“点线式”教学法的探索与思考——以“全等图形”教学为例

李军

（江苏省宿迁市实验学校）

“点线式”教学法的探索与思考
——以“全等图形”教学为例

李军

（江苏省宿迁市实验学校）

不同的教学设计和教学方法所取得的教学效果、教育价值迥异有别，促进学生素质的发展结果也大相径庭.因此，数学教师要勇于开拓、大胆创新，不断追求有效教学，努力探索出以核心知识为出发点和落脚点，以问题为主线贯穿、形成联系的课堂教学新思路.

解读分析；设计实践；教学体悟

笔者有幸参加在江苏省常州市武进区湖塘实验中学举办的全国中小学有效教学优质课评比活动.执教内容是苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第一章第一节“全等图形”.现将“点线式教学法”的探索及感悟呈献出来，以期抛砖引玉.

一、“点线式”教学法设计的概念描述

点线式.这里的“点”指数学中的基本知识点（概念、公式、法则、公理、定理及推论）、基本模型、基本问题，或是一个问题的细节、部分或步骤等；“线”指的是问题各部分或相关联问题之间的功能、作用及其相互关系等.换言之，“点”指基本知识点或问题起始点，它是问题的根；“线”是一种联系，一种内在思维的脉络.

点线式问题教学：根据上述理解，这里有两层含意.其一，问题纵向设计与剖析，即向纵深方面拓展与变化；反之，对于复杂问题，亦可将其分解或转化为基本的、一些部分或步骤来分析与解决；进而形成问题思维的正向与逆向间双向关联.其二，问题横向关联与变式，即设计有效的问题串或变式问题，通过类比寻求问题之间的联系.

对于本节课教学，在理解教材和研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》的基础上（即立足点、出发点），着力梳理以下教学线索.即理念引导线：问题情境—建立模型—解释、应用与拓展（纵向发展）.教学思路线：创设问题情境（激发兴趣）—认识与解读概念（理论提升）—辨析操作（具体到抽象，其间经历观察、猜想、操作、验证等）—体验提炼（生生讨论、师生互动、归纳概括）—知识运用—变式与变换（迁移内化）—应用拓展（横向串联、纵向延伸）.问题关联线：一方面，与生活关联，生活—数学—生活（贴近学生）；另一方面，知识内部关联，充分体现图形之间的联系及知识之间的关联.问题设计线：由少到多，由浅入深，由静到动（纵向递进）.探究活动线：看、说、找、画、分、思等，引导学生观察、举例、探索、讨论、交流、画图、展示、总结、反思等（纵向提升），让学生始终处于“动”的状态.哲学思考线：多与少，正与反，动与静，具体与抽象，特殊与一般等.

二、关于“全等图形”的教材解读

1.教材比较分析

人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册没有把“图形全等”单列为一节内容学习，而是在第十一章第一节放在全等三角形前介绍，易于从一般到特殊的过渡；北师大版《义务教育教科书·数学》是放在七年级下册第五章第二节专门学习“全等图形”，与苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册的编排意图相同.它们均彰显了基础性、过程性、现实性、可读性等特点.

2.教学目标定位

基于上述教材分析，根据学生的年龄特征和实际情况，将教学目标确立如下.

（1）认识全等图形，理解全等图形的概念与特征.

（2）能欣赏有关的图案（图形），并能指出其中的全等图形.

（3）通过看图、找图、摆图、画图和分图等活动，积累对全等图形的体验，感受图形变换思想.

3.教材处理模块

（1）课前——预设模型.

课前准备要找准立足点（教学目标），做优问题线设计，梳理出“点线式问题”教学模型，筛查、优选、整合问题，并梳理课堂教学结构、层次与序列.

（2）课中——建立模型.

课堂教学中要努力建构起学生易于学习的“点线式”学习的模型、模块.始终关注以学为中心点.

（3）课后——反思模型.

指对学生学习而建立起来的“点线式结构模型（图式）”进行回顾、反思，并加以调整、完善、优化.

