直观模型：算理与算法之间的桥梁

宋琳

计算教学在小学数学教学中占有十分重要的地位，但在教学中常常存在这样的问题：有的老师将重点放在学生对算法的掌握上，力求学生熟练掌握计算方法，达到一定的计算速度和准确度，以培养学生数学的基本技能，而对于算理的教学则相对弱化。有的老师虽然已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但对于怎样在课堂教学中有效落实存在困惑。

为解决以上问题，教师可以借助直观模型，在算理与算法之间搭建一座桥梁，做到理法结合，提高学生的运算能力。

1.借助直观模型，处理好算理与算法的关系

算理是四则运算的理论依据，由数学概念、运算定律、运算性质等构成。

直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、格子图、数直线等。在实际的教学中，我们还会经常引用类似元、角、分、千米、米、分米等测量单位这些具有一定结构的实物材料，我们称之为“实物模型”。但如果站在更广义的角度来看，我们不妨把实物模型也看作是直观模型的一种类型。

在计算教学时，学生在探索方法和理解算理过程中所出现的困难能通过直观模型来克服吗？在这一过程中有无直观模型，会造成学生的学习有多大的差异？北京教育学院教师教育数理学院的张丹教授专门做了一次调研，调查对象为某小学三年级学生（共40名）。这些学生没学过两位数乘两位数，但已学过两位数乘一位数，他们要想办法在没有任何直观模型的情况下计算出14×12等于多少。结果显示，40人全部用竖式计算，其中22人基本正确（包括方法正确，虽计算时出现错误），18人出现较大困难。

随后，对遇到困难的18名学生进行了访谈，并提供直观模型——点子图，让他们借助点子图完成以下任务：（1）借助点子图思考如何计算出14×12的结果；（2）如果能够计算出正确结果，再将计算过程写成竖式。对于任务（1），这18名学生都能根据点子图通过“拆数”得到计算结果；在完成任务（2）时，有8人能独立完成，10人虽然遇到困难，但通过引导可以解决。当问及学生点子图是否有用时，学生回答：“有用，可以把12拆成10行和2行。”因此，对比开始没有直观模型时学生得出结果的困难，直观模型无疑是有用的。

那么，常用的直观模型有哪些优势呢？计数器的优势在于它可以更好地帮助学生理解位值制，更加容易建立与竖式之间的关系，如相同数位上的数才能相加减的计算法则。小棒的优势在于便于学生操作和理解。学生在建立十进制关系的时候就是利用小棒进行学习的，所以学生对于小棒的操作更加熟悉，也更易于理解算理。此外，小棒的操作比计数器更容易体现十位上的数，更容易呈现多样的算法。点子图的优势，具有一定结构的、具体的、直观的“形”，为学生理解抽象的、深奥的“理”架起了一座直通的桥梁，为师生探究算理、算法提供了一个可操作的直观模型，从而有力促进了学生对算理的有效建构。

在学习分数乘、除法时，以直观形象为支撑，可以帮助学生牢固掌握计算方法，同时渗透迁移、转化的思想，从而提高学生的运算能力。

2.应用直观模型的策略

适时呈现，解释疑惑。在教学时，直观模型给得“早”不如给得“巧”。教学伊始先不提供支撑算理理解的直观模型，让学生直接面对一个算式，看看他们能否联系自己的数学经验尝试解决问题，当学生尝试过后仍然不能解决时，再给他们提供模型。

融合贯通，建立联系。数学知识就像是一张纵横交错的网，每个知识点都是一个节点，一条条知识链连接起了一个个的节点，从而形成了一张密密的“知识网”。我们向学生提供直观模型时，不仅要求“全”，还要求“联”。直观模型、横式、竖式之间的求“联”，使学生的认识和思维融会贯通，这样重要且恰到好處的穿梭串联，能触及知识各部分之间的联系，对学生而言，不可或缺。

晚唐诗人杜牧告诫子女：“学非探其花，要自拔其根。”这启示我们，在计算教学中要理法融合，用好直观模型，理清“算理”这条根，才能探得“通理晓法”这朵花，在算理与算法之间架设一座桥梁，促进学生“清方法，明算理”，真正提高学生的“运算能力”。