基于数学抽象能力培养的数学概念教学初探——以浙教版八年级下册“6.1反比例函数”教学为例

☉浙江宁波市镇海蛟川书院 楚秉晶

基于数学抽象能力培养的数学概念教学初探
——以浙教版八年级下册“6.1反比例函数”教学为例

☉浙江宁波市镇海蛟川书院 楚秉晶

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准》修订组提出了六大数学核心素养，即数学抽象、数学推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.对于作为核心素养之一的数学抽象，鲍建生教授曾在《高中数学课程标准修订中若干问题》一文中指出，其有以下四个方面的表现：形成数学概念和规则、形成数学命题与模型、形成数学方法与思想、形成数学结构与体系.由此可见数学概念是最基本的抽象，它的教学是培养学生抽象能力的重要环节.如何让学生经历概念的产生和发展过程，揭示概念的本质与外延，一直困扰着教师.现以浙教版八年级下册“6.1反比例函数”为例进行探索，谈谈自己对培养数学抽象能力的一些体会.

二、教学过程简录

1.情境创设，孕育新知：选材“孕育生长”.

师：课余时间大家和爸爸、妈妈逛过菜市场吧？下面老师带着你们到菜市场去逛一逛，我们边逛边思考下列问题.

问题1：说一说你们都喜欢吃什么菜.

问题2：10元钱分别能买每种蔬菜的质量一样吗？为什么？

问题3：设你买的一种蔬菜单价为x，相应的所能购买的质量为y，则y与x满足怎样的关系式？

问题4：妈妈喜欢吃4.5元/斤的番茄，如果买n斤，所花钱数y应如何表示？

问题5：妈妈买菜已经用了25元，还想买8元/斤的鱼a斤，则总的花费y与a的关系式如何表示？

问题6：妈妈买完菜准备回家，如果菜市场离家1000米，则妈妈到家所用的时间t与平均速度v之间的关系式如何表示？

【设计意图】本着数学来源于生活的理念，选择学生所熟悉的在菜市场购买蔬菜的场景，提出问题串，让学生感到亲切、自然.应用生活经验学生很容易解决这些问题，因此能最大限度地激发学生的学习兴趣，让学生真正体会到“生活处处皆数学，生活处处有函数”.

2.归纳类比，形成概念：播种“萌生新芽”.

问题7：我们利用数学表达式描述了上述几个生活中的例子，请同学们观察这4个表达式，思考下面问题：

（1）每个表达式中有几个变量？

（2）这些变量之间有联系吗？能具体说一说它们之间的联系吗？

（3）研究变量之间的关系，我们通常用的是哪类数学模型？

（4）这里有你熟悉的函数吗？

（5）你能给另外两个函数起个名称吗？

【设计意图】通过层层递进的问题串，使学生进一步感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，在原有函数知识的基础上，进一步深化对函数概念的理解，加强函数反映的是一种“对应关系”的体会，并通过与一次函数、正比例函数的对比，使学生产生认知冲突，引导学生对具体的反比例函数形成感性认识.

问题8：请同学们回忆：我们研究一次函数是从哪几方面进行的？我们研究反比例函数应该从哪些方面进行呢？

问题9：观察上述反比例函数解析式，有什么共同的特征？请同学们分组讨论一下.

问题10：通过思考和归纳，我们得到了反比例函数解析式的公共特征.你能类比正比例函数的定义给反比例函数下一个定义吗？

【设计意图】研究任何一类函数的基本思想方法都是先研究概念，然后研究其图像与性质，最后利用函数来解决实际问题.上述问题串一方面起到了知识的导入作用；另一方面运用归纳、类比的思想向学生渗透了研究初等函数的基本方法，为今后研究其他函数指明了思维方向，使学生了解研究函数问题的“基本套路”，让学生充分感受知识的产生和发展过程.

3.挖掘内涵，深化概念：探寻“生长外延”.

师：根据定义，我们知道反比例函数可以用y=k x（k为常数，k≠0）这种形式来表示，但有时它也会穿着漂亮的花衣服来骗人.请同学们用火眼金睛辨一辨.

问题11：（辨别）下列关系式中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

问题12：（变式练习）已知y=（m+2）x|m|-3是反比例函数，求m的值.

问题13：如何判别反比例函数？反比例函数的解析式有哪几种不同的表达形式？

引导学生归纳y是x的反比例函数就是y与x成反比例，判断是否为反比例函数的关键就是看两个变量的乘积是否为一个非零常数.根据上述辨析和变式，总结反比例函数的三种表达形式（如图1）.

