浅谈“数形结合”——巧解一元一次不等数组中的参数问题

湖南省长沙市周南中学 卞海燕

在中学数学中，一元一次不等式（组）是初中数学的一个重要内容，尤其是关于求一元一次不等式组中的参数问题，更是近几年中考的一个热点与难点问题。很多学生解此类问题时常常感到无从下手或频频出错。怎样才能又快又准地找出参数取值，本人在长期教学中研究发现，逆用求不等式组解集的口诀，结合数轴，利用“大致定位，精准定值”的数形结合的方法可以使这一难题迎刃而解。下面通过不同类型的例题说明这种“大致定位，精准定值”利用数轴数形结合求参数取值的方法：

一、“同大取大”、“同小取小”型

例1：已知不等式组解集是x＞2，则m的取值范围是_______

解析：（1）原不等式组可化为

（2）大致定位：∵原不等式组的解集是x＞2，

∴根据口诀“同大取大”，数轴上表示m+1的点在2的左边，

∴m+1＜2，即m＜1

（3）精准定值：令m=1，知∴原不等式组的解集是x＞2，符合题意

（4）综上，m的取值范围是m≤1

变式1、已知不等式组的解集是则m的取值范围是____

解析：（1）原不等式组可化为

（2）大致定位：∵原不等式组的解集是

∴根据口诀“同大取大”，数轴上表示m+1的点在2的左边，

∴m+1＜2，即m＜1

（3）精准定值：令m=1，知∴原不等式组的解集是x＞2，不符合题意

（4）综上，m的取值范围是m＜1

变式2、已知不等式组的解集是x≤3，则m的取值范围是____

解析：（1）原不等式组可化为

（2）大致定位：∵原不等式组的解集是

∴根据口诀“同小取大小”，数轴上表示m+1的点在3的右边，

∴m+1＞3，即m＞2

（3）精准定值：令m=2，知

∴原不等式组的解集是符合题意

（4）综上，m的取值范围是m＞2

二、“一大一小”有解型

例2：已知不等式组有解，则m的取值范围是____

解析：（1）大致定位：∵不等式组有解，

∴根据口诀“比大小，比小大，中间找”，可知数轴上表示m和2的点一左一右有重叠，

∴数轴上表示m的点在2的左边，∴m＜2

（3）精准定值：令=2，知∴原不等式组的解集是，符合题意

（4）综上，m的取值范围是m≤2

变式：已知不等式组有解，则m的取值范围是____

解析：（1）大致定位：∵不等式组有解，

∴根据口诀“比大小，比小大，中间找”，可知数轴上表示m和2的点一左一右有重叠，

∴数轴上表示m的点在2的左边，∴m＜2

（3）精准定值：令m=2，知∴原不等式组无解，不符合题意

（4）综上，m的取值范围是m＜2

三、“一大一小”无解型

例3：已知不等式组无解，则m的取值范围是______

解析：（1）原不等式组可化为

（2）大致定位：无解，

∴根据口诀“比大大，比小小，解不了”，可知数轴上表示2和m-1的点一左一右没有重叠，

∴数轴上表示m-1的点在2的右边， ∴m-1＞2,即m＞3

（3）精准定值：令m=3，知∴原不等式组无解，符合题意

（4）综上，m的取值范围是m≤3

变式：已知不等式组无解，则m的取值范围是___________

解析：（1）大致定位：∵不等式组无解，

∴根据口诀“比大大，比小小，解不了”，可知数轴上表示3m-1和m+1的点一左一右没有重叠，

∴数轴上表示的m+1点在3m-1的右边， ∴m+1＞3m-1即m＜1

（3）精准定值：令m=1，知∴原不等式组无解，符合题意

（4）综上，m的取值范围是m≤1

四、一元一次不等式组中的整数解问题

例4：已知不等式组有2个负整数解，则m的取值范围是____。

解析：（1）原不等式组可化为

（2）大致定位：∵x＞-3且原不等式组有2个负整数解，

∴原不等式组的负整数解分别是-2，-1

∴可知数轴上表示m的点大致在-3和-2之间，∴ -3＜m＜-2

（3）精准定值：令m=-3，知原不等式组的解集是x＞-3

原不等式组的负整数解分别是-2，-1符合题意

令m=-2，知∴原不等式组的解集是x＞-2

原不等式组的负整数解分别是—1，不符合题意

（4）综上，m的取值范围是-3≤m＜-2

例5：已知不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_________。

解析：（1）原不等式组可化为

（2）大致定位：∵且原不等式组有4个整数解，

∴原不等式组的整数解分别是2，3，4，5

∴可知数轴上表示1-m的点大致在5和6之间，

∴ 5＜1-m＜6, 即 -5＜m＜-4

（3）精准定值：令m=-5，知∴原不等式组的整数解是2，3，4，5，6。不符合题意

令m=-4，知∴原不等式组的整数解是2，3，4，5。符合题意

（4）综上，m的取值范围是-5≤m＜-4

变式2：已知不等式组有3个整数解，则m的取值范围是______。

小结：具体来说“大致定位，精准定值”的数形结合的方法求不等式组中的参数问题可以分为如下几个步骤：

1、求出每个不等式的解集（某些不等式的解集是用含参数的不等式表示）

2、大致定位：逆用口诀，在数轴上求出用参数表示的点的大致位置

3、精准定值：令用参数表示的点的值为端点值，检查端点值是否符合题意

4、写出参数的取值范围