重视数学课堂“过程”，提升学生数学素养——以“等腰三角形的轴对称性（1）”的教学为例

☉江苏苏州高新区第五初级中学校 刘志昂

☉江苏苏州高新区第五初级中学校 童玉峰

重视数学课堂“过程”，提升学生数学素养
——以“等腰三角形的轴对称性（1）”的教学为例

☉江苏苏州高新区第五初级中学校 刘志昂

☉江苏苏州高新区第五初级中学校 童玉峰

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）：“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系.课程内容的呈现应注意层次性和多样性.”因而新课程把“开发学生潜能，塑造健全人格，提升核心素养”作为最重要的任务.它追求的是显性知识与隐性知识的均衡发展，提倡结论的多样性和获得结论的思维方式与认知过程的多样性，强调概念的形成过程，原理（性质、法则、公式、定理）的发现与推导过程，问题、结论的探索过程，解题方法的思考和形成过程，思想方法的深化过程，促进学生的后续学习.本文以苏科版八年级上册“等腰三角形的轴对称性（1）”的教学设计为例，谈谈关于重视数学课堂教学过程、提升学生数学素养的若干思考.

一、动手操作实验，激发探究热情

人的思维过程始于问题情境.问题情境具有情感上的吸引力，能使学生产生学习的兴趣，激发他们的求知欲与好奇心.在几何知识的教学中，应多设置探究性的操作实验，在操作活动中去思考、归纳，所设置的数学探究活动的难度应力求趋向学生思维的“最近发展区”，这样才能最大程度地激发学生头脑中的“最佳活动区”，在短时间内使学生迅速集中注意力，使学生从心理和思维上进入良好的准备状态，为学生深入钻研、主动探究新知打下良好的基础.

在本节课的开始，设置了这样一个数学操作性探究活动：

如图1，在一张长方形的纸片上，只用剪刀剪一刀，剪出一个等腰三角形，你准备怎么剪？

图1

图2

该问题吸引了全班学生的注意力，由此开展了热烈的讨论.

这是一个半开放性的操作活动，操作的关键是剪出一个两边相等的三角形，同时又要求“只用剪刀剪一刀”；而且也没有要求马上剪，而是要求学生说一说“准备怎样剪”.这样的设计，有利于明确学生操作活动的指向性，更加有利于活动的完成.学生的答案显然是不唯一的，在众多的方法中，让学生自己去选择.最终多数学生选择了如图2所示的方法（先将长方形纸片对折，然后沿此线剪开），充分体现了优化的思想.

这一具有探究性质的操作问题，创设了问题的探究情境，增强了问题的开放气息，提高了问题的趣味性和创新性，引起学生积极的心理活动和情感体验，充分调动了学生的学习兴趣和参与的积极性，增强了问题切入的有效性，激发了学生的探究热情.

二、设置链状问题，暴露思维过程

数学学科的特点和性质决定了数学课堂独有的特色，贯穿于教学始终的提问在数学教学中显得尤为重要.恰当的课堂提问不但能巩固知识，及时反馈教学信息，而且能激励学生积极参与教学活动，启迪学生的思维，发展学生的心智技能和口头表达能力，促进学生认知能力的进一步提升，同时也是实施过程化教学的有效途径.

暴露思维过程是发展学生思维的有效手段.在“过程化”教学中，教师在进行教学时，需要有意地采用适当的方式、方法，诱导学生暴露思维，亮出真实的自我，要先把学生置于某一困境中，再协助他们通过主动探究与合作学习，最终从困境中顺利走出.

在上述操作活动结束之后，教师开始问学生：你能说明这个三角形是等腰三角形吗？（学生回答：有两边是重合的，所以是相等的）教师将三角形展开后，继续追问学生：你是根据图形的什么性质得到这个结论的？（因为折痕两边的部分可以互相重合，所以这个三角形是轴对称图形，中间这条线是对称轴，如图3）在图4中，你还能得到什么结论？（△ABD≌△ACD，AB=AC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD，AD⊥BC）猜想上面的每条结论，如何用文字语言来表述？（AB=AC说明等腰三角形ABC的两腰相等，∠B=∠C说明等腰三角形ABC两底角相等，AD⊥BC说明AD是等腰三角形ABC的高，BD= CD说明AD是等腰三角形ABC底边上的中线，∠BAD=∠CAD说明AD是等腰三角形ABC顶角的平分线）看到线段AD的特殊性了吗？（AD既是等腰三角形ABC底边上的高，又是底边上的中线，还是顶角平分线）由以上探究，你能猜想等腰三角形有什么性质吗？（等腰三角形两底角相等，等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线互相重合）想一想，证明的关键在哪里？（只要△ABD≌△ACD就可以了）如何证明△ABD≌△ACD？（①过点A作AD⊥BC于D，运用“HL”可证△ABD≌△ACD；②作边BC上的中线AD，运用“SSS”可证△ABD≌△ACD；③作∠BAC的平分线AD，运用“SAS”可证△ABD≌△ACD）

