基于反比例函数的变步长雷达自适应滤波算法

王慧杰，李小兵，于明秋

(空军工程大学防空反导学院，陕西 西安 710051)

基于反比例函数的变步长雷达自适应滤波算法

王慧杰，李小兵，于明秋

(空军工程大学防空反导学院，陕西 西安 710051)

针对由雷达探测精度带来的测距误差、测方位误差和测高误差对导航定位的影响，分析了影响雷达探测精度的误差因素，提出了基于反比例函数的变步长自适应滤波算法，该算法通过建立步长与信号采样时间的k次幂的反比例函数关系，使得稳态误差强制收敛，有效减小了雷达探测误差对导航定位的影响。实例仿真结果表明，该算法不仅能够抑制随雷达探测距离的增大而线性递增的雷达探测误差，而且在实验条件和稳态误差标准完全相同的情况下，有更快的收敛速度和更小的稳态误差，为导航定位中雷达数据处理提供了理论和技术参考。

雷达探测精度；反比例函数；自适应滤波

0 引言

在地面防空作战时，对高动态载体导航定位一般采用雷达和惯性导航系统，而雷达和惯性导航系统有着相似的缺点，即探测或者惯导解算误差随着距离的增大而线性递增，其精度和目标与雷达之间的距离成反比。本文针对雷达探测精度进行了分析与建模，并对产生的导航定位数据进行滤波。20世纪40年代到60年代，维纳和卡尔曼在预先知道输入信号和噪声信号的统计特性的情况下分别设计了维纳滤波器和卡尔曼滤波器；然而在实际应用中，这些先验知识很难预先得到的。因此，不需要预先知道输入信号和噪声信号的统计特性就能够实现最优滤波的自适应滤波器应运而生[1]。自适应滤波通过自动更新权值以达到最优效果，在工程实践中已经得到广泛地发展和应用[2]。但传统的自适应滤波算法是固定步长的，不仅收敛速度慢，而且收敛速度和稳态误差这两个量存在矛盾关系，因此提出了变步长自适应滤波算法。国内外大多数文献对变步长自适应滤波算法改进一般是通过与误差信号建立函数关系，如Sristi P[3]等提出的SSVS-LMS算法，高鹰[4]提出的一类变步长LMS自适应滤波算法及苗可可[5]在研究射电天文射频干扰消除时对高鹰提出的算法进行的改进。这些算法具有较好的收敛性能和稳态误差性能，但是步长在算法达到稳态时仍然具有较大波动，造成稳态误差波动较大，不利于指导工程实践。针对雷达导航的误差控制问题，本文提出了基于反比例函数的变步长自适应滤波算法。

1 雷达探测精度分析与建模

雷达的探测精度受很多因素的影响，一般可以从系统误差和随机误差的角度对其进行分析。有些系统误差可以通过一些校正方式消除，有些则需要对其进行建模分析。误差一般来源于测距、测方位和测高三个方面，下面针对这三个方面因素进行分析。

1.1 雷达测距误差分析

雷达测距精度标准一般是10 m级至100 m级，由于误差的种类繁多，不能一一分析，这里对均方根误差在1 m以下的予以忽略。这时测距误差的系统误差主要是大气折射引起延迟的平均值、接收机内回波延迟残差，随机误差主要是机内热噪声误差、采样误差[6]。

1)大气折射引起延迟的平均值为

(1)

式中，E是仰角，Ns是地表折射率，h是探测目标的高度，R为探测目标的斜离。在典型值即Ns=313，R=200～300 km，h=10～20 km时，Δrf≈40m。

2)接收机内回波延迟残差

接收机内回波延迟为

(2)

式中，m为放大级数，B为接收总带宽。m=10(典型值)时，Δtd≈3/B。经仔细校准后，接收机内回波延迟残差约为

(3)

3)机内热噪声误差为

(4)

式中，τ是脉冲宽度；(S/N)0是单个脉冲的输出信噪比；n是脉冲数，通常定义在天线扫过目标时波束宽度为 3 dB内。Δrn与输出信噪比有很大关系，而输出信噪比与探测目标的斜距有关。

以Swelling Ⅰ型目标为例，当目标在最大作用距离Rm0.5(检测概率0.5，虚警概率10-6)时，n=20，(S/N)0=4.2 dB =2.25；当目标在最大作用距离Rm0.8(检测概率0.8，虚警概率10-6)时，(S/N)0=9.2 dB=8.2[7]。

4)采样误差

由距离采样引起的采样误差为

(5)

通过上述分析可以得到测距误差的总值为

(6)

1.2 雷达测方位误差分析

对于雷达测方位时存在的系统误差，如零点误差可以通过光学校正，天线波束指向误差可以通过电测校正[7]，因此这里只分析测方位时的随机误差，即噪声误差和采样误差。

1)噪声误差为

(7)

