初中生符号意识形成策略

钟珍玖

（江苏省江阴市第一初级中学）

初中生符号意识形成策略

钟珍玖

（江苏省江阴市第一初级中学）

符号意识是学生数学学习必备的重要素养，是《义务教育数学课程标准（2011年版）》所提出的10个核心关键词之一，初中阶段是学生符号意识形成的关键学段，所以在数学教学中要有意识、循序渐进地对学生进行符号意识的渗透，在应用中帮助学生形成使用符号解决问题的习惯，从而形成符号意识，为数学学习打下坚实的基础.

符号意识；符号语言；教学建议

数学符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具，所以《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将“符号意识”作为10个核心关键词之一，把“符号意识”作为重要的教学内容，把培养学生运用符号解决问题、发展学生的符号意识作为数学教学的重要目标之一.《标准》关于符号意识的阐述：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.数学离不开符号，数学处处要用到符号.符号意识的重要性是不言而喻的，本文试图阐述如何培养初中生的数学符号意识，以下是笔者在教学中的一些思考和做法.

一、以数和字母表示数为基础，形成符号意识

对于数的有关概念的教学，如相反数、绝对值、运算律等，教材的安排并不是仅仅局限于用数的形式来表达，而且也都进行了一般化的处理，用字母形式化地、更一般地表达了这些概念，为下一章学习、理解字母表示数埋下伏笔，对学生符号意识的形成做了必要的铺垫.因此，教师在备课的过程中应该研究教材、理解教材，在有理数运算的教学过程中，对学生进行必要的、有效的符号意识的渗透.

案例1：苏科版教材七年级上册“§2.4绝对值与相反数”，绝对值概念中渗透符号意识，教学过程如下.

师：你能计算下列各数的值吗？

（1）||10=______，||3.14=______；

（2）||-5=______，-5的相反数是______，||-10.5= ______，-10.5的相反数是______；

（3）||0=______.

生1：10的绝对值为10，3.14的绝对值为3.14；-5的绝对值为5，-5的相反数为5；-10.5的绝对值为10.5，-10.5的相反数为10.5；0的绝对值为0.

师：能用文字表述有理数绝对值的求法吗？

生2：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

师：有理数a的绝对值呢？

生3：当a是正数时，a的绝对值等于它本身，即|a|=a；当a等于0时，a的绝对值等于0，即|0|=0；当a是负数时，a的绝对值等于它的相反数，即|a|=-a.

【教学建议与思考】从认知心理学的角度来看，数是符号意识形成的基础，用字母表示数是符号意识形成的重要手段，所以在教学中要运用数的具体性让学生积累丰富的感性材料，为抽象成字母表示数和数量关系打下坚实的基础.用字母表示数是从算术问题向代数问题抽象的一个飞跃，用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始，教师在教学中应注重把学生的生活经验事实和自然语言转变成抽象的字母来表示，让学生学会用字母表示所学过的数及现实生活中的数量，从学生的生活经验和已有知识经验出发组织教学，贴近学生的“最近发展区”，有利于学生抽象的符号意识的初步形成.

二、用符号的意义建构，形成符号意识

数学符号种类繁多，从数学符号的类型来看，数学符号包括以下内容.

（1）数量符号：①表示数字，如1，2，3，…；②表示数的字母，如a，b，c，…；③表示常数的字母，如π，i，e等.

（2）图形符号：如用a，b，c等表示多边形的边，用A，B，C等表示多边形的角等.

（4）性质符号：“+/-（正、负号）”，“||（绝对值）”等.

（5）关系符号：“≥（大于等于）”，“≌（全等）”等.

这些数学符号本身并不复杂，从教学实践来看学生能够识记，认知心理学认为对于图片和符号如果理解它们的含义，则记忆更容易和持久，应用才会灵活和适切.符号意识形成的难点在于，用符号来表达生活实际问题或者数学问题，理解符号所表达的信息的意义，并且运用符号进行运算或推理.以几何符号语言掌握为例，教学中把几何定义、定理、公理所表达的图形中的数量关系和位置关系，用符号语言表示，再进行合情推理和演绎推理是学生符号意识得以强化的重要手段，也是培养符号意识的绝佳途径.

案例2：苏科版教材七年级下册“§12.3互逆命题”.

证明：平行于同一直线的两条直线平行.

已知：如图1，在直线a，b，c中，b∥a，c∥a.

求证：b∥c.

证明：作a，b，c的截线d.

因为b∥a（已知），

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.

图1

因为c∥a（已知），

所以∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.

所以∠2=∠3（等量代换）.

所以b∥c（同位角相等，两直线平行）.

【教学建议与思考】要让学生形成对符号的意义建构，教学中应做到如下几点：理解符号所表示对象的含义；理解符号运算过程的合理性和基本含义；领悟运算过程或结果中所反映的数学规律；理解、发现运算过程和结果中所蕴含的数学关系、数学结论；理解用符号进行推理的规范和逻辑合理性（即前一步的因就是后一步的果）.

三、用多种语言表征的相互转化，形成符号意识

符号意识的形成载体就是符号语言，符号语言较文字语言具有精确、简洁、通用等优点，但是同时也带来另外一个问题，就是符号语言的抽象性.从教学实践来看，很多学生就是因为带着抽象符号进行思考的障碍，而被拒之在数学门外，让学生学会在抽象层面字母上进行思考，是初中生必须要经历的难关.

案例3：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1，y2关于x的函数图象如图2所示.

图2

（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式；

（2）若两车之间的距离为S千米，试求出S关于x的函数关系式.

对于第（2）小题有两种解决方法.

