用点的坐标与坐标法研究图形

田载今

你知道如何表示点的位置吗？下面跟着田老师看一看吧。

1.用坐标表示点的位置。

几何学研究图形的形状、大小和位置。几何图形是按“点-线-面-体”的顺序由简单到复杂发展的。点是构成图形的最基本的元素，在研究它时，一般只考虑位置，不考虑大小。如何准确无误地描述点的位置？这是几何学中的一个基本问题。

如图1，在线段AB上有点C，D，E，怎样准确地说出它们的位置呢？我们可以量出点C，D，E到线段一端点A的距离，如果距离分别为C，d，e，那么可以说点C，D，E在线段AB上且到点A的距离分别为c，d，e。

我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以要表示数轴上某个点的位置，只要说出这个点所对应的实数即可。因此。要表示一条确定直线上的点的位置，只要在这条直线上建立数轴。即确定正方向、原点和单位长度。直线上的每一点就都有了对应的数值。

如图2，一张长方形纸上有点P，O，R，怎样准确地说出它们的位置呢？这些点都在同一平面上，但不都在同一直线上，只用一条数轴已无法表示它们的位置。于是有了用两条数轴解决问题的方法。

如图3，以纸上某定点为原点O。先画一条水平的数轴，取向右为正方向，记作x轴；过原点O再画一条竖直的数轴，也以点O为原点，取向上为正方向，记作y轴。这就组成一个平面直角坐标系。从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别对应x轴上的数a和y轴上的数b，这样点P与有序实数对（a，b）对应起来。（a，b）是点P的坐标，它以数量方式表示点P在纸上的位置。按照这种方法。点Q，R的位置也可表示出来。

在一个平面上，像上面那样建立平面直角坐标系后。平面上任一点都有一个有序实数对（x，y）与之对应，而且不同的点所对应的有序实数对也不同；反过来，任一确定的有序实数对（x，y）在平面上只对应唯一的点。因此，有序实数对与平面上的点一一对应。

在教室里随意选取点P，Q，R（它们可能在地面或墙壁或顶棚或空中），怎样准确地说出它们的位置呢？这些点不一定都在同一直线或同一平面上，只用一条或两条数轴已无法表示它们的位置，于是有了用三条数轴解决问题的方法。

如图4，以教室内某定点为公共原点O，画三条两两垂直（如同长方体同一顶点处的三条棱）的数轴，分别记作x轴，y轴和x轴，这就组成一个空间直角坐标系。从点P分别向三条坐标轴作垂线，垂足分别对应x轴上的数a，y轴上的数b和z轴上的数c，这样点P与有序实数组（a，b，c）对应起来。（a，b，c）是点P的坐标，它以数量方式表示点P在教室中的位置。按照这种方法，点Q，R的位置也可表示出来。

在空间中，像上面那样建立空间直角坐标系后，空间中任一点都有一个有序实数组（x，y，zz）与之对应，而且不同的点所对应的有序实数组也不同；反过来，任一确定的有序实数组（x，y，z）在空间中只对应唯一的点。因此，有序实数组与空间中的点一一对应。

综上可知，确定直线上点的位置时，用一条数轴组成的直线坐标系。点的坐标为一个实数，这叫作一维坐标。确定平面上点的位置时，用两条数轴组成的平面坐标系，点的坐标为一个有序实数对，这叫作二维坐标。确定空间中点的位置时，用三条数轴组成的空间坐标系，点的坐标为一个包含三个实数的有序实数组，这叫作三维坐标。总之，点的坐标是以数量形式表示点的位置的方式。这种方式使用得很普遍，如电影票、火车票、飞机票等，都用这種方式来表示座位的位置。

2.用坐标法研究图形。

坐标的产生起源于表示点的位置。但是坐标的作用并不局限于表示点的位置。数学研究的主要对象是数量关系（简称“数”）和空间形式（简称“形”），两者密切相关。用坐标表示点的位置，为将“数”与“形”互相转化开辟了道路。

笛卡儿是17世纪时法国的哲学家和数学家，他创立了一种研究数学的新方法——坐标法。这种方法可以使几何问题代数化，即用坐标表示点，用关于坐标的方程表示曲线。坐标法开创了解析几何这个数学分支。也为微积分的诞生创造了条件。有人曾这样评价：笛卡儿坐标的出现，是数学中的转折点。从此运动和辩证法进入了数学。微积分的出现也成为必然结果。

如何用方程表示曲线（包括直线）呢？我们看个简单的例子。如图5，∠AOB=90°。OC是LA OB的平分线，我们要用方程表示它。以点D为原点，OA，OB所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系。设射线OC上任一点P的坐标为（x，y），因为点P在∠AOB的平分线上，所以它到x轴和y轴的距离相等，并且横、纵坐标都不会是负数。于是点P的坐标（x，y）应满足x=y（x≥0，y≥10）。反过来，凡是坐标（x，y）满足方程x=y（x≥0，y≥0）的点都在射线OC上。这就是说，方程x=y（x≥0，y≥0）的解与射线OC上的点一一对应，它们是同一对象的两种不同的表现形式。