区间灰数几何预测模型的参数优化

崔学海

（重庆工商大学长江上游经济研究中心，重庆400067）

区间灰数几何预测模型的参数优化

崔学海

（重庆工商大学长江上游经济研究中心，重庆400067）

面积序列及坐标序列的模拟精度是影响区间灰数几何预测模型性能的重要因素，文章通过克莱姆法则建立面积序列与坐标序列的灰色模型参数无偏估计新方法，在此基础上构建了一种新的区间灰数预测模型；最后通过与传统的区间灰数预测模型模拟精度进行了比较，结果表明新模型具有更为优秀的模拟性能。

灰色理论；预测模型；Cramer法则；区间灰数；参数优化

0 引言

在灰色理论[1]中，灰数是最基本的表示单元或“细胞”，而区间灰数则是灰色系统中最常见的灰色信息表现形式[2]，区间灰数预测模型是研究如何利用数学方法对区间灰数上下界进行模拟及预测的建模方法。由于区间灰数具有比实数更加复杂的数据结构与灰信息特征，同时受制于区间灰数之间代数运算体系的不完善，导致人们对区间灰数预测模型的研究成果远远落后于传统以实数为建模对象的灰色预测模型，这有悖于灰数是灰色系统最基本表示单元或“细胞”的理论内涵。因此，近年来关于区间灰数预测模型的研究备受关注[3]。

为了规避区间灰数之间的代数运算所带来的运算结果不确定性（灰度）增加的缺陷，研究人员主要从区间灰数序列与实数序列之间转换的角度对区间灰数预测模型建模方法展开研究，其建模过程概括起来分为三步：（1）区间灰数序列与实数序列的转换；（2）面向实数序列的灰色预测模型的构建；（3）区间灰数上界及下界的推导。在这三个步骤中，“区间灰数序列与实数序列的转换”是研究区间灰数预测模型的核心内容，从区间灰数预测模型既有研究成果来看，这种“灰→实”转换主要分为三类：

（1）几何坐标法[4,5]：主要是将区间灰数序列在二维直角坐标平面中进行映射，通过分析区间灰数序列的几何特征来实现区间灰数序列与实数序列的等价转换，通过构建实数序列群的灰色预测模型来实现区间灰数上界及下界的模拟及预测。

（2）信息分解法[6,7]：该方法认为区间灰数中的信息实际上由确定信息与不确定信息两个部分组成，因此可以按照一定的方式进行分解，从而构成由实数构成的“白部”及“灰部”序列，“核与灰半径”的转换思路与该方法本质上是一致的。

（3）灰色属性法[8-10]：通过区间灰数的“核”、“灰度”、“认知度”等基本属性实现区间灰数序列与实数序列的转换。这种转换以“核”为中心展开，通过“灰度”确定“核”的变化范围，通过建立基于“核”序列的灰色模型实现区间灰数核的模拟与预测。

可见，区间灰数序列与实数序列的转换是构建区间灰数预测模型的重要内容，而传统灰色预测模型性能之优劣则是影响区间灰数预测模型精度的关键。通常某一区间灰数序列会转换成若干实数序列，因此基于不同实数序列将构建出体系复杂的灰色预测模型群，而现有的区间灰数预测模型还缺乏对灰色预测模型参数优化方法进行有效研究，导致这些模型对区间灰数的模拟及预测效果不甚理想，基于此，本文试图从参数优化的角度对区间灰数几何预测模型进行研究，以提高区间灰数预测模型的整体性能。

1 区间灰数几何预测模型

本文区间灰数几何预测模型的序列转换及建模过程如下：

其中p=1，2，…，n-1，

分别构建面积序列S及坐标序列W的GM(1,1)模型，可以推导得如下结果：

公式（3）称为区间灰数几何预测模型[4]。

2 区间灰数预测模型参数优化

对区间灰数预测模型的优化，其实质是对区间灰数面积序列S及坐标序列W的GM(1,1)模型参数aˆs=[as，bs]、aˆw=[aw，bw]的优化。由于GM(1,1)模型的最终还原式为齐次指数形式，这限制了该模型对非齐次或近似非齐次指数序列的模拟及预测能力。然而，即使对严格齐次指数序列，其GM(1,1)模型同样存在误差，这主要是由于GM(1,1)模型在建模过程中存在面向差分方程的参数估计方法与基于微分方程的灰色模型时间响应函数之间的非一致性所导致的。本文通过克莱姆法则对GM(1,1)模型的参数估计方法进行研究，从优化模型参数的角度实现对区间灰数几何预测模型的优化。