图1

【设计意图】在学生对“反比例函数概念”的认识还不够深入的情况下，引导学生抓住概念的本质，通过让学生辨别反比例函数解析式的各种不同表达形式来巩固落实、深化概念.

4.实际运用，发展思维：见证“完全生长”.

问题14：反比例函数在生活中的应用是非常广泛的，你还能举出反比例函数的其他实例吗？

学生小组合作，交流讨论.教师选取学生所举实例中的某个进行说明.例如：s、v、t三者之间的关系，当s一定时，v是t的反比例函数.

【设计意图】让学生进一步感受反比例函数是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型.学生利用已有的生活经验与刚刚形成的对反比例函数的认识，寻找生活中的实际例子，既培养了学生的合作交流能力、语言表达能力，又为后续问题的提出作好铺垫.

问题15：电压为220V时，电阻y关于电流x的函数关系式为________.

师生互动（具体过程略）.教师引导学生进行总结归纳，得出反比例函数同一次函数一样，也是刻画现实世界中数量关系的一种重要的数学模型.另外，同一个函数关系式可以表示生活中不同实际问题所具有的函数关系.

【设计意图】通过举例、说理、交流达到反比例函数概念的内化、升华，感受现实生活中同一函数关系可以表示生活中不同的实际问题，渗透函数建模的数学思想.

5.综合应用，深化提高：品味“生长价值”.

问题17：如图2，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为yN，动力臂为xcm（图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时：阻力×阻力臂=动力×动力臂）

图2

（1）求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗？如果是，请说出比例系数.

（2）求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；求当x=100时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；当x=150时呢？当x=200归呢？

（3）利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂扩大到原来的n（n＞1）倍时，所需动力将怎样变化.

教师先让学生自学，再进行合作交流（具体过程略）

问题18：（合作交流）解决实际问题的基本过程是什么？

教师在学生充分发表自己见解的基础上进行归纳，给出了以下参考答案：①审题——问题中存在哪些量？哪些是常量？哪些是变量？②分析——变量与变量之间的变化关系是什么？③建模——根据杠杆原理建立函数关系式；④解模——用代入求值法求函数的值；⑤解答——用数学的解解答实际问题；⑥反思——问题的拓展.

【设计意图】在应用反比例函数解决实际问题活动中，用“反思”的方式回顾解题的基本过程，有助于学生进一步认识研究数量变化关系问题的思维模式和解决问题的方法，也有助于在研究过程中发展他们的智力、能力和个性.

6.学有所思，知识梳理：收获“思想生长”.

教师在解题后反思的基础上，呈现下列“问题清单”，要求学生在思考的基础上汇报.

（1）什么叫作反比例函数？反比例函数的本质特征是什么？学习反比例函数有何意义？

（2）反比例函数与正比例函数、一次函数分别有何区别与联系？

（3）用反比例函数知识解决实际问题的基本过程是什么？

（4）你在认识反比例函数的过程中，体会和运用了哪些思想方法？碰到了哪些困难？有何感触？

教师在倾听学生汇报交流的基础上，让学生欣赏反比例函数的自述.

Hi！大家好，我是反比例函数，是函数大家族中的一员.我的本质是变量与变量之间的变化关系.我是一个百变精灵，如果看到或者xy=k（k≠0）这样的等式，那你要擦亮自己的眼睛，她们可都是我的变身哦！对于好朋友“常数k”，我一点也不介意它的正负，可惜就是与k=0无缘.并且x和y也都不能为0，估计这辈子、下辈子也都没法跟0做好朋友了.生活中大量存在着我的身影，但在求x的取值范围时，大家可要小心x的实际意义.要想认识我，其实方法很简单，你可以类比学一次函数的方式——抓住变量与变量之间的变化关系，遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律，采用运动的观点和数形结合的思想.

【设计思路】在独立思考和合作交流中，引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法等方面的收获，形成知识网络，提升对数学思想方法的理性认识.在总结的同时让学生体验收获知识的快乐，培养敢于展示自我，敢说、敢问、自信的学习品质.

