设计结构性初始问题的实践与探索——数学教师专业成长的视点

☉安徽淮北师范大学数学科学学院 张 昆

☉江苏扬州中学 张乃达

设计结构性初始问题的实践与探索
——数学教师专业成长的视点

☉安徽淮北师范大学数学科学学院 张 昆

☉江苏扬州中学 张乃达

数学教学所要传授的知识相对固定（其最低限度已经写入《课程标准》，从而有据可查）.但是，运用什么样的方式来传授这种已经设定了的知识，却随着教师所萌生与定型的教学理念、预设的教学目标、持有的教学观念、获得的教学经验、采用的教学方式等的不同而不同；随着理解特定数学知识性质、揣摩学生掌握特定知识性质时绕不过去的认知方式、估计学生发生知识时的现场思维活动意向与动机等的不同而不同.据此存在多种选择余地，不同的教学设计对发挥数学知识的教育价值，促进学生数学素质发展的结果大相径庭、迥然有别.本文从教学设计实践的角度，讨论设计结构性初始问题.

一、初始问题的作用及其优劣判断的标准

数学教学是数学活动的教学，从本质上说，数学活动是一种思维活动，而数学思维活动又集中地表现为提出问题、分析问题与解决问题的过程.因此，从某种意义上说，数学教学设计就是数学问题的设计.它的中心任务就是要设计出一个（或一组）问题，从而把教学过程组织成为提出问题、分析问题与解决问题的连续的探究活动过程，为学生营造出一种思维场域或空间，启发学生在分析、问题解决问题的过程中做数学、学数学，从而增长知识、发展能力、提高素质.因此，有效的数学教学设计，教师的主要责任（或任务）就在于设计好一个初始问题，从而为学生展开思维活动提供一个广阔的空间，指引一个正确的方向，接下来教师要做的就是放手让学生去思考、去探索、去尝试、去发现，在某些关键环节处，适当启发，而不要多加干预.应该相信，学生通过思考、探索、尝试，一定会为数学课堂活动提供丰富的素材，其本身就是一堂生动的富有教育意义的数学课.

由此可知，设计好一个初始问题就从根本上规划好了一节课的整个活动轨道，因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开的.初始问题向学生提供了数学课堂思维活动的支点，从这个初始问题出发，到发生知识结论之间可能还会有不少中介过渡性问题，学生将基于探究这个初始问题而获得一系列新问题，这些新问题不可能摆明在那里，它需要利用猜想等手段从初始问题的规定性及其发现活动的规律性中揭示出来，学生对自己探究发现的那些素材进行辨别选择，从而确定基于初始问题而发展出来的有价值的新问题，这对学生的创新、发现等的培养具有极其重要的意义.可以说，在初始问题确定之后，一节课的大体发展方向和框架就已经被确定了——学生就会按照自身的思维逻辑展开了.

因此，研究者主张教师在教学设计时，一定要通过悉心探索、深思熟虑，找到并设计好初始问题，以及解决初始问题的概略性方案（大多数情况下不止一个）和可能准备使用的几种适应学生状况的思维模式以后，再重点弄清关键部分的细节，就可以去上课了.当然，在具体的课堂教学活动过程中，由于学生群体的差异性及其思想的创造性，教师在教学时可能会遇到不少意外情况，这些正是学生通过探究所发现的创造性成果，但是，只要教师秉持启发探究活动的原则，不回避问题与矛盾，就一定会上好课，而且会出乎意料地精彩、自然和富有创造性.