上述链状问题的提出，学生在教师的追问之下，清晰地把握学习的思维轨迹和掌握攻克教学难点的思维方法.有目的地暴露思维和有意识地使学生思维暴露，有助于教学双方的相互了解和默契配合，有利于学生数学能力的培养和提高，是数学“过程化”教学的重点.《课标》指出：教学要教会学生运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.上述过程充分体现了这一理念.同时，教师所提出的每一个问题都要给学生留有充足的时间去思考.当学生的回答与教师的预设不一致时，教师要耐心倾听.华南师范大学刘良华教授就说过“真正有效的提问，原来只是‘倾听’”，这对于学生的思维培养非常重要，同时，也是对学生的尊重，可增强他们回答问题的信心.

三、精心设计典例，深化思想方法

数学学科的内容，包括数学基础知识和蕴含于知识中的数学基本思想方法两个组成部分.数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，它蕴含于具体的内容与方法之中，又经过了提炼与概括，成为理性认识.它直接支配数学教学的实践活动过程，数学概念的掌握、数学理论的建立、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体现和应用.

图3

图4

在下面的例题教学中，笔者设计了两个例题.

例1 如图5，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD.

求证：∠ADB=∠BAC.

分析：方法①，要证∠ADB=∠BAC，由于∠BAC=∠BAD+∠CAD，∠ADB=∠C+∠CAD，所以只要证明∠BAD=∠C，只要找到与∠BAD相等且与∠C相等的角即可.方法②，“读题、读图，适当标记加联想”，即仔细阅读每个已知条件，在图中找到相应的位置，相等的角或线段做出相同的标记，每出现一个已知条件都联想可以得到的结论.如由AB=AC知∠B=∠C，由AD=BD知∠B=∠BAD（都用一条弧线标记），则∠C=∠BAD，再根据三角形外角的性质即可证明.

此例的设计，旨在示范几何解题分析的一般方法，具有很强的示范性.同时也渗透了数形结合的思想，而“联想”则体现了思维的方法、深度对解题的影响，同时也是对学生的思维进行训练.而学生在运用这两种方法对题目分析的过程中，积累了成功的经验，进一步迁移到后续的学习过程；也可在自身获取的经验中反思，将所获得的思想方法进一步内化，提升学习实践智慧.

例2 如图6，在△ABC中，AB=AC，点D、E都在BC上，且AD= AE.

求证：BD=CE.

分析：方法①，证明△ABD≌△ACE，从而直接证出BD=CE.方法②，证明△ABE≌△ACD，从而证出BE=CD，在分别减去DE即可.方法③，过点A作AF⊥BC于F，直接应用等腰三角形的“三线合一”性质证明出BF=CF，DF=EF，两者再相减即可.

此例的设计，一来巩固等腰三角形的性质，让学生在此基础上能够熟练运用等腰三角形的性质来解决问题；再者通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，培养学生的创造性思维能力.

在数学课堂“过程化”教学中，教师既要长期地、有意识地、有目的地启发诱导及反复渗透数学思想方法，又要培养学生通过自己的思维活动去逐步理解它、领悟它.数学思想方法的教学，是把传统的知识型教学转化为能力型教学的关键，是培养创造型人才的良好手段和渠道.

图6

四、开放课堂小结，促进后续学习

很多数学教师认为课堂小结就是对本节课所学的数学知识的小结，因而不太重视，往往一笔带过.其实，课堂小结是数学课堂“过程化”教学非常重要的一个环节，它不仅是对显性的数学知识的小结，也是对数学学习方法的小结，更是对隐性的数学思想方法和数学情感的小结，同时也是促进学生后续学习的一个重要途径和方法.所以，课堂小结的形式应更加多样化，应该更加开放.

本课例安排了这样的课堂小结：

小明发现把图7中的等腰三角形ABC绕对称轴旋转180°后，能与原三角形重合，能得到∠B=∠C吗？为什么？

图7

图8

如图8，原等腰三角形顶角的平分线AD平分旋转后的等腰三角形吗？底边上的中线呢？底边上的高呢？

这一设计，让等腰三角形动了起来，体现了动态几何的思想，也激起了学生浓厚的探究兴趣，促进了他们的后续学习，让学习从课上延伸到课下，从课下延伸到课后.

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.作为促进学生全面发展的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用.重视数学课堂过程，就是重视数学知识发生、发展与应用的过程，挖掘与展现数学的思维过程.数学课堂“过程”教学是数学思维的主阵地，重视数学课堂“过程”教学，就是要在教学过程中善于启发、引导学生积极主动地参与数学的探究活动和后续的数学学习，不仅促进学生对显性的数学知识的学习，还加强了学生对隐性的数学知识的学习，真正做到显性知识与隐性知识均衡发展，让学生领悟到数学的本质，提高学生的数学素养.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.杜淑英.在问题链中培养学生的探究能力［J］.中国数学教育（初中），2008（11）.