教学设计：正弦型函数y= Asin (ω x+φ)的图象与性质

北京市第八中学 刘 嘉

一、教学设计要求

教学设计遵循“提问—探索—总结—运用”认知过程规律，侧重学生的自主探究和自主学习，学生经历由简单到复杂，由具体到抽象，由局部到整体，由单一到综合的分析过程，体会图象与图象之间的变换关系，教师的作用重在引导。整个教学过程始终贯穿学生的探索、体验、归纳总结和运用，注重数学知识的内化。

二、教学背景分析

（一）教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教B版必修4）“1.3.1 正弦函数的图象与性质”的后半部分。它是在前面学习了正弦函数图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化(和 拓展)，由此进一步理解y= Asin ωx+φ 与y = sinx的图象间( 的 变换)关系，通过学习y= Asinωx+φ的图象有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实的基础。

（二）学生学情分析

学生已经学习了“五点法”作正弦函数y = sinx的简图,以及函数y = sinx的性质，并且有了一定的读图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。本节课的设计是在此基础上对正弦函数图象的拓展，运用“五点法”作三个简单正弦型函数y = s in (x + φ)、y = A s in x、y=sin ωx的图象，探索参数A,ω,ϕ对函数图(象 变化的)影响，从而理解从y= Asin ωx+φ与y = sinx的图象间的变换关系。

三、教学目标设定

（一）三维目标设定

1.知识与技能目标

(1)能正确使用“五点法”“图象变换(法 ”画)出正弦型函数y= Asinωx+φ的图象；

(2)( 结 合)具体实例，了解y= Asinωx+φ的实际意义；

(3)了解y= Asin (ω x+φ)中参数A,ω,ϕ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义.

2.过程与方法目标( )

通过探索y= Asin ωx+φ 中参数A,ω,ϕ对函数图象变化的影响，培养学生运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养学生用联系、变化的观点分析解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标

学生在学习过程中掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感情认识到理性认识的飞跃。

（二）教学重难点

1.教学重点

会用(“ 五点)法”作出函数y= Asin ωx+φ的图象；理解参数A,ω,ϕ 对函数y= Asin (ω x+φ)图象变化的影响。

2.教学难点

理解图象变换与函数解析式变换的内在联系。

四、教学过程设计

（一）实例引入

[引例]一个转盘，指针的初始位置与水平向右方向成角为φ，指针的长度为R，指针转动的角速度为ωrad/s，则指针竖直高度y与时间x之间的函数关系是y= Rsin(ω x+φ)

把R的范围扩大到非零的全体实数，形成

正弦型函数

师生互动：（1）课件演示

（2）学生根据学过的三角函数定义，求出y与x之间的关系.

设计意图：通过实例引入，引起学生学习的兴趣。同时，学生能够了解正弦型函数的实际意义及学习正弦型函数的必要性 .

（二）概念形成

y= Asin (ω x+φ)的图象及性质

1.φ的影响：y = s in (x + φ)型函数

法一：描点法

法二：图象变换

平移变换左加右减）

[问题] 函数y = sin x 的图像如何变换得到 y = sin (x+φ)?

平移：

设计意图：

把复杂的研究对象简单化，分别研究每个参数的影响.

把抽象的问题具体化，学生自主探索，再抽象概括规律，归纳φ的影响，即平移变换规律.

2. A的影响：y = A s inx型的函数

当A＜0时，y = A s in x的图象与的图象关于x轴对称.故仅研究A＞0的情况即可.

[例2]在同一个平面直角坐标系中分别作出

一个周期内的图象.

法一：描点法

法二：图象变换

纵向伸缩

[问题] 函数y = sin x的图像如何变换得到y = Asin x ?

值域变为[- A ,A]

[总结]把函数f(x)的图像上的每一点横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的A倍

设计意图：把抽象的问题具体化，学生自主探索，再抽象概括规律，归纳A的影响，即纵向伸缩变换规律.

3.ω的影响：y=sinωx型的函数

ω当ω ＜0时，可通过诱导公ω式变为 ＞0的正弦型函数.故仅研究 ＞0的情况即可.

法一：描点法

法二：图象变换

横向伸缩

周期变为

周期变为

[问题] 函数y = sin x的图像如何变换得到y=sin ωx?

[总结] f(x) → f(ωx): 把f(x)图像上的每一点纵坐标保持不变,横坐标变为原来的(横向伸缩)

设计意图：把抽象的问题具体化，学生自主探索，再抽象概括规律，归纳 的影响，即横向伸缩变换规律。

4. 正弦型函数例略。

（三）概念拓展

函 数y= Asin (ω x+φ)的 物 理 背景：

[讲] 正弦型函数是周期函数,现实中很多周期现象都可用该函数来描述, 如: 匀速圆周运动、 简谐振动、交流电、声波、潮汐等等. 如引例

师生互动：介绍正弦型函数在实际生活及物流学科中的例子，说明各个参数的名称。

设计意图：学生进一步认识正弦型函数的实际意义，体会正弦型函数模型的重要作用。

（四）总结归纳：课堂小结

1.A,ω,φ 的作用

A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。

ω的作用：使正弦函数的周期发生变化。

φ的作用：使正弦函数的图象发生平移。φ

2.五点法作y=Asin(ωx+)的图像

师生互动：教师和学生共同归纳总结本课的内容，梳理知识的脉络。

设计意图：梳理本节课的内容，内化为学生自己的知识。

五、教学设计特色说明

从一个实际问题引入，根据从由简单到复杂，由具体到抽象，由局部到整体，由单一到综合的原则，通过参数赋值，从具体函数的讨论开始，把从函数y = sinx的图象到函数y= Asin(ω x+ϕ)的图象的变换过程，分解为先分别考察参数ϕ,ω,A对函数图象的影响，然后整合为对y= Asin(ω x+ϕ)的整体考察。鉴于作函数y= Asin(ω x+ϕ)的图象的复杂性，设计了ppt课件动态演示参数 ϕ,ω,A 对 函 数y= Asin(ω x+ϕ)图象的影响，这对学生认识函数y= Asin(ω x+ϕ)图象特点非常有好处。同时培养学生的作图能力，特别是用五点法作函数y= Asin(ω x+ϕ)的图象也贯穿本课的始终。