由此看到，初始问题的作用不仅仅只是在于达到“创设问题情境”与“引入新课”的目的，而且决定了一节课的节奏——几个小高潮（中间过渡性问题的关键环节节点）的组成，并且规划了推进一节课的行进方向.因此，它不仅仅只是（“戏”）课的“开场锣鼓”，而且也是（“戏”）课的本身.初始问题在教学设计活动中具有如此重要的作用，因此，数学教师一定要重视初始问题的设计，形成教学经验，提升设计水平，为此，研究者通过长时间的实践与思考，提出判断一个好的初始问题的几项标准：

其一，初始性.初始问题是作为数学教学起点的问题，如果不具备初始性，就势必掩盖初始问题产生以前的思维过程，因此，初始问题必须是能够导致数学概念、定理、法则、方法与观念得以产生的问题.其二，载体性.由初始问题所引发的思维活动（包括解决初始问题的活动）构成一节课的主体，因此，初始问题是课的载体与框架.为了做到这一点，初始问题必须具有很大的思维容量、足够多的思维层次.这不仅要求问题具有探究性、非常规性，而且要具有易启动性.其三，结构性.好的初始问题（特别是在中学阶段）不应该是一个孤零零的问题，它应该与数学知识体系血肉相连，应该具有深刻的背景（例如，蕴含丰富的数学思想），能揭示新旧知识之间的联系.

二、两个课例

长期的数学教师实践的启示又使我们认识到，总的说来，有两条渠道可以导致新的数学知识产生.其一，在应用数学知识解决现实实际问题的活动过程中，相应地，这种发生数学知识的特点构成了应用型的初始问题，也是我们通常所说的“创设问题情境”；其二，在进一步完善与发展数学知识结构的活动过程中，学生从已经掌握了的数学知识结构中产生新知识，这种发生数学知识的特点构成了结构型的初始问题，年级越高，教师越应该考虑创设结构性的初始问题.本研究主要探索设计好结构性初始问题，从而提升数学课堂教学的有效性.那么，如何设计结构性初始问题呢？我们选择从教学实践中的课例出发展开问题的研究.

课例1：数轴定义.

师：有理数组成：负有理数；0；正有理数.（板书）

师：（初始问题）今天，可以用一直线上的点表示有理数吗？

生1：负数、正数都无限多，0只有一个，在MN上任取一点O，规定它表示0（如图1）.

师：如此，点O将直线MN分成三部分，自身表示0，称点O为“原点”.于是，负、正数该由射线OM或射线ON（除端点O）上的点来表示.究竟哪一条射线上的点表示负数，哪一条射线上的点表示正数呢？（学生想出许多区分方案）

师：这些方案中，哪种更简单、更实用？

生：用箭头！

师：在图1的直线MN上，画一个箭头.规定，用具有箭头的射线上的点表示正数，反之，表示负数.称箭头为“正方向”（如图3）.

师：在图2中表示有理数+2？（两个同学各自选择不同的点A和点B表示+2，如图3）

师：哪一个才是表示+2的点？（学生决定用一把“尺子”来裁决，以原点O为起点，在具有正方向的那条射线上次第量两“尺子”，规定“尺子”落脚的终点C为表示+2的点，如图4）

图3

图4

师：“尺子”是一个度量长度的“单位”，称之为“单位长度”.

师（板书）：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.

课例2：零指数.

问题1：（复习）计算a8÷a5.生1：a8÷a5=a8-5=a3.师：理由是什么？生1：同底数幂的除法法则，即am÷an=am-n（m、n是正整数）（*）.

问题2：（初始问题）计算a4÷am.生2：a4÷am=a4-m.

师：根据是什么？

生2：法则（*）.

师：好.当m=1时，a4-m=a4-1=a3；当m=4时，a4-4=a0；当m= 5时，a4-5=a-1；….这里，a0、a-1具有怎样的意义呢？

生：……

师：a3是什么意义？a0是否表示0个a相乘呢？a-1是否表示负1个a相乘呢？

生3：不能.

师：那么a0究竟表示什么意义呢？既然不知道它的意义，上面的做法就有问题了……

生3：做错了.

师：错在哪里呢？既然你是根据法则做的，又为什么会出错呢？

生4：法则（*）中少了一个条件m＜n.

师：生2忘记了法则（*）成立的条件.现在证明一下法则（*）.（学生运用“回到定义去”的方法加以证明）

师：那么a4-m究竟等于什么呢？（有人提出要讨论）师：因为当问题不能全部解决时，可以使用讨论的方法，一部分一部分来解决.如何讨论？

生5：分m＜4、m=4、m＞4三种情形讨论.当m＜4时，a4÷ am=a4-m……

师：那么，当m≥4时呢？

生6：无意义.