三、“点线式”教学设计课例简介

1.欣赏生活中的全等图形（简称全等）——看全等

（1）展示教材上的窗花、邮票、蝴蝶等图案，并增设京剧脸谱、国旗、运动图标等能够完全重合的图片（如图1～4），欣赏、发现每组图片的共同特征.

图1

图2

图3

图4

（2）图片运动设计时要精心设计问题关联线，即由静变动，由动转静.运动过程中渗透平移、翻折、旋转三种变换；图形与图形重合时稍有停顿.让学生仔细观察，细心体会.

2.全等图形的概念与特征——说全等

（1）学生发现并概括出所展示图形的共同特征，关注课堂生成，提炼出本节课的课题.

（2）学生再举出生活中图形全等的实例，经历由“生活—数学—生活”的过程，感受数学无处不在.

（3）举出全等图形反例（不全等），如正五边形与正六边形是不全等的（如图5），理由是形状不同；再如大小不等的同一底版的照片也不全等（如图6）.从而概括出全等图形的特征（从正、反两方面把握全等图形的本质）.

图5

图6

【说明】（1）做足生活联系线.生活是数学学习之源，是数学用武之地.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教学中应当努力创设源于学生生活的现实情境.因此，针对七年级学生的年龄特点，立足学生生活实际及最近发展区，选取大家熟悉的全等图片，帮助学生快速感知，完成对数学内容的意义建构，形成体系，努力为学生学习搭建脚手架，铺设联系桥.

（2）突显理念指导线，即“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”，从学生熟悉的生活问题情境入手，将问题引向更深的层面.

（3）交给哲学思考方法线.认识事物或数学学习要学会从正与反、动与静、难与易等方面多视角思考问题，最终达到认识事物本质的目的.

3.全等图形的识别——找全等

（1）将教材议一议第1题作为反馈练习，先观察，再猜想，后验证.并用几何画板软件验证：先静后动，化静为动.

问题：观察图7，从中找出全等图形.

图7

（2）顺势就图7（5）和图7（8）追问：将图7（5）中的一个小正方形改变一下位置，使其与图7（8）全等，怎么办？再一次化静为动，引发学生思考.事实上，学生想出了多种移动方法.

（3）再找事先准备好的几何全等图形.教师事先准备4组，即8张三角形硬纸片，其中有三组全等三角形（分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一组，其余2个与它们都不全等），让学生找出全等图形，并展示出来让学生欣赏.

根据情况，教师可按平移、翻折、旋转的方式调整学生摆放的结果，用磁钉固定.

【说明】关注问题设计线.紧扣图形全等这个核心知识点，将生活化转向数学化，由生活图形到几何图形，由多样图形到基础、重点图形（三角形），由静到动，由看到做，由做到想，……既突出知识生长脉络，又彰显思维发展主线，抓住了数学的本质及核心素养的培育.

4.全等图形的变换——画全等

（1）教师提出问题，前面学生找出的两个图形是否全等？有办法验证吗？

（2）由以上设问，加之学生的演示操作，自然得出平移、翻折、旋转三种全等变换.

（3）电脑展示生活中利用这三种变换设计图案的例子，如水兵合唱图（平移）、香港特别行政区区旗紫荆花图（旋转）、飞鸟图（翻折）.感受全等变换在生活中的应用.

（4）深化全等变换，让学生画全等变换图形，即完成教材第106页“做一做”（事先印好备用图），学生画好后用实物投影仪展示.

5.拓展延伸——分全等

（1）如图8，将等边三角形分别分成2个全等三角形，3个全等三角形，4个全等三角形.

图8

（2）练一练：如图9，用不同的方法沿网格线把正方形分割成两个全等的图形.

图9

6.小结与作业

略.

