纵横联系，渗透数学思想方法

王丙诚

新课改以来，广大数学教育工作者对于数学教学的目的、思想、方法形成了很多共识，普遍认为数学教学不仅是让学生掌握基础知识，更重要的是发展学生的能力，提高数学素养。从国家课程设置来看，语文、数学共同作为学习其他学科的两门基础学科是不无道理的。数学作为基础不仅在它本身的知识内容上，更在于数学思想方法具有极大的普遍性，有利于学生学习的迁移，从而可以极大地提高学习质量和学习能力。因此，数学思想方法在教学中是至关重要的，对于中学生，不管他们将来从事什么工作，唯有深入脑海中的数学思想方法将随时随地发生作用，使他们受益终生。

中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想这个教学问题。在数学教学过程中，根据教材内容，结合学生实际，适当进行跨章节的纵横联系，揭示数学思想方法的普遍性是十分重要的。在日常教学中，我们应该在学好基础知识的前提下，有机地结合各方面的数学知识，有意识地向学生渗透如分类、化归、反证法等数学思想方法。本文就根据初中阶段学生的思维规律，结合具体的数学教学内容，对教学中如何纵横联系相关知识，渗透数学思想方法作一简单小结。

一、从初一年级起，渗透反证法原理

反证法是高中阶段常用的证法之一，是逆向思维的具体体现。初中学生的思维方式是以顺向思维为主，他们习惯于用直接说理的方法去推理、论证数学命题，一般无逆向思维的意识。因此，“反证法”原理及其应用是数学教学的一个难点，我们在平时课堂教学中，特别是学习概念、定理时，应及时渗透反证法原理，为以后提高数学综合能力打下基础。反证法原理可从初一年级就开始渗透。由于初一学生这一方面能力和意识十分薄弱，教师要更多地从多问“为什么不……”、“假如不……那么……”等反面设问入手，帮助学生反向思考。例如，初一学生学完有理数这一节内容后，数的范围已扩充到有理数范围，除了少数学生有可能误以为0还是最小数，更多的学生对“有理数中是否有最小数”都能回答“没有”。这时，教师应该抓住机会追问，“为什么不能有最小数？”“假如有理数有最小数，那应该是多少？”用此通俗易懂的实例让学生初步体验到反面说理的思想。只要细心研究教材，不难发现这样的例子在教材中比比皆是。例如：1.两数相乘，如果积为0，则这两数中必有一个为0。两数都不为0为什么不可以？2.如果两个有理数的绝对值的和为零，那么这两个有理数一定都是零。如果有一个不等于0，是否可以？3.三角形的三个内角中至少有一个内角小于或等于60。。可以都大于60。吗？等等，不一一列举。通过经常性的反面设问，使学生的逆向推理能力得到锻炼，在较为复杂的情境中也能较为熟练地运用反证法的原理解决问题。

二、代数几何交融，渗透数形结合思想

初中阶段，数形结合中的“数”泛指通常所见的数、代数式、方程式、不等式、函数表达式、定理的公式等等，它们一般较为抽象。“形”可以看成数轴、函数的图象、几何图形等，具有形象、直观的特征。在数学教学中，运用数形结合的思想可以在抽象思维和形象思维间架起桥梁，使两者之间相互渗透、相互促進，更好地完善学生的思维体系。要使学生对数形结合的思想心领神会，掌握数形结合的方法，教师应立足于课堂，有计划地使用数形结合的思想解决一些教材中的重点和难点，同时，在习题教学中要注意渗透数形结合的思想解决实际问题。例如，初一的有理数运算、大小比较，就应当随时借助于数轴，帮助学生直观理解；代数式运算，其中的分配律、乘法公式等，也可以画出相应的图形；初二教材中的勾股定理的证明就是运用数形结合的一个范例，用图形来证明公式，以形思数，直观、简洁、明了，使学生对勾股定理的认识更深刻和完整；反过来，结合勾股定理的运用，可以把代数式的运算、方程等代数知识融入其中，认识勾股定理在周长、面积等度量中的重要应用价值。

数与形是中学数学研究的两类基本对象。相互独立，又互相渗透。华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。尤其在坐标系建立以后，数与形的结合更加紧密。但不应把数形结合思想局限于函数、解析几何，而应是处处可以见数想形，见形想数，让数形结合思想内化为学生的自觉意识，随时应用。

三、善于比较归纳，渗透分类思想

人们的思维活动一般是从观察事物开始，形成初步认识，再通过比较，归纳出事物的本质属性，从而形成基本概念，对事物进行分类。一般来说，分类就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分，这在数学教学中十分重要。相对于小学数学而言，初中数学的内容范围大，学习能力要求高，这在各地中考卷上已有充分体现。中学生如何利用分类掌握知识点，发展技能，在具体的试题中考虑分类思想解决问题尤为重要。

首先，教师在教学过程中要帮助学生学会用比较的方法进行分类，例如学了实数后，可以引导学生从比较有理数、无理数的特征或本质属性入手，将数粗分为有理数和无理数；继而细分有理数，可以引导学生从数的正负性特征比较入手，也可以从判别有理数是否为分数人手进行分类，而不是由教师进行包办代替。其次，教师应该在具体的习题中指导学生运用分类思想解决实际问题，在潜移默化中养成分类讨论的意识，这是比较困难的，必须长时间地努力才能有收获。

四、学会纵横沟通，渗透化归思想

通常来看，化归思想就是解决数学问题中各知识点的纵横联系，通过各种变换化未知为已知，化复杂问题为简单问题，化非基本问题为基本问题，化不熟悉问题为熟悉的问题或已经解决的问题。“化归思想”也就成了常用的数学思想方法之一。

在初中阶段，应及早渗透这种化归思想。比如在讲解“合并同类项”的法则时，“把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母和字母的指数不变”，对于刚接触代数的初一学生来说，单从课本文字的叙述来理解是比较困难的，若用有理数的分配律来解释是很容易理解的。同时在例题的讲解中，也应该引导学生合理地运用化归思想沟通各部分知识间的横向联系，优化解题过程。

化归是处理数学问题的一种重要思想方法，有些错综复杂的问题经过巧妙的化归或转化，往往变得豁然开朗。如利用相反数将减法化归为加法，利用倒数把除法化归为乘法。再如把二元一次方程组通过代入或加减消元化归为一元一次方程，应用题中将实际问题化归为数学模型，把“一般问题”化归为“特殊问题”，将几何问题化归为代数问题，等等。以此引导学生去探求知识，使他们感受到如何把握问题知识间的纵横联系，化繁为简，解决问题。

数学思想的渗透必须是在数学问题的思维分析过程中去实现。心理学认为：学习是认识结构的组织和重新组织，是把内在逻辑结构的教材与学生原有的知识结构结合起来，新旧知识发生相互作用，使新材料在学生头脑中产生新的认识。数学思想并不是一个抽象的概念，而是建立在众多数学基础知识和基本方法这一基础上的。它具有实实在在的基础和内容，同时又是千千万万具体例子的总结和概括，数学思想的渗透必须也只可能在具体知识的运用和联系中，在具体数学问题的分析与综合过程中得以体现。