式中，θB为天线波束3 dB宽度，km为雷达角误差检测曲线斜率[6]，通常km=1.2～2。同Δrn相似，Δθn也与输出信噪比密切相关。

2)采样误差为

(8)

n，θB与前面定义一样，从采样误差公式可以看出，测方位角采样误差与天线波束宽度和脉冲数有关。由于雷达在进行仰角扫描时，在低仰角脉冲数较大(n>5)，高仰角脉冲数较小(只有2乃至是1)，因此测方位角采样误差在不同仰角时有不同值[7]。

由于在使用单脉冲法、波束间比幅法量测方位时，没有目标的起伏误差[7]，这里进行简化不予考虑。

由以上分析可以得到总的测方位误差值为

(9)

1.3 雷达测高误差分析

测量目标的高度可以对目标斜距和仰角进行计算，计算公式为[7]

(10)

式中，φ是指向目标的仰角；ρ是等效地球半径，即ρ=kR0；R0是等效地球半径；k在标准大气折射情况下等于4/3；H0是雷达天线中心的高度。

由式(10)可推出高度测高误差均方值为

(11)

式中，σR为测距均方差，即前面的ΔR；σφ为测仰角均方差。

测仰角时主要关注随机误差中的机内噪声误差、相邻通道幅度不一致误差和多效应误差[7]。

1)机内噪声误差

采用单脉冲法

(12)

2)相邻通道幅度不一致误差

用单脉冲幅度比较法

(13)

式中，θ1是左右波束的夹角，K是两路不平衡系数。

3)多径效应误差[8]

采用单脉冲法

(14)

通过上述分析可以得到测仰角误差的总值为

(15)

2 基于反比例函数的变步长自适应滤波算法

2.1 最小均方误差算法

自适应滤波算法有两类最基本的算法：一类是基于最小均方误差准则的最小均方差算法(LMS)；一类是基于牛顿优化算法的递归最小二乘算法(RLS)。根据高动态载体导航定位实时性和稳定性的要求，本文以最小均方差算法为基础进行改进。LMS算法基本原理如图1所示。

设输入信号为x，它是由当前第k个时刻算起，向前选取m个时刻的信号构成，即

x(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-m+1)]

(16)

其加权矢量为：

w=[w1,w2,…,wm]T

(17)

滤波器的输出为：

(18)

误差信号为：

e(k)=d(k)-y(k)

(19)

优化目标函数为：

J(k)=E(e(k)2)=E((d(k)-xT(k)w)2)

(20)

权值更新为：

w(k+1)=w(k)+ux(k)e(k)

(21)

0

(22)

式中，u为步长，λmax为输入矢量的自相关矩阵最大特征值。

文献[4]提出了一类变步长LMS自适应滤波算法，文献[5]对其进行了改进，其公式分别为

(23)

(24)

这一类变步长算法的特点是，在初始收敛阶段取较大步长以获得较短的收敛时间；在算法收敛后取较小的步长以获得较小的稳态误差。改进的变步长LMS算法在一定区间里随参数λ1的增大，收敛时间逐渐缩短，误差失调量逐渐减小，但λ1值过大时算法将失去收敛性；同样，在一定区间里，随着参数λ2的增大，算法的收敛时间逐渐缩短，但λ2增大到一定程度后，算法的收敛速度与稳态失调量同步增加，导致λ2取值过大时算法发散[5]。但这一类算法在收敛后仍有较大的稳态误差。

2.2 基于反比例函数的变步长自适应滤波算法

考虑到在初始收敛阶段收敛因子应具有较大取值，以获得较短的收敛时间；在算法收敛后，则要保持较小的收敛因子，以获得很小的稳态误差。由此，提出基于反比例函数的变步长自适应滤波算法。t表示信号的采样时间。

设u的变化公式为

u=a+b/tk

(25)

u与tk成反比例函数，且k>0，代入始端和末端条件

(26)

解得

(27)

因此

(28)

由式(28)可以得出，步长即收敛因子u的值与幂数k、初值u0和末端值un有关。经过大量仿真验证，u0的取值与幂数k有关，k的取值越大，u0的有效值越靠近输入信号自相关矩阵的最大特征值，但同时也使得稳态误差随之增大，收敛时间越来越长；un的作用在于能在一定程度上限制稳态误差发散。

3 实例仿真

首先对雷达定位数据进行仿真。仿真参数设计如下：压缩后脉冲宽度为0.4μs；接收系统波束指向处单个脉冲的输出信噪比为8.2；天线扫过目标时在波束3dB宽度内的脉冲数为24；接收机放大级数m=10；接收总带宽1 MHz；假定设计的天线水平波束3 dB宽度为1.8°；雷达角误差检测曲线斜率为1.6；两路不平衡系数为1.05；地面反射系数为0.5；地面反射处的波束增益15 dB；采用轨迹发生器生成标准轨迹。得到纬度/经度/高程误差随雷达探测距离的变化如图2所示。