师：无意义吗？比如，当m=4时，a4÷am=1；当m=5时，，怎么说无意义呢？

生7：当m=4时，a4÷am=1；当m＞4时，

师：对！当m=4时，并不是题目无意义，题目的意义是明确的，是同底数幂的除法.没有意义的东西只是a0、a-1等形式.过去所定义的正整数幂已经不适用了.因此，

师：如此看来，a4÷am这么简单的问题，都要分三步讨论，太不方便了.能否简化它？如此一来就要扩大幂的概念，从现有的正整数幂的概念出发，扩大到整数幂概念（即规定a0、a-1、a-2等的意义），进而，将来还要将其扩大到有理数幂如等，这就是本节课的教学任务（.下略）

三、两个结构型初始问题课例设计的心路历程

本研究的主题要旨是基于教师教学设计的专业成长的视角，它需要数学教师通过自己的教学活动实践完善教学设计技艺，从教育理论上形成教学设计的某些有价值的理念，并且要结合技艺与理念形成教学设计思想，据此，探讨一个教师专业成长的规律、自我努力的方向及其实现途径.为此，研究者描述这两个结构型初始问题设计的心路历程，以总结经验，形成可以交流与理解的文字表达，从而期望启发广大数学教师专业成长的努力方向，尽可能地寻得教学设计的规律性认识，减少摸索的环节，增加专业成长的速度.

关于课例1：研究者第一次教授“数轴”定义时，谈不上对这一知识点有多深刻的理解，教学设计时，就回想起自己学习时教师的教学情景（记得当时老师采用了“温度计”作为类比的实物原型；教材也是如此利用温度计的）.研究者照猫画虎，对于这些东西没有辨别能力，当然也不可能往深处想，也就使用“温度计”可以读出温度数值的特点，将其对应于“数轴”的“三要素”分别加以解释说明，这种设计教学的效果如何，自己找不到评判的依据，做不了评判.如此，很长时间都是采用这种方式教学，直到1987年，县级初一年级数学竞赛的一道填空题：“‘数轴’定义中的‘正方向’的作用是________.”我校选手全军覆没，这一事实警醒研究者，使自己意识到这种“数轴”定义的教学途径肯定存在问题，因为学生对这一知识点没有真正地理解，研究者在相当长时间里一直受它的困扰.

有一天夜里醒来，又想到了“数轴”定义的教学设计问题，突然明白了所谓“数轴”不就是将有理数用一直线上的点来表示吗？那么，引入“三要素”不就是为了保证每一个有理数都可以用这条直线上的一个点的精确位置来表示吗（现实问题促动了研究者对教材的深入理解，这是教材分析结果，这种分析中的灵机一动，似乎是在无意识中进行的，其实是研究者很长时间内专注思虑的结果，它将会提示学情分析）？教学设计的过程不就是重在突出“三要素”的个性功能及其整合而形成整体功能的过程吗？如此，这种知识的结构-功能分析为课例1的教学设计流程的本质奠定了最初的设计理念的基础.于是，结构性初始问题的那粒种子已经跃然心间了.

由此，我们也看到，教材分析的艰难，过去笔者所知道的东西，只是“数轴”定义字面上的含义，是一种陈述性的知识，它将内涵丰富的思想内容遮蔽在这十九个字当中.其实，对有理数概念所内含的要素的不同特点及其构成环节与数轴“三要数”将一条直线划分成三个部分的特点及其构成环节的关系没有真正的结构性的把握，就不可能设计出有价值的初始问题.到此时，笔者才算是在较深的层次上理解了“数轴”的定义，它需要不断地反思，做有心人.研究者在现实的结果促动下，对于数轴定义结构的思考达到了如此的程度，仿佛在我的大脑中设置了一个极强的磁场，任何具有教学设计思想价值要素的“铁屑”飞过，都难逃捕获，心念所动，产生的一丝一毫的贡献都聚焦到对这一知识的理解上来了.

