拉伸思维过程，提高解题认识

杨春梅

[摘 要] 数学解题对学生来说需要一定的思维缓冲、思维过程，这与学生对于知识理解有更为高效的作用. 但是教学中往往存在这样的误区：教师自身理解不代表学生理解，而恰恰在思维过程环节存在的跳跃让学生失去了解题理解，教学要加强思维过程的引导，提升学生解题的认识和理解.

[关键词] 数学；思维过程；解题；理解；认识；数列；不等式；向量；函数

众做周知，中学数学教学依旧是以典型例题为主的题型模式化教学. 随着知识抽象程度的加深，试题出现的变换也愈多，因为知识理解不够透彻导致学生对于知识运用的水准未有显著提升，久而久之教学演变成题型模式化教学，这一点我们无可回避. 从解题教学现状来看，教师应通过一定的教学处理、教学艺术将抽象的数学问题转换为学生可以吸收的知识，这是教师专业化可以做的方面.

笔者以为，解题是一种转化，不断将抽象的、不熟悉的知识转换为具象的、熟悉的、简洁的表述. 从教学现状来看，教师有时未能将这种转化以通俗易懂的方式向学生展示，比如抽象函数定义域是如何一步一步进行思维展示的，比如参考资料中的答案是如何从这一步到达下一步的，比如在这个问题的节点上是如何向学生表述清楚的等等. 这些是学生学习中“卡壳”之处，很多学习过程因为这一处的“卡壳”造成学生的不理解.因此，在教学过程中教师如何将这种难点转化为通俗易懂的语言、拉伸学生的思维过程，成为解题教学提高的关键.

深入思考，挖掘思维深度

问题1：（抽象函数学习中的线性函数认识）已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2，则f（x）在区间[-2，1]上的值域为____________.

分析：学生对于问题求解普遍采用了特殊函数的方式，即令f（x）=kx，利用f（-1）=-2得f（x）=2x，检验发现此函数模型符合上述所有条件，因此可得值域为[-4，2]. 这样的解答方式的确也能得到答案，也无可厚非，但是对于学生思考抽象函数及其相关性质并无多大的益处，也没有有针对性、有目的地增强学生的思维品质. 笔者认为，对于抽象函数的教学更需要思考问题的本质，延长学生的思维过程，进而认识问题的更深层次.

辨思：笔者从三个方面加深学生对此问题的理解，其一求函数值域需要从函数的什么性质入手？其二抽象函数的单调性如何判断证明？最后条件的使用是如何环环相扣的，数学思想最终的渗透体现在哪里？有了三步台阶的铺垫，对于学生的思维过程有了清晰的拉伸，从而获得更好的解题体验.

步骤一：函数奇偶性的判别与证明

在条件中，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），再令x=y=0，则f（0）=2f（0），所以f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数.

步骤二：函数单调性的判断：从x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2猜测函数是单调递增的. 进而证明：设x10，有条件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1）

步骤三：综合上述性质，可知由f（1）= -f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，所以f（x）的值域为[-4，2].

说明：显然从拉伸思维过程的角度来说，步骤一中整体思想运用的渗透，让学生进一步理解了抽象函数问题中条件“当x>0时，f（x）>0”是如何使用的，这是單调性证明最重要的环节，也是思维量最大之处，教师讲透这里提高了学生对于抽象问题中证明单调性环节的解题认识，对于后续诸如作差类、作商类等都可以类比学习.有兴趣的读者可以类比论证：

问题：函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x>1时，f（x）<0成立. （1）设x，y∈（0，+∞），求证：f =f（y）-f（x）；（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）

本原驱动，拉长思维过程

问题2：求证： + +…+ <3（n>2）.

分析：数列不等式的证明是高中数学的难点，不少教师往往将答案中的解题方式解释阐述，并未讲清为什么这么做？如何实现这么做？这么做有没有通性？这么做为什么不行等等.笔者以本题为例，谈一谈如何实现正确的思维过程.

师：请同学们思考几分钟，然后谈谈自己的想法.