从图2可以看出，纬度、经度和高程误差随雷达探测距离的增大而线性递增，在探测末段纬度误差和经度误差达到了2×10-3°，高程误差达到了500 m。

3.1 反比例函数的参数确定

以高程误差作为示例，分析幂数k、初值u0和末端值un取值对高程误差的影响，以确定反比例函数的取值。由于末段变化趋势变得非常缓慢，此时un取到0也是可以的，适当提高un的取值可以使调节留有余度，在一定程度上可以限制稳态误差发散。对输入信号计算其自相关矩阵的最大特征值为1.46×103。

在初值u0=2.3和末端值un=0的情况下，滤波后的高程误差随k值的变化如图3所示。

从图3不同k值情况下，高程误差的变化可以看出，随着k值的增大，误差的收敛时间逐渐延长，超调量增加。

在k=1和末端值un=0固定情况下，滤波后的高程误差随初值u0的变化如图4所示。

从图4不同u0值情况下，高程误差的变化可以看出，随着u0值的递增，误差的收敛时间缩短，超调量减小，但稳态误差相对增加。

表1列出了k=0.5,1,2的情况下，u0的取值范围。

kk=0 5k=1k=2u0u0≤0 9u0≤5 5u0≤238

从表1结果可以看出，k值越大，u0的有效值越靠近输入矢量的自相关矩阵最大特征值。

为验证该算法的有效性，将该算法与改进的变步长LMS算法进行对比。

3.2 对比分析

下面对比分析中，当判定标准为稳态误差小于10 m的情况下，基于反比例函数的变步长自适应滤波算法的参数取值为k=1，u0=2.3，un=0.001；改进的变步长LMS算法的参数取值λ1=1 000，λ2=500。对比结果如图5所示。

从图5两种算法的仿真结果对比分析可以得出，在实验条件和稳态误差标准完全相同的情况下，基于反比例函数的变步长自适应滤波算法的收敛速度比改进的变步长LMS算法要快，且更快达到稳定值，同时其稳态误差大大减小，提高了雷达导航的精度，足以证明该算法的优越性。

4 结论

本文提出了基于反比例函数的变步长自适应滤波算法。该算法通过建立步长与信号采样时间的k次幂的反比例函数关系，使得稳态误差强制收敛，有效减小了雷达探测误差对导航定位的影响。仿真实例结果表明该算法不仅能够抑制随雷达探测距离的增大而线性递增的雷达探测误差，而且在实验条件和稳态误差标准完全相同的情况下，有更快的收敛速度和更小的稳态误差，为导航定位中雷达数据处理提供了理论和技术参考。

[1]罗海富. 变步长 LMS 自适应滤波算法的研究[D]. 湖南: 湖南师范大学,2015.

[2]王磊,杨煜普,宫亮，等. 基于微分进化算法的自适应滤波的应用[J]. 自动化仪表,2008,29 (5):30-32.

[3]Sristi P, Lu W S , Antoniou A. A new variable step-size LMS algorithm and its application in subband adaptive filtering for echo cancellation [J]. IEEE International symposium,2012,2(6):721-724.

[4]高鹰,谢胜利. 一种变步长 LMS 自适应滤波算法及分析[J]. 电子学报,2001,29( 8):1094-1097.

[5]苗可可,王壮,程翥，等. 射电天文自适应抗干扰算法研究[J]. 天文研究与技术,2015,12(4):433-442.

[6]张政超,李文臣. 雷达动态精度试验误差分析[J].中国电子科学研究院学报,2012,3:289-293.

[7]郦能敬. 对空情报雷达的测量精度分析[J]. 雷达科学与技术,2005,3(1):1-10.

[8]孙国强. 三坐标雷达误差分析与修正[D]. 合肥: 合肥工业大学,2012.

[9]Manolakis D G, Ingle V K, Kogon S M. Statistical and adaptive signal processing: spectral estimation, signal modeling, adaptive filtering and array processing [M]. 北京: 电子工业出版社, 2002.

Variable Step-Size Radar Adaptive Filtering Algorithm Based on Inverse Proportional Function

WANG Huijie，LI Xiaobing，YU Mingqiu

(Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051, China)

Aiming at the influence of ranging error, azimuth error and altimeter error caused by radar detection accuracy on navigation and positioning, the error factors were analyzed and a variable step size adaptive filtering algorithm based on inverse proportion function was proposed. By setting the inverse function relation with step-size and k-th power of sampling time, the steady-state error was forced convergence and the algorithm effectively reduced the impact of radar on navigation positioning error. The simulation results showed that the proposed algorithm not only could effectively suppress the linearly increasing radar detection error along with increasing radar detection range, but also had faster convergence speed and smaller steady-state error under the same experimental condition and steady-state error standard.

radar detection accuracy; inverse proportion function; adaptive filtering algorithm

2017-02-01

国家自然科学基金项目资助(61603410)

王慧杰(1992—)，男，山西清徐人，硕士研究生，研究方向：导航、制导与控制。E-mail:heyjayw@sina.com。

U666.1

A

1008-1194(2017)03-0136-05