深刻理解考题立意，并列问题递进求解——以中考综合题解题教学为例

☉苏州市高新区第一中学 汪晓玲

深刻理解考题立意，并列问题递进求解
——以中考综合题解题教学为例

☉苏州市高新区第一中学 汪晓玲

中考复习期间，学生会练习大量的习题，教师也会讲评大量的习题，一个较为普遍的现象是习题与习题之间缺少必要的联系，讲评时也常常是就题讲题，核实答案、一题多解，学生学得苦、教师教得累.本文提供一种解题教学的视角，希望将具有同类解题策略的习题归类讲评，让学生和老师在这类问题的研讨过程中感悟、提炼出解题策略：“并列问题递进求解”.

一、考题及思路讲解

考题1：如图1，点P（t，0）为x轴正半轴上的一点，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线y= -x2+4x和于点A、B，且点

A在点B的上方.

（1）求两条抛物线的交点

坐标；

（2）当线段OP、PB、AB中恰有两条线段相等时，求t的值.

考题2：已知二次函数y=ax2+bx+c（c≠4a），其图像L经过点A（-2，0）.

（1）求证：b2-4ac＞0；

思路简述：（1）把A点坐标代入二次函数的解析式，得4a-2b+c=0，则.这里运算、配方是难点.接下来就是分析这个完全平方式一定为正数，由题干中的条件c≠4a，得2a-c≠0，所以，故b2-4ac＞0.

结合在（1）中已得的关系式4a-2b+c=0，代入①式，可得b+3=0，解得b=-3.

另解思考：由题干信息“点A（-2，0）”可确认方程ax2+bx+c=0有一个根必为x1=-2，于是设另一个根为x2，则有，即，也就确认了点B即为抛物线与x轴的另一交点！于是点B的纵坐标b+3=0，解得b=-3.

考题3：已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）.

（1）若h=-1，k=1，求抛物线的解析式；

（2）若抛物线y=mx（2m≠0）也经过点A，求的值；

图1

（3）若点A在抛物线y=x2-x上，且h≥2，求a的取值范围.

思路简述：根据题意，抛物线的解析式还可以表示成“顶点式”：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

（1）比较简单，把h=-1、k=1代入顶点式，得y=a（x+ 1）2+1.由抛物线经过原点，可得a=-1.即y=-（x+1）2+1，或y=-x2-2x.

（2）由抛物线y=mx2（m≠0）经过点A（h，k），可得k= mh2.①

由y=a（x-h）2+k（a≠0），得y=ax2-2ahx+ah2+k.由该抛物线经过原点，知ah2+k=0，则k=-ah2.②

将①代入②，消去k，得ah2+mh2=0.结合条件h≠0，所以a=-m.即

（3）由点A（h，k）在抛物线y=x2-x上，可得k=h2-h.代入抛物线的顶点式，得y=a（x-h）2+h2-h.结合抛物线经过原点，可得ah2+h2-h=0.由条件h≠0，两边同时除以h2，得.接下来讨论的范围.当h≥2时，则-1＜a≤-

另解思考：第（3）问中的等式ah2+h2-h=0，也可变形为（a+1）h2-h=0，则（a+1）h=1，故.把h看成关于a的一个函数，可以视曲线向左平移1个单位得到h=，这样结合函数值h≥2，可分析出自变量a的取值范围：-1＜a≤-

二、教学思考

1.深刻理解考题命题立意，挖掘隐藏信息、思考一题多解.

教师备课时，不但要贯通思路、获取答案，而且要深入思考考题的命题立意，挖掘题目中的隐藏信息.比如，考题1第（1）问“求两条抛物线的交点坐标”，貌似与下一问无甚关联，不少学生因为缺少思考，忽略了t的取值范围，导致取舍不当影响了最终答案的确认；考题2第（2）问虽然使用代入运算也能获得问题解决，但繁杂的运算让部分学生望而却步，因为看不到运算的目标和方向，少数学生选择放弃解题，这时如果引导学生善于挖掘隐藏信息，读出根与系数关系所带来的性质，则可柳暗花明，确认点B位置的特殊性（抛物线与x轴的另一交点），从而实现问题解决.

2.引导学生回到基本概念获得解题念头，并安排回顾反思.

中考每份考卷都有一定比例的陌生题、原创题，或学生没有见过的新题，这类试题保证了考试的公平性，需要学生在较短时间内理解题意、贯通思路、书写解题步骤.考前辅导需要引导学生回到基本概念去解题，自然而然就会有思路现，比如，考题3需要引导学生重视二次函数的一般式、顶点式，并能在这些不同形式之间切换.此外，讲评这类习题时，要注意安排回顾反思环节，在这个环节，要引导学生本着“求简”思维，思考更为简洁、深刻的解法.比如，考题2，我们在“另解思考”中呈现的根与系数关系解法，就是一种简洁、高效、深刻的解法，需要付出更多的思维参与，符合数学较难习题的解法特点：算法简单的思路，往往要付出逻辑思维的代价.

3.重视从函数视角解决问题，引导学生数形结合直观思考.

函数是初中核心概念，到高中还会深入、系统研究，每份中考试卷都十分重视对函数的考查，然而由于初中学段的特点，不少考题既可以走数式、方程、不等式解法思路，也可以从函数视角处理，满足不同思维风格学生的特点.我们在讲评试题时，要注意引导学生从函数视角解决问题，函数视角往往站得更高、视野更全面、更有全局性.如考题3，在另解思考中，我们针对变量a的取值范围，从两种不同的函数视角，数形结合，直观思考，可以获得深刻理解.

三、写在后面

中考综合题的讲评是中考复习期间几乎每天都要开展的解题教学话题，怎样把一些看似没有关联的综合题结合在一起，归类讲评，引导学生在获得思路或答案之后，发现、感悟解题策略，洞察同类问题的深层结构，追求解一题、会一类、通一片的效果，我们的努力还很初步，需要进一步积累案例、加深认识.

1.秦怡.回到概念，让解题念头“自然生成”——从一道几何难题的思路突破说起［J］.中学数学（下），2017（2）.

2.王成.同类链接促进感悟，模考讲评提升效益——以一次模考题的链接讲评为例［J］.中学数学（下），2017（2）.

3.刘东升.并列式问题与递进式求解——由一则解题教学案例说起［J］.中学数学教学参考（中），2012（8）.

4.付小飞.明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考［J］.中学数学（下），2016（7）.