“牛吃草”问题的规律教学思考

蔡青

“牛吃草”问题也叫“牛顿问题”，因由牛顿提出而得名，其实质就是“消长”问题。这个问题以前属于奥数内容，在现在的小学、初中考题中却屡屡出现。这类题目的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化，而解题的关键就是在变化的数量中找出不变的规律。因此，如果不能发现其规律，并利用规律来分析问题，解决起来就会棘手。

一、“牛吃草”问题的基本规律

“牛吃草”问题是指那些一方面在生长，另一方面又同时在消耗的事物作为研究对象的问题，所以也把它叫“消长”问题。这类事物有很多，如：森林每年都在生长树木，人类每年砍伐消耗树木；漏水的船在不停地进水，为了不使船沉没，人们不停地往外排水；地球的资源每年都在增长，人类每年都要消耗资源。我们只是把“牛吃草”作为这类事物的代表进行研究。牛吃的草分为两部分，一部分是原有的草，另一部分是在吃的过程中生长的草。这是牛吃草问题的基本模型，也是解决这种问题最核心的规律。这里我们用四个基本公式来分析这种模型所包含的数量关系。

（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）；

分析：假设草每天的生长速度是一定的，牛吃草吃的是两部分的草，即原来已经有的草和吃的过程中长出的草，吃的天数越多，总草量就越多，而多就多在多吃的几天里生长的草。所以将吃的天数多的总草量减去吃的天数少的总草量除以多吃的天数就是每天生长的草，即草的生长速度。

（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；

分析：原有的草量就是从吃的总草量中减去吃的过程中生长的草。

（3）吃的天数=原有草量÷（牛吃草速度-草的生长速度）；

分析：吃的天数由原有草量除以牛吃草速度与草生长速度形成的速度差得到。有点像追及问题里面的“追及时间=路程差÷速度差”。

（4）牛吃草的速度=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

分析：牛吃草的速度可以分成两部分，一部分用来抵消草的生长速度，另一部分则是消耗原有草量的速度，即“原有草量÷吃的天数”。

二、“牛吃草”问题及其变式分析

上面四个公式是算术方法解决牛吃草问题的基础。接下来我们通过几个例题来演示用以上规律及公式解决问题。

例1. 牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃20天，或者供给15头牛吃，可以吃10天。如果供给25头牛吃，可以吃几天？

分析：设1头牛1天吃的草为“1” ，由条件可知，前后两次青草的总量相差为10×20-15×10=50。這是第一次比第二次多的那20-10=10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10=5。

接下来无论是通过10头牛吃20天还是15头牛吃10天，都可算出原来的草量，即从总草量中减去生长的草。所以原有草量为 10×20-5×20=100，或15×10-5×10=100。

最后求吃的天数，25头牛每天就要吃25个单位的草，每天只生长5个单位的草，仅够5头牛吃，所以另外那25-5=20头牛就每天要吃原有的草20个单位，这样原有的100个单位的草只能吃100÷20=5天。

算术解法：

解：草的生长速度：（10×20-15×10）÷（20-10）= 5

原有草量： 10×20-5×20=100

吃的天数：100÷（25-5）=5（天）

方程解法：

解：设每天生长草量为X，原有草量为Y，需要Z天吃完，

Y+20X=20×10 （1）

Y+10X=15×10 （2）

Y+ ZX=25Z （3）

由（1）（2）得 X=5 Y=100

代入（3）得 Z=5

答：供给25头牛吃，可以吃5天。

从以上算术解法和方程解法不难发现，它们都反映了一个共同点：牛吃草吃的是两部分的草，即原有的草和生长的草，方程法就是直接用“原有的草+生长的草=吃的草”这个等量关系列出三元一次方程组解题。所以，无论算术还是方程解法，抓住“原有的草+生长的草=吃的草”这个规律是解题的关键。