【说明】铺设纵、横变式的主活动线.横向方面：通过前面的“忆全等、说全等、辨全等、找全等”等活动，深化到“画全等、分全等”等系列活动，同时得出三种不同的全等变换，活动顺畅推进，知识自然生成.学生有了足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等学习过程.从而生成动态的参与活动模式，形成整体知识系列结构.纵向方面：分全等时，由分2个、3个再到4个，个数不断递进；由分三角形到分正方形网格，图形逐渐复杂，搭台登高.学生思维训练、动手能力逐级攀升，让学生不断接受挑战，努力营造出“玩数学”的氛围，让学生在学习的把玩中慢慢领悟到数学的知识性、趣味性.在训练的过程中，注意数学思想方法的提炼.本案例中渗透了生活与数学的相互转化思想、类比思想、分类思想、变换思想等.

四、课后反思，用心体悟

1.创设“问题线”，循教学本真

学生学习数学是在经历思维旅行，好的课堂教学对师生的影响久远，这就要求教师教学时要回归教学本真，即回到学生和教材中来，要关注学生的基本活动经验，考虑学生的最近发展区，以问题为平台引导教学.问题设置与解决应层次分明、拾级而上，抓住根本点，自然生成联系线，以过程训思维，以思想提能力.在尊重教材的基础上，教师要敢于突破，做到活用，要善于将相关内容整合、变形、变式、引申、拓展等.本课例以教材内容为依托，将其向横处延展，向纵处挖掘（即点线式设计）.例如，将教材中繁杂的、说不清楚的两幅花纹图案进行更换，把背景不明晰的图形进行重新整合，将问题条理化、层次化，用一个动词概括每一个环节，即按“看、说、找、变、摆、画、分”的层次线呈现教学流程，抓住了问题的关键和数学本质.

2.辅之“理念线”，成之新模型

通过“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，让学生理解、掌握有关知识、技能、方法，从而积累数学活动经验，形成解决图形全等问题的“模型”，建构起扎根于头脑的有效知识模型（图式），有利于培养学生分析问题、解决问题，以及应用问题的能力.

3.设计“活动线”，点燃活思维

重视探究活动的设计.本节课的知识点简明，但简明不等于简单.一方面，要让图形动起来，即对全等图形进行变式（生活图形与数学图形变式，几何图形的相互变式）与变换（突出图形的三种变换）；另一方面，要让学生动起来.在平时教学中，教师既要重视计算题和推理题的教学，更要在操作中培养学生的动手能力和创新精神，让学生在“做数学”中激发兴趣，发现结论，总结规律，掌握其操作方法，学会思考.本课例让学生摆图形、画全等、分图形等均让学生大胆尝试，动手操作，体验成功.让学生知其然，更知其所以然.例如，若仅仅是告诉学生结果，点击鼠标，图形展示，则失去了数学本真，也就失去了与学生一起欣赏这自然生长过程中的数学美景，更体味不到数学的魅力.

4.搭建“关联线”，形成知识树

关注知识间的联系及图形之间的关系.反观本例，全等图形中有对应的点、对应的角、对应的线及对应的形，还存在平行、垂直、线段相等的位置和数量关系.关注这些“点”，形成联系“线”，构成“知识树”，并从中体会多与少、正与反、动与静、难与易、具体与抽象、特殊与一般等辩证思维，让学生学会从不同层面认识事物，突出本质，以此打通新的学习路径，激发兴趣，启发思路，点燃思维，寻到方法，得出结论，从而学会思考，学会学习.

总之，通过“点线式教学法”的实践探索，力求实现：备课做到点线式关联、建构；课上能点线式变通、建模；课后能点线式存储、迁移与应用，以此达到教学高效的目的.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］李军.分图分类分析：一道中考操作题的解法探究及分析思考［J］.中学数学（初中版），2015（10）：63-64.

［4］李军.点评：顺自然生成之法显常态教学之美［J］.中学数学教学参考（中旬），2016（6）：24-25.

2017—03—15

江苏省“十二五”规划立项课题——初中数学“点线式”问题设计的策略研究（D/2013/02/054）.

李军（1970—），男，中学高级教师，宿迁市名教师，主要从事数学教学研究．