语境论视角下的案例式数学复习课教学

刘清昆++周丽峰

摘 要

数学概念的理解、问题的解决都需要在特定数学领域的语境中进行，不同的数学领域又有不同的言语体系。实践中发现，案例式数学复习课在数学概念的语义阐释、数学语言的句法分析、数学领域的语境表述、数学语义的转化等方面具有独特的效益。

关键词

数学 案例式 复习课

数学语言是将数学的观念概念化、数学思想外显化的有力载体，是进行数学表达与数学交流的专门语言，具有“抽象性、准确性、简约性和形式化”[1]等特点，这决定了对数学语言的理解与应用具有自身的特质。语境论视角下，学生习得数学语言的过程就是一个习得语形表征、内化语义解释、生成语用能力的过程，其中的“语形表征、语义解释及语用表述是数学语境的三个要素，语形表征研究数学符号之间的形式关联，语义解释研究数学符号的意义，语用表述研究认识主体、数学符号及其意义间的关系，语境是三者相互作用的統一体，并通过他们的有序结构呈现出认识主体与数学对象间的关系”。纵观数学教学，数学复习课无疑是实现学生对数学语言深度认知的重要途径，但现行的复习课要么是知识点的分块分章节的细化梳理，要么是解题技能的反复性操练，根本性原因在于教师预设的复习课以实现学生应试技能的提升为目的，而非以实现学生自我数学语言能力的可持续发展为目的。基于此，我们在实践中通过建构“案例式复习课”帮助学生获得数学言语的语境解释，提升数学核心素养。所谓案例式复习课，就是通过具有明确教学指向的数学问题案例建构学生间、师生间进行信息交互的学习环境，师生共同参与对案例的分析、讨论、评价和寻找对策等工作，案例学习的过程也是学生获得语形的系统认知、建构语义的自我阐释、生成个性化语用能力的过程，其间师生协同学习是实现作为个体学生的认知发展和观念建构、作为群体学生的集体思维形成和递进的主要途径。“数学语言在应用和理解方面，深层结构常重于表面内容、句法分析常先于语义理解”[1]，因此，案例式复习课主要聚焦于数学概念的语义阐释、数学语言的句法分析、数学领域的语境表述、数学语义的转化等方面。

一、语境论视角下案例式数学复习课的实践样式

1.以“数学概念的语义阐释”为目的建构案例

数学概念是建构数学语言体系的基本词汇、是数学思维的起点与节点，在数学语言的习得中占有重要的地位，“语境原则认为仅从词本身不能了解词的意义，必须从词的使用中、从词被使用时所处的语境中、从词被使用时达到的目的中才能深入了解词的本义”[3]。因此，数学概念仅靠文字层面的理解是不够的，应对概念出现的语境进行更多的判断与推理，并明晰上述判断、推理蕴含的深层理由、依据，只有这样我们才能说对概念的理解达到数学层面的理解。这类案例教学应建构能帮助学生实现对概念本质全方位认知的问题场景，使学生在问题解决中实现对概念的深层认知。

案例题组1 关于数学概念定义域的案例式教学

（1）求函数f（x）=lg（x2-x-2）的定义域。

（2）已知函数f（x）=的定义域为R，求实数a的取值范围。

（3）已知函数f（x）=的值域为（-∞，），求函数的定义域。

（4）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求函数f（x-2）的定义域。

……

上述案例建构了数学词汇“定义域”的不同生成场景，学生在不同语境中可通过问题的解决获得定义域的意义理解。

2.以“数学语言的句法分析”为目的建构案例

数学语句（即命题）无疑是表达完整数学思想的具有一定语法特征的最基本的语言单位，根据数学言语的特质，“学生对其理解更多的是句法结构理解，直接深入到语言材料内部寻找关系、探明结构，再根据结构关系进行数学处理”[1]。如我们将数学函数划分为简单函数集？祝，复杂函数集？赘，？祝界定为高中数学教材所学初等函数包括指数函数、对数函数、三角函数等，？赘界定为由上述初等函数经四则运算、复合运算、数学变换等得到的函数，很多情况下对两个集合？祝？圹？赘的转换关系的分析成为问题解决的中心，而关系的分析只能靠句法分析。这类案例学习应该建构那些可以为学生揭示数学语言复杂句法结构的有意义题组，在相应的教学中对句法结构的深度分析优于问题的具体解决。