生1：我发现数列 的和不可求，所以我想转化为可求的数列，但我还没有找到这个数列.

师：思路很好，但我们怎样去寻找这个数列呢？请同学们再次思考. （学生思考时教师最好管好自己的嘴，不要过多的提示，应该让学生的思维得到充分发挥，3分钟后请学生说说自己的想法.）

生2：噢！我有办法了，利用糖水不等式：0< < （m>0）就可以转化为： < < ， <5× + + +…+ <5× = .

生3：这种解法有错误，第一项 < 不成立.

师：很好！那这种方法是否可行？若可行如何进行纠错？

生3：糖水不等式成立的前提条件是0< ≤1，但 >1，所以我们应该从第二项开始放缩：即 ≤2+5× + +…+ <2+5× = <3.

生4：我不是这么想的，我是直接放成 ≤ .

师：你是怎么想到的？

生4：我发现糖水不等式 < < 对于n=1时，左边是2，所以考虑放得再大点 < < < ，所以采用 ≤ 进行放缩.

生5：我是用待定系数法求出的：令 ≤ 结合目标3= 得到.

生6：我也是用待定系数法求出的，还可以放得更小：令 ≤ （n>1）恒成立，则k≥ = 对大于1的自然数恒成立，则k≥ = ，即 ≤ × （n>1）， + + +…+ ≤2+ × < <3.

生7：我的方法与其他同学都不一样，我采用 ≤9× - 裂项求和.

师：这种方法很好，你是怎么想到的？

生7：由 = - 类比到 ≤k× - ，k是根据目标 来确定的.

说明：本题的标准解答采用了生4的放缩，但是很多学生并不理解为什么可以这么放.笔者通过拉伸问题的思维过程，让学生认识到其实这样的放缩不是一次成功的，是经历了生4的尝试后才会想到这样的放缩，这正是对于放缩技巧的认识，才有了后续生6、生7等人不断的新解法的产生，这样的解题认识往往会来得更为深刻.

本质探究，延展思维长度

问题2探究共有三种方法，生3、生4是利用糖水不等式进行证明；生5、生6结合目标把数列放缩成无穷等比数列进行求解，生7运用的是裂项求和，各种求解把数学思维过程暴露得淋漓尽致.无论哪种方法本质上都是把数列放缩成等比数列，然后进行求和，这个过程要保证不能放得太大，在运用公式 ≤ （n≥k）时，如何确定系数m？笔者认为最原始最朴素的方法才是最好的方法. 在教学中教给学生一种方法容易，而要使學生理解本质并灵活运用却并非易事. 要让学生不仅知其然，更要知其所以然.

问题本质继续探究，延展思维长度：

师：本题除了能用等比数列 去放缩，还能否找其他的数列？

生1：不能，因为条件中含3n.

生2：能，还能选 ≤ .

师：为什么能？

生3：将上式变化得：4·2n≤m（3n-1），该式对所有的正自然数恒成立，分离参数可得m≥4.

师：思路很好！请同学们试一试（给学生充分时间）.

生4： + + +…+ ≤ <4放得太大了，所以此方法不行.

师：这种方法真的不行吗？

生5：利用案例1的想法，保留第1项、第2项、第3项不动，从第4项开始放缩.

师：大家再试试看.

学生： + + +…+ ≤2+ + + <2+ + + <3.

师：还能用其他等比数列放缩吗？

生6：我知道了，选择 ≤ ，只要1

师：你是怎么想到的？

生6：我从变化率看到的，an的变化要比3n的变化慢，所以1

师：那你们认为数列放缩的本质是什么？

学生：找一个可求和的数列去逼近它.有些从第1项开始放，有些从第2项开始，有些甚至从第m项开始，这要看选择的数列和放缩目标.

说明：通过继续思考，让学生对于放缩的认识来得更为深刻，也紧紧地抓住了放缩的本质——找一个逼近数列完成放缩.

总之，对于数学解题中的难点，教师要善于找到切入点，要从核心难点中挖掘培养思维的关键，让学生拉伸对于难点思维的过程，进而获得更多的解题认识，提高解题素养.