三、基于课例的几点思考

数学概念是客观现实中数量关系和空间形实的本质属性在人脑中的反映，是数学知识体系中的基本元素，也是数学教学的核心.数学概念是人们通过实践，从数学研究对象的众多属性中抽象出其本质属性，经高度概括而形成的.因此，数学概念具有高度的抽象性，这是数学概念难教、难学的原因之一.特级教师吴增生老师在“数学抽象及其教学设计”的讲座中指出，数学概念抽象具有以下步骤：分离与建构—概括与普适化—定义与符号化—系统化.在概念教学中，教师必须要追溯概念本源，展现其形成过程，挖掘其内涵和外延，才能真正培养学生的数学抽象能力.

1.“数学抽象”须着眼于概念的分离与建构.

分离与建构要求通过对比、联想和表征初步发现属性，建构起具有本质特征的若干典型对象.概念的分离与建构过程是对概念产生原因的解释过程.不同的概念产生的背景不一样，有的概念产生是为了满足社会发展的需要；有的则是为了满足知识发展的需要.因此在操作时，要揭示概念生成的背景，了解概念产生的必要性与合理性，让学生经历对概念由感性到理性的认识过程.本课例以学生感兴趣的去菜市场买菜为背景，立足于“简而不减”的思维层面，创设了有利于调动学生积极思维的问题情境，直击学习的主题，使比较复杂的内容变得简单明了，让学生体会到数学来源于生活也应用于生活，同时为后续活动的定向展开作了必不可少的奠基.

2.“数学抽象”须着眼于概念的概括与普适化.

概括与普适化要求通过对研究对象的一般化概括确认其共同属性.数学抽象要以基于感知和操作的知觉经验为基础，通过典型的实例引导学生对概念的属性进行分析、比较，充分讨论、理解后归纳出共同属性.这个过程一定要让学生有充分的过程性体验，让学生以“发现者”角色经历概念的发现过程，辅助学生对知识进行同化与顺化，促进学生认知水平的发展.

本课例以学生现有的知识经验为起点，为激发学生形成概念搭建了由浅入深的问题串，让学生了解反比例函数与以前所学的一次函数的不同之处，通过分析归纳对具体的反比例函数表达式的基本特征有一个感性的认识.

3.“数学抽象”须着眼于概念的定义与符号化.

定义与符号化要求定义对象，明确概念的内涵，准确表述概念.史宁中教授对数学抽象有很独到、深刻的见解.他认为抽象有两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达.在给概念下定义的过程中，学生对概念的本质属性理解透彻后，需要进行整理，一般用文字语言来阐述，但为了记忆与使用方便，数学概念还可以用简约的符号语言进行表示.文字语言重在对概念的内涵进行语言方面的阐述，而符号语言则体现数学的简约美.

本课例通过先观察、寻找几个函数解析式的共同特点，再类比正比例函数的定义得到反比例函数的定义及符号表示，这种从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律，为学生开启了学习概念的模式，提升了学生数学抽象的能力.

4.“数学抽象”须着眼于概念的系统化.

系统化要求系统构建概念体系，形成有序多级的数学系统.概念教学的育人功能在于对概念认识的系统提升过程中，通过自主探索、合作交流，促进知识的同化与迁移，让学生在探索中总结数学学习的规律，归纳发现数学知识的方法，领悟数学学习过程中所体现的数学思想，有利于学生数学思维能力的培养.

本课例中，在教师的引导下，学生类比一次函数建构反比例函数的研究内容与思路，类比一次函数解析式的求法研究反比例函数解析式的求法.后续的教学则是分步实施研究方案的过程.通过探索，有效地发展了学生的思维内力，既操练了研究“方法”，又修炼了思维层面的“道”（类比思想、数学建模思想）.

四、结束语

这里笔者只是粗略地勾画了对于“数学抽象能力培养”教学设计的几点思考.在平时的教学中，以数学核心素养为导向的教学设计，须着力创设有利于发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养的教学情境，通过属于学生主观性的数学基本活动，启发学生独立思考、引领学生合作交流、引导学生把握数学的本质.课堂研究没有终点，永远行走在路上.希望这节课能抛砖引玉，让我们的课堂教学内容更加充实，形式更加丰富.

1.鲍建生.高中数学课程标准修订中若干问题［J］.数学教学（中），2014（4）.

2.王飞兵.例谈中学数学概念教学的基本步骤［J］.中学数学教育（中），2014（3）.

3.黄玉华.跨界思维：打开初中数学概念教学的一扇窗——以“一元二次方程”教学为例［J］.中学数学（下），2016（6）.

4.方厚良.谈数学核心素养之数学抽象与培养［J］.中学数学（上），2016（7）.