方法1：由于图象表示的是行程问题，学生较难理解.在实践中，学生在完成此类问题时还是习惯使用文字语言，结合行程的线段图用实际意义法来解决，原因是自然语言更贴合学生实际，有利于学生理解，解法如下.

由图象可知，出租车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时.

如图3，当0≤x≤3.75时，S=600-出租车的路程-客车的路程.

图3

所以S=600-100x-60x=600-160x.

如图4，当3.75＜x≤6时，S=出租车的路程+客车的路程-600；

该规程同时规定，外保温工程施工现场的防火安全由总承包单位和分包单位共同负责，应分别落实施工防火安全责任制；配备或指定防火工作人员，负责施工期间的日常防火安全技术管理工作；应在施工现场合理有效地配置灭火器材与设施。外保温分包单位还应根据工程和材料特点编制施工方案，应避免外保温施工与有明火的工序交叉作业。

图4

所以S=100x+60x-600=160x-600.

如图5，当6＜x≤10时，S=客车的路程；

所以S=60x.

方法2：运用第（1）小题求出的函数解析式，结合y1，y2，S的实际意义，运用解析法，在符号的层面上进行运算，显得简洁明快.

如图6，当0＜x≤3.75时，S=y2-y1=600-100x-60x=600-160x；

图6

如图7，当3.75＜x≤6时，S=y1-y2=60x-（600-100x）=160x-600；

图7

如图8，当6＜x≤10时，S=60x.

图8

【教学建议与思考】教学中，教师有意识地引导学生用含未知数的代数式来表示问题中的量和数量关系，通过教师的示范和学生的练习，熟练地把生活语言、文字语言转化为数学符号语言，学会借助熟悉的文字语言强化对符号语言的理解，借助图形语言建立数量和数量之间的联系.实践证明，用学生熟悉的文字语言和图形语言帮助学生理解符号语言，让学生从数学本质上理解两种解法的内在一致性，经过强化训练，能够深化学生对符号表示抽象意义的理解，达到灵活运用的目的.

四、使用数学符号表述问题，促进符号意识形成

符号意识形成的标志，就是对于实际问题，能正确引入符号表示，并且运用符号运算或者推理解决问题.或者对于给定符号表示的关系和运算能够深刻理解，运用符号所包含的数学知识解决问题.

案例4：如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d（n）.由定义可知，10b=n与b=d（n）所表示的是b，n两个量之间的同一关系.

（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=____，d（10-2）=_____；

（2）劳格数有如下运算性质.

（3）表1中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，试找出错误的劳格数，说明理由并改正.

表1

这是2013年江苏省扬州市中考压轴题，以学生熟悉的幂的运算为背景，把它的逆运算用文字表述（称b 为n的劳格数），学生已经知道n是10的b次幂，用抽象的符号来表示（b=d（n）），虽然10b=n与b=d（n）所表示的是b，n两个量之间的同一关系，但是从运算顺序和运算关系来说是逆运算.关键是要理解b=d（n）的意义，在等式10b=n中已知n的值，求对应b的值，仍然要转化为幂的运算去解决，把抽象的符号转化为已经学过的知识.有了对符号的这些理解，第（1）小题也就是当n=10或10-2时，b=1或b=-2.而第（2）小题则深入一步，对定义的劳格数在符号层面上进行运算，并给出了两个运算性质，只要理解了d（mn）=d（m）+d（n）的含义，那么d（aaa）=d（a）+d（a）+d（a）=3d（a），则=3.则d（4）=d（2×2）=2d（2）.所以d（4）= 2×0.301 0=0.602 0，计算d（5）则要d（m）-d（n），d（10）-d（2）=1-0.301 0=0.699 0， d（0.08）=d（2）-d（25）=d（2）-2d（5）就可以顺利解决问题.第（2）小题并没有要求学生来证明两条性质，只要求由一般到特殊从理解符号意义的角度直接运用，强化对符号意识的考查.第（3）小题则在第（1）（2）两道小题的基础上，运用代数方法考查学生的推理能力，解法不再赘述.对于实际问题，把实际问题符号化，运用数学的方法对符号进行计算或推理，从而解决问题.对于用符号约定的问题，要充分理解符号的含义，在解决问题的过程中，逐步形成符号意识.

【教学建议与思考】要让学生形成对符号的主动应用，教学中应做到如下几点：首先，注意把实际问题抽象成数学问题，用适当的符号来表示；其次，要引导学生理解引入符号的必要性和适切性，体会数学符号的间接性；最后引导学生对于给定符号要联系生活实际进行具体化，加强对符号的理解，以期到达熟练运用符号的习惯和意识.

形成符号意识和运用符号语言是数学学习最为重要的一个环节，能够有助于学生认识和理解数学基本思想，有利于抽象、推理和模型思想的形成.因为数学要抽象，进行形式化，必须要借助于符号的表达，数学推理更离不开数学符号，不管是归纳推理结论的表述，还是演绎推理的推理过程的书写都要借助于数学语言（尤其是符号语言），应用数学模型解决生活中的实际问题，也需要把实际问题符号化，转变为数学问题.掌握符号语言也不是一蹴而就的事情，教师在教学中要不失时机地进行引导、渗透和强化.从具体到抽象、从特殊到一般等，多角度、多视野地进行引导和渗透，加深学生对符号意识的认识和理解，逐步形成运用符号的意识、习惯和能力，提升数学素养.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］孙俊武.建立和发展学生的符号感［J］.中国数学教育（初中版），2008（6）：15-16.

2017—03—26

钟珍玖（1970—），男，中学高级教师，无锡市数学学科带头人，主要从事数学教育教学研究.