如此，研究者加深了理解“数轴”定义的层次结构，弄清楚了组成有理数的元素结构环节及其联结中介与组成“数轴”定义知识点结构环节及其联结中介之间的联系，从而提供设计结构型初始问题的有用材料.但是，这还只是处于对知识的一种理解的层面，不过，达到了如此理解知识的层面，为设计结构型初始问题提供了基础与动力，为思想资源的积累与改进提供了方向.那么，如何通过教学设计将如此的理解化为引导学生发生“数轴”定义认识的心理活动过程呢？

由于笔者长年学写数学教学论文，接触了数学教育教学理论，对皮亚杰的《发生认识论原理》一书尤其着迷，这在更深层次影响着教学设计的意向与理念，由此，推敲学生发生“数轴”定义认识的心理活动环节，发现有理数由负有理数、0与正有理数三个不同类型的要素所构成，学生发生认识活动是“由特殊到一般”的方式展开心理环节的，在有理数的这三种类型要素中，0是一个特殊的要素，可以任取直线上的点O表示，构造出“原点”；以此为支点，由目标（呈观念形态）的导向，可以次第构造“正方向”与“单位长度”；理清了学生发生“数轴”概念的心理活动环节，最终确定了“结构型初始问题”的具体表达，“可以用一直线上的点表示有理数吗？”从这个课堂教学课例上看，在这个结构型初始问题的贯穿下，学生发生数轴的认识自然、流畅，提高了教学的有效性.

关于课例2：1991年，早期发生学生数学观念教学实验组在江苏油田中学举行研讨会.学校的老师们临时提出让研究者上一节观摩课，课安排在上午第二节，课题是“零指数”.第一节是另外一位老师的公开课，我一边听，一边准备自己的课.由于研究者一直是高中教师，以前没有研究过零指数的教学，当仔细审视这个知识点时发现，它是一节很难上的课.零指数的知识内涵中蕴含着极其丰富的思想意义，是对学生进行数学观念教学的极好载体.可是要让初二学生了解它的思想意义却不是一件容易的事.作为早期发展学生数学观念的实验课，当然不能硬性地让学生接受零指数的定义，因此，这节课的教学设计是一个相当困难的问题.研究者经过分析认识到，关键在于要让学生体会到引入零指数的必要性，而这种必要性是不可能通过教师的讲解让学生理解清楚的.恰恰相反，这样的课，常常是教师讲得愈多，学生愈糊涂.

出路在哪里？在于要设计一个初始问题，显然，这个初始问题不是应用型问题，而必须是结构型问题，因为它是数学知识的内在结构性决定的，因此，启发学生在解决问题的过程中感受到建立零指数的必要性尤为重要.那么，应该设计出一个什么样的结构性初始问题呢？研究者想了一个又一个问题，都不能满足一个好的初始问题的标准，自然被自己否定了.这时，这位老师的公开课就要下课了，可是，研究者依然没有找到合适的结构性初始问题，不免产生了几分紧张的感觉.

在最后的时间里，研究者非常冷静地对问题进行了又一轮分析，心念所动的是，课本上的讲法为什么行不通呢？这是因为课本中采用的计算a5÷a8①的问题，学生可以自然轻松地运用分式的工具解决它，根本不能启发学生想到“幂的运算法则”（a5÷a8=a5-8=a-3）的建构活动；而计算a8÷a5②类的问题时学生又可以顺利自觉地使用“幂的运算法则”解决它.如此学生对这两者之间的联系无法整合在一起，陷入了进退维谷的处境.至于像课本上那样，把计算①与建构新的“幂的运算法则”这两个问题统一起来考虑，学生是根本想不到的，也是很难那样理解的（这正是课本上的讲解方法不能被学生接受的原因之所在）.