为面积序列S的GM(1,1)模型通用形式。根据定义2，可以对公式（4）进行变形，得：

其中：

当k=2时，

当k=3时，根据公式（5）得：

将公式（7）代入公式（8）整理得：

当k=4时，根据公式（5）得：

将公式（9）代入公式（10）整理得：

根据前面的推导，当k=u时，可得如下公式：

将公式（9）进一步化简得：

根据累加生成及累减还原的定义可知：

则：

整理公式（15）得：

公式（16）可简化为：

其中，

类似地

其中，

根据文献[4]中区间灰数面积序列的定义，可知：

当p=1时，

当p=2时，

…

当p=n-1时，

类似地，

联立式（20）及式（21），可得：

公式（22）称为基于克莱姆法则的区间灰数预测模型，简称KIGM(1,1)模型。

3 模型比较分析

为了验证KIGM(1,1)模型的模拟性能，本文以文献[4]中的区间灰数序列为基础，构建该序列的KIGM(1,1)模型，并将模拟结果与文献[4]进行比较和分析。

表1 X(⊗)中的区间灰数

S=(1.5,1.9,2.3,2.4,3.1)，W=(3.1,3.4,3.75,3.6,3.7)

分别应用经典GM(1,1)模型及本文公式（17）、（18）对面积序列与坐标序列进行模拟，结果如表2所示。

表2 面积序列及坐标序列的模拟值及模拟误差

根据公式（22）对区间灰数序列X（）⊗进行模拟，模拟值及模拟误差如表3所示。

表3 区间灰数模拟与误差比较

从表2可以看出，基于公式（17）和公式（18）所模拟的区间灰数面积序列与坐标序列的模拟误差优于传统的GM (1,1)模型，而区间灰数预测模型的模拟性能又与面积序列与坐标序列的模拟值息息相关，因此理论上KIGM(1,1)模型应该比文献[4]所提出的区间灰数预测模型具有更高的模拟精度。而从表3可看出,本文提出的KIGM(1,1)模型，其模拟精度高于文献[4]中的模型，验证了本文对传统区间灰数预测模型优化的有效性。

4 结论

由于区间灰数代数运算体系的不完善，导致无法直接构建面向区间灰数序列的灰色预测模型。现有方法主要通过将区间灰数序列转换成实数序列，然后通过构建实数序列的灰色预测模型去实现对区间灰数的间接预测，因此，传统灰色预测模型性能之优劣则是影响区间灰数预测模型精度的关键。本文基于克莱姆法则对传统区间灰数几何预测模型中面积序列与坐标序列的预测方法进行了优化，在此基础上构建了一种新的区间灰数预测模型（KIGM(1,1)模型），通过算例比较与误差分析，验证了该模型的有效性与实用性。研究成果对拓展灰色预测模型的应用范围，促进灰色预测模型与实际问题的有效对接具有积极意义。

[1]Deng J L.Control Problems of Grey Systems[J].Systems&Control Letters,1982,1,(5).

[2]Liu S F,Forrest J,Yang Y J.A Brief Introduction to Grey Systems Theory[J].Grey Systems:Theory and Application,2012,2,(2).

[3]Xie N M,Liu S F,Yuan,C Q.Grey Number Sequence Forecasting Approach for Interval Analysis:A Case of China's Gross Domestic Product Prediction[J].The Journal of Grey System,2014,26,(1).

[4]曾波,刘思峰,谢乃明等.基于灰数带及灰数层的区间灰数预测模型[J].控制与决策,2010,25(10).

[5]Zeng B,Guo C,Liu S F.A Novel Interval Grey Prediction Model Considering Uncertain Information[J].Journal of the Franklin Institute,2013，(350).

[6]方志耕,刘思峰.区间灰数表征与算法改进及GM(1, 1)模型应用研究[J].中国工程科学,2005,7(2).

[7]孟伟,刘思峰.区间灰数的标准化及其预测模型的构建与应用研究[J].控制与决策,2012,27(5).

[8]刘解放,刘思峰,方志耕.基于核与灰半径的连续区间灰数预测模型[J].系统工程,2013,31(2).

[9]曾波.基于核和灰度的区间灰数预测模型[J].系统工程与电子技术,2011,33(4).

[10]袁潮清,刘思峰.基于发展趋势和认知程度的区间灰数预测[J].控制与决策,2011,26(2).

（责任编辑/亦民）

Parameter Optimization of Interval Grey Number Geometry Prediction Model

Cui Xuehai
（National Research Center for Upper Yangtze Economy,Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China）

The simulative precision of area sequence and coordinate sequence are important factors that exert impact on the performance of the geometric prediction model of interval gray number.This paper applies Cramer Rule to deduce a novel unbiased estimation method of area sequence and coordinate sequence,on the basis of which the paper establishes a new interval gray number prediction model.Finally,comparison is made between the accuracy of the proposed model and that of the traditional interval gray model without parameter optimization.The result shows that the novel model has better simulative performances.

grey theory;prediction model;Cramer Rule;interval grey number;parameter optimization

N941.5

A

1002-6487（2017）11-0010-04

国家自然科学基金资助项目（71271226）

崔学海（1979—），男，山东烟台人，博士研究生，研究方向：经济数学模型。