Ly3=-24.28,Ly4=-38.62,其中Ly1>0,其他3个均小于0,根据Lyapunov稳定性理论[15],系统处于混沌状态。该情况对应于二维分岔图中黑色混沌区域的点(0.032 6,7.1),同时也符合上述分岔分析的结果。

4 超空泡航行体运动特性分析

由上节的分析讨论可知,当空化数σ=0.022,尾翼偏转角的控制增益k=1时,航行体稳定运动。此时时域响应情况如图12所示,纵向深度z、垂直速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q在控制律的作用下被吸引到平衡点S1(0.080 3,3.336 6,0.038 1,0)上。由式(5)可知,wth=2.82 m/s,如图12(a)所示,w=3.25 m/s,w>wth,h>0。图12(c)显示超空泡航行体尾部伸出空泡长度为0.036 3 m,相应的滑行力Fp=16.68 N,浸没深度h符合要求,滑行力稳定。此时超空泡航行体在空泡内的位置和姿态固定,头部的空化器和尾部的滑行力共同维持航行体的平衡,航行体处于小攻角斜向运动的稳定航行状态。

由上节的分析讨论可知,当σ=0.032 6,k=5或σ=0.03,k=1时,系统运动的相轨迹图均为极限环,航行体均处于周期运动状态。以σ=0.03,k=1为例,系统各个变量的时域响应情况如图13所示,纵向深度z、垂直速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q以平衡点(0.048 4,1.679 3,0.022 4,0)为中心周期振荡;浸没深度h时而等于0,时而突变到0.095 6 m,产生的滑行力Fp在[0,73.64]之间周期振荡,此现象是由于航行体受重力的影响,尾部下端穿过空泡伸入水中,产生滑行力,接着在滑行力的作用下尾部又被弹回空泡中,如此反复,该现象被称为“尾击现象”[13]。由此也表明此时航行体处于周期运动状态。

由上节的分析讨论可知,当σ=0.032 6,k=7.1或σ=0.032 7,k=1时,系统运动的相轨迹图均为混沌吸引子。以σ=0.032 6,k=7.1为例,时域响应情况如图14所示,超空泡航行体发射后,状态变量z,w,θ和q随着时间变化发生了剧烈的非周期振荡,航行体的运动将会失稳。由图14(c)可知,由于“尾击现象”的出现,h和Fp也在随时间不断变化,h最高达到了0.22 m,该长度超过了航行体的直径,对应的Fp接近200 N,在实际运动中,航行体将失去稳定进而倾覆,因此必须进行有效的控制以避免这种情况发生。

5 结束语

基于二维分岔分析,利用多种非线性动力学分析工具,分析了尾翼偏转角和空化数对超空泡航行体非线性动力学的影响,得到以下结论:①运用时域仿真、相轨图、分岔图等动力学分析工具可以准确地分析超空泡系统在参数影响下的动力学行为;②超空泡航行体的运行轨迹有着复杂的动力学行为,随着系统参数的变化,出现了混沌、分岔和周期窗等非线性现象;③二维分岔图能够确定航行体在不同运动状态下对应的参数范围,根据二维分岔图可以设置合适的控制参数,从而有效控制航行体尾翼的偏转,实现超空泡航行体的稳定航行,为航行体控制器的设计提供理论研究基础。

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Nonlinear Dynamic Characteristics of Supercavitating Vehicle Based on Two-dimensional Bifurcation

LV Yi-pin,XIONG Tian-hong,YI Wen-jun,WU Jin-tao

(National Key Laboratory of Transient Physics,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

Based on two-dimensional bifurcation diagram,the complex dynamic behaviors of supercavitating vehicles were analyzed by using dynamic analysis tools,such as phase track diagram,time-domain simulation diagram,Lyapunov exponent spectrum.The motion of supercavitating vehicle changing with feedback control gain of the tail deflection angle and cavitation numbers was explored,and the conditions and ranges of variable parameters for the stable motion of vehicle were determined.The results show that some rich nonlinear phenomena varying with variable parameters,such as bifurcations,period windows and chaos can be found.Vibrations and shocks can be suppressed effectively by reasonably adjusting the tail deflection angle.The research result has an important guiding significance to the design of the controller of supercavitating vehicle.

supercavitating vehicle;nonlinear dynamics;two-dimensional bifurcation diagram;tail deflection angle;cavitation number

2017-01-14

国家自然科学基金项目(11402116,11472136);中央高校基本科研业务费专项资金资助(30910612203)

吕一品(1993- ),女,博士研究生,研究方向为超空泡航行体非线性动力学特性与稳定控制研究。E-mail:YipinLv623@126.com。

熊天红(1977- ),女,讲师,博士,研究方向为超空泡减阻技术实验与理论研究。E-mail:xiongtianhong688@163.com。

TV131.2;O322

A

1004-499X(2017)02-0039-08