思考至此，一个念头急如电火般地在脑中闪现了，应该将①和②两个计算性问题整合起来，变成一个新问题.于是，研究者在这种教学急智的促动下，迅速地找到了合适的结构型初始问题，这就是计算a4÷am的结果“a4-m（m是正整数）”.直到此时，教学设计的基本框架已经形成了，研究者意识到，课堂教学的进程环节，就已经被这一初始问题规划好了，这些细节其实没有必要加以详细地设计了.与此同时，下课铃响了，于是，研究者满怀信心地走进了课堂.课例2的现实教学实践表明，在这个结构型初始问题的探究活动中，为学生规划出了非常好的思维空间，获得了很好的教学效果.

四、设计结构型初始问题的主要技术要求

从这两个比较成功的教学设计的课例中可以看出，初始问题如此重要，它奠定了一节课的教学活动的基调，是实现一节数学课的教学目标的重要凭依，规划着一节课的主要环节，是一节课教学活动环节推进的原始动力及不断补充动力的基础，于是，决定了一节课的效率与效果，也几乎决定了一节课的成败.因此，是教师专业成长的一个起始的、非常重要的环节，也是教师专业成长的重要标志之一.教师在关于某一个知识点的教学活动时，能否设计出合理、合适的初始问题，标志着教师驾驭一节数学课的技艺与能力.那么，设计出合理的结构型初始问题对教师提出了哪些主要技术要求呢？

其一，分析知识的能力.数学知识结构与它所展示在师生面前的（数学化信息所组成的）现象往往相差甚远，我们把数学知识结构称为真知，而把这种结构表现出来的现象成为“熟知”，在教学设计时，我们往往以“熟知”为“真知”，造成了设计不出合理、合适的初始问题.例如，课例1中，当研究者没有发现数轴定义的真正结构构成时，只能以温度计为类比的原型，模拟它把数轴的定义传递给学生，但这只是人云亦云的“熟知”，无怪乎通过如此教学活动，学生依然对数轴“三要素”的作用一无所知.但是，我们大多数时候都是被问题的表象所遮蔽，想获得数学知识结构的本质绝非易事，需要我们数学教师做出极大努力.

其二，分析学情的能力.分析知识，把握知识本质结构，为教师设计初始问题提供了客观的物质性骨架，在此基础上，教学需要充分估计学生发生数学认知的心理活动环节，教师必须透过学生的思维来透视自己所设计的初始问题.此时，最为主要的技艺是与学生进行“心理换位”.所谓“心理换位”，就是教师在进行知识的教学设计时，设身处地地站在学生的立场上，摹仿学生的心理去探寻与获取知识.教师把自己设想成学生，体会学生已经掌握的知识，思考问题的能力与模式，处理问题时的心理活动经验等.教师要将自己在学习这一知识之后获得的东西（知识、思维能力与经验等）假想成一无所知，以此来揣摩学生知识的发生过程.在课例2中，教师设计初始问题的心理活动，就是运用“心理换位”的途径寻找学生观察、分析问题的视角，最终获得了“a4-m（m是正整数）”这个初始问题.

其三，教学设计的经验.在这种经验中，包含了秉持的教育理念、教学行为方式等.一个初职教师与一个具有几十年经验的老教师在设计初始问题上可能具有天壤之别.这两个课例可以充分说明问题，一个老教师总是充分利用自己的经验，分析知识、分析学情，从而做到设计初始问题时的恰如其分.

五、简要结语

我们知道，教材编制时，受到诸多限制，其中最大限制是依据知识发生的最为直接的途径，从而，很容易造成教师在使用教材进行教学设计时，仅仅依据教材的安排，直接将知识传递给学生，客观上形成了学生犹如微机“下载”文件的方式发生认识，如此，会损伤数学知识的教育价值.因此，教师在教学设计时，必须利用教材上提供的知识本质，而不拘泥于教材上提供的对于知识的表象上的描述，加以创造性地改建，从而实现“用教材教，而不是教教材”.设计合理、合适的结构性初始问题，是实现数学教学目标的重要途径，也是教师专业成长的内在诉求.

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