例2.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

分析：此题看上去不是牛吃草，而是人类消耗地球资源，但实质一样，人看作牛，地球资源就是草。把1亿人1年消耗的资源看作“1”，地球最多能养活的人数就是地球资源增长速度，即草的生长速度，只有人类数量（即人类消耗地球资源的速度）不大于地球资源增长速度时，地球才能养活人类，否则地球资源将会枯竭，人类面临资源危机。所以此题相当于只求草的生长速度。80亿人生活300年消耗的资源总量比100亿人100年消耗的资源总量多80×300-100×100=14000，多就多在多生活的300-100=200年里地球增长的资源，所以地球每年新增资源为14000÷200=70，即最多可养活70亿人。

当然，牛吃草问题绝不是仅限于这种类型，还有一些较复杂的情况，但无论面对什么样的情况，只要我们利用好这个规律，相信都能得到解决。

例3.在一片牧场里，放养22头牛，吃33亩草，54天可以吃完：放养17头牛，吃28亩草，84天可以吃完，请问放入多少头牛，吃40亩草，24天可以吃完？（假定这片牧场每亩中的原草量相同，且每天草的生长量相等。）

与前面例题最大的不同是牧草的面积不同了，这样每种情况原有草量不同，每天草的增长量也不同，似乎算术方法不好突破。但如果进行一种假设，把三种情况的面积求最小公倍数，将三种情况的面积按最小公倍数换算出对应的牛的数量，也就是将三种面积换算成同一个面积，相当于经典题型中的“同一片草地”，再按经典题型解法即可解决。

例4. 有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆车分別用6小时、10小时、12小时追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中速车每小时走20千米，那么，慢速车每小时走多少千米？

此題将骑车人的速度看作草的生长速度，将原来距离看作原有草量，将快、中、慢三辆车的车速看作三种情况下牛的头数，再对应时间，问题迎刃而解。

例5. 两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？

将男孩看作数量较多的牛，女孩看作数量较少的牛，电动扶梯级数看作原有牧草，扶梯速度看作草的生长速度。男孩走了2分钟（120秒）到达另一端，走了（120÷20）×27=162（级），女孩走了3分钟（180秒）到达另一端，走了（180÷20）×24=216（级）。这里男孩走的162级，女孩走的216级都包含两个部分，即扶梯长度和扶梯自动走的长度，216-162=54级是女孩多走3-2=1分钟时间里自动扶梯多走的长度，这样可求出电动扶梯每分钟走的级数，即54÷1=54级，再通过男孩或女孩的速度可求出扶梯长度。此题相当于求原有的草量。

例6. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？

此题条件部分是牛吃草问题经典题型的布局，只是问题别出花样：6天后卖掉4头，只要按没有卖掉进行假设，问题即可解决。

设草的生长速度为X，原来草量为Y，原来有Z头牛，可得方程组：

Y+30X=17×30

Y+24X=19×24

Y+8X=6Z+2（Z-4）

解得： X=9 Y=240 Z=40

答：原来有40头牛。

综上所述，不难发现，对于牛吃草问题，无论算术解法还是方程解法，都要遵循牛吃草问题的根本规律，即：原来的草+生长的草=吃的草。

利用这个规律，算术法利用四个基本公式，先求出草的生长速度，以此为突破口，进而逐步求出原来的草，牛的头数或吃的天数。而求吃的天数有点类似于行程问题里面的追及问题，原有草量相当于路程差，牛吃草的速度与草生长的速度之差相当于速度差，两者相除便是时间，这正是消长问题的本质。方程解法则完全以基本规律为列方程的依据，将要求的量都设为未知数列成方程组，思路更直接。

当然，牛吃草问题出现的变式可以说是五花八门，千变万化，有时甚至让我们看不出谁是“牛”，哪是“草”，什么是“草的生长速度”，什么是“牛的吃草速度”。但是，只要我们头脑中能够清晰存在着牛吃草问题的这个基本规律，看清题目的本质，熟练运用其规律，相信都会轻松突破。

（作者单位：武汉市新洲区汪集街冯铺小学）