案例题组2 数学语言复合结构的案例式教学

（1）求函数f（x）=sin（2x-）的单调增区间。

（2）关于x的方程sin2x+asinx+1=0有实根，求实数a的取值范围。

（3）求解不等式log2（4x2）·log2（2x）-8>0。

……

上述问题中，对复合结构代数式g[f（x）]构成方式的深度分析是制约问题解决的关键，通过案例题组的解决学生可以获得对相关数学语句的分析能力。

3.以“数学领域的语境表述”为目的建构案例

“数学问题的解决要建立合适的数学系统，不同的数学领域是用不同形式的系统来表征的”[4]即数学语言在不同的领域有不同的语用约定、语形表征和语义解释。如平面向量中我们用有序数对（x，y）来表征向量即a=（x，y），而解析几何中有序数对只是表征点的坐标，可见数对的“语义解释由语境中特定的语用目的、语用域面以及出现的语句的语形表征所共同决定”[2]。因此，在数学语言的学习中应帮助学生浸润于相应数学领域所涉“语用约定、语形推演、语义解释”的完整语境。这类案例教学旨在帮助学生认知某一特定领域内言语的特质，包括基本的语词、句法、语义乃至思维惯习。

案例题组3平面向量语境的案例教学

（1）已知非零向量的a，b夹角为，且|b|=1，|b-2a|=1，则|a|_________。

（2）已知向量a=（1，x），b=（-1，x），若2a-b与b垂直，则|a|_________。

（3）已知等腰△ABC中，BC=2，AD=DC，AE= EB，若BD·AC=-，则CE·AB____________。

（4）设△ABC，P0是AB边上一定点，满足P0B=AB，且对边AB上任意点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则（ ）。

A.∠ABC= B.∠B 住C=

C.AB=住C D.AC=BC

……

案例中问题（1）（2）帮助学生建构平面向量的语境，如符号约定（a，|a|，a·b…）、运算方式（代数运算体系、几何运算体系）等；问题（3）（4）帮助学生生成平面向量言语的语用能力（坐标化、基底化等思维方式）。

4.以“数学语义的转换”为目的构建案例

高中数学所涉数学语言具有模块化的特征，不同模块的数学语言在语形、语义上具有显著的差异，在问题解决过程中的分析方式也有着显著的差异，但有时不同领域问题的解决过程中，又可以通过适当的策略进行语境的转换，如平面几何、立体几何分别是处理二维、三维问题，立体几何问题可以通过选取截面的方式进行平面化处理。而对于同一个数学问题，分析的视角不同亦会导致问题所涉语境的变化，如关于x的方程x2+ax+1=0有实根，问题解决视角有：（1）看作二次方程根的分布类问题；（2）看作函数-a=x+的值域类问题，这种数学语境的转换有利于帮助学生形成复杂化的知识网络，沟通不同领域知识间的有意义联系，简化问题解决的路径。这类案例教学旨在帮助学生形成在不同领域数学知识间转化的能力，因而对问题的多角度省知优于问题具体解决策略的简单呈现。

案例题组4 数学语义转换的案例教学

（1）关于x的方程有实数根sin2x+asinx+1=0，求a的取值范围。

（2）（2012浙江）已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b。

证明：当0≤x≤1时，①函数f（x）的最大值为|2a+b|+a≥0； ②f（x）+|2a-b|+a≥0。

……

学生通过亲历对上述案例所涉问题的解决，可以体验问题解决的繁、简与问题解决所预设的语境间的关系，此类问题解决场景的不断浸润可以帮助学生生成数学语义转换能力。

二、实践的反思

学生数学语言能力的提升是一个系统工程，即使单一个数学概念的理解也不是一次课、两次课就能解决的，这需要学生在有意义的学习环境中往复的体验、感悟，案例式复习课无疑是一种有益的实践探索，其建构了数学言语认知的强语境，可以帮助学生科学有效地提升自我数学言语能力。

