例谈参数的分离技巧

文︳曾益俊

例谈参数的分离技巧

文︳曾益俊

求参数的取值范围问题是中学数学中常见的问题，既是教学重点、难点，也是高考的热点。笔者在教学实践中发现，把参数从方程或不等式中分离出来，使问题转化为求函数最值或值域问题，或者将方程或不等式中的未知变量与参数进行换位思考，把问题看成以参数为未知变量的方程或不等式，能够使问题简单。

一、求方程中参数的取值范围

例1已知关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实根，求实数a的取值范围。

分析：方程可化为：（2x）2+a2x+a+1=0，转化为关于2x的二次方程，则方程的判别式驻逸0，以及有正实数根，从而建立不等式组求解。观察题目中的参数a是一次，则尝试将a分离出来，变为f（a）形式，也许会更好。

所以f（x）的值域为（-肄，2-22姨］，故a的取值范围是

例2a取何值时，方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（ax）有一解，两解，无解？

分析：原方程可化为：x2-5x+a+3=0（1＜x＜3），然后根据一元二次方程讨论何时有一解，两解，无解。这样的话，必会带来比较繁杂的解答。由于参数a是一次，则可仿照例1的方式，分离参数a试试。

解：原方程可转化为：（x-1）（3-x）=a-x（1＜ x＜3），分离参数，得

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二、求不等式中参数的取值范围

分析：对x，y取一些值试试，看能否得出a取值的大致范围。

例4如果x∈［0，-肄），不等式x2+（p-1）x+1逸0恒成立，求实数p的取值范围。

分析：运用二次函数f（x）=x2+（p-1）x+1思考的话，对x＜0时如何剔除？一时难有好的办法，换个角度思考，分离出参数p试试。

解：原不等式可化为：xp逸-x2+x-1。

（1）当x=0时，0逸-1恒成立；

由（1）（2）可知：p逸-1。

三、求不等式中参数的取值范围

例5对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求x的取值范围。

分析：已知p∈［0，4］，如果能够建立一个关于p为变量的一次函数关系式，则容易解决。

解：把本题的不等式看作关于p的不等式进行变量转换，则问题转化为关于p的不等式：（x-1）p+ x2-4x+3＞0在0≤p≤4时恒成立。

令f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，则

解得：x＞3或x＜-1。

故实数x的取值范围是{x|x＜-1或x＞3}。

综上所述，当参数的指数是一次时，参数的分离与转换是求解不等式或方程中参数取值范围的好方法。它不仅运算简洁，思路清晰，而且对所讨论的问题结构明明白白，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。这样处理，能加深学生对方程、不等式、函数之间的关系的理解，也能培养学生的创造性思维能力。

（作者单位：邵东县三中）