1.数学学习要提升学生的综合语言能力

数学语言学习应关注数学核心概念的理解教学以及数学领域知识系统的建构、应加强学生对数学语言句法分析能力的培养、应关注学生在问题解决过程中的语义转换能力的持续积极变化。数学问题的解决过程中，数学语句的分析能力、语义转换能力制约着学生对问题的适切转换，进而影响到问题解决的繁简。转换为合适数学领域的数学表征只是问题解决的首要条件，接下来对问题涉及领域的数学概念的理解程度、数学推演的掌握程度、数学语义的自我阐释力都影响着问题的完整解决。如问题“sin2x+asinx+1=0有实根，求a的取值范围”可通过语义轉换化为问题（1）“t=sinx，t2+at+1=0，t∈[-1，1]有实根，求a 的取值范围”或问题（2）“求函数a=-（sinx+） 的值域”，学生能否解决转换后问题（1），（2）又取决于其对问题所涉知识领域“根的分布”、“复合函数值域”的认知程度。

2.案例式教学应注重案例的编制及深度省知

案例式教学应关注典型案例的精心编制以及作为学习主体—学生的协同学习、反思性学习的真实发生。有效的学习案例可以营造一个师生共同在场思辨、协同学习的场域，场域中不同个体思维的落差可以引发认知性冲突，上述认知性冲突消解的过程亦是学生个性化认知结构再造的过程，师生间针对案例所呈现问题的积极交互既是促使学生自我数学言语能力提升的主要途径，又是消融因各种因素导致所谓学习知者与惑者共存现象的有力手段。另外，在案例式学习中应加强教师对案例编制隐形知识的明示，加强教师分析问题、建构自我认知思维的自我表露，加强对学生反思性学习的指导，教师既是学生反思性学习的示范者，又是学生反思性学习的指导者。如平面向量语境案例教学中，教师可向学生明示问题（1）（2）旨在帮助学生建构个性化的关于平面向量概念、运算体系的认知网络，（3）（4）旨在帮助学生省知具体问题解决中如何选择合适运算体系的缄默性知识，教师甚至可以暴露自我问题解决的思维过程，以帮助学生形成合理的省知习惯。

3.案例式教学中的知者、惑者可协同发展

案例式教学为真实课堂中实现“自然分材教学”提供了可能，所谓“自然分材教学就是教师让学习内容随学生学习力的差异自然分化，并指导学生研究和解决自己学习中存在的问题的教学理论与实践形态”[5]。案例所呈现题组的异质性为不同学力学生提供了个性化思考的时空，学习过程中的协同式学习又为知者加速、惑者解惑提供了实现路径，如知者可以在为惑者释疑时实现对自我思维惯习、思维策略的深度省知，惑者解惑的同时亦从知者身上习得了问题解决中那些难于明言的缄默性知识，另外，教师学习案例隐性知识的明示、自我思维的表露又为学生个性化学习提供了丰富的素材。我们在实践中还探讨了用微课等技术手段在案例式教学过程中为差异化学力学生提供针对性指导，如诱思式微课可以帮助学生打开思维的视域，展思式微课可为学生释疑解惑，反思式微课可以帮助学生深度省知自我[6]。

参考文献

[1] 邵光华，刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法，2005（2）.

[2] 刘杰.数学语境及其表征[J].科学技术哲学研究，2012（6）.

[3] 涂纪亮.语用学[J].辽宁大学学报，1989（2）.

[4] 郭贵春，康仕慧.当代数学哲学的语境选择及其意义[J].哲学研究，2006（3）.

[5] 熊川武，邵博学.“自然分材教学”的理论与实践探析[J].课程·教材·教法，2009（2）.

[6] 刘清昆.高中数学教材同步性微课的样式与课堂整合[J].教学与管理，2016（16）.

【责任编辑 郭振玲】