构造几何模型巧证不等式

湖北省武汉市马房山中学 周 辰

对于那些具有明显几何意义的不等式，可以构造平面几何图形、构造解析几何中的斜率公式、距离公式、定比分点公式、直线和圆、空间立体几何等有关知识来证明不等式可以收到意想不到的效果。

一、构造斜率模型巧证不等式

由△≥0，求得故不等式得证。

二、构造“点到直线的距离”模型巧证不等式

例2：若x、y∈R且满足ay―且x=a与y=b不同时成立），求证：c2≤x2+y2，c2≤a2+b2

三、构造线段的定比分点公式巧证不等式

例3：关于x的二次方程x2+ax+b=0有两个实根α、β，其中a、b∈R

（1）如果|a|＜2，|β|＜2，求证2|a|＜4+b且|b|＜4

（2）如果2|a|＜4+b且|b|＜4，求证：|a|＜2，|β|＜2

证明：由表达定理α+β=―a，αβ=b，设―4―b、2a、4+b分别为P1、P、P2在数轴上的坐标。

（1）要证2|a|＜4+b，只需证―4―b＜2a＜4+b，即只需证P为线段P1P2的内分点

又∵|a|＜2，|β|＜2 ∴λ＞0

故P为线段P1P2的内分点，且|b|=|αβ|＜4

（2）由2|a|＜4+b即―4―b＜2a＜4+b，可知P为线段P1P2的内分点，则由（1）可知即（4－a2）（4－β2）＞0，因此有a2＜4， β2＜4（若a2＞4，β2＞4与|b|=|αβ|＜4矛盾），即|a|＜2，|β|＜2

四、构造直线与圆的位置关系巧证不等式

例4：已知a、b R且2a+3b=7，求证：

分析：待求不等式可视为：求的范围，令联想到是直线x+y=t上的点,又由联想到也是圆x2+y2=9上的点，故设想构造直线与圆相交或相切来证。

证明：设（x≥0，y≥0且不同时为零），则x2+y2=2a+3b+2=9，又设x+y=t

∵点（x、y）为直线x+y=t与圆x2+y2=9的公共点

五、构造“距离之和”最小值问题巧证不等式

例5：若x∈R，求证：

证明：

设点P（x，0），A（0，2），B（3，1）则问题转化为求x轴上的P点到A、B两点的距离之和的最小值。

如图所示，易知|AP|+|BP|=|A′P|+|BP|≥|A′B|

又∵故原不等式成立

六、构造几何图形证明不等式

有些数学问题如按常规方法求解，有时会因过程较繁而陷入困境。如能从题目的结构特征来分析问题，巧妙构造合理的几何图形可起到事半功倍的效果。

1.构造平面几何图形

例6 已知x、y∈R，求证分析：通过观察题设的结构联想到两点间的距离公式，不等式的左边如果看作动点（x、y）到点（-1、0）、（1、之间的距离的和，问题转化为三条线段的长度和大于3，问题就迎刃而解。

证明：如图建立平面直角坐标系，设A（-1、0）、B（1、平面上的点P（x、y）

七、构造立体几何图形

例7.已知锐角α、β、γ满足求证：

分析：由于已知cos2α+ c os2β+cos2γ=1联想到长方体，构造长方体AC1，设它的长、宽、高分别为a、b、c，且设相交于同一顶点的三条棱与交于此顶点的对角线所成角分别为α、β、γ

证明：长方体AC1，对角线B1D与BB1、A1B1、B1C1所成的角分别为α、β、γ，设 A1B1=a， BB1=b， B1C1=c

当且反当a=b=c，即α=β=γ时等号或成立，即证毕。

从以上例子可以看出，有些不等式的证明用常规方法证明较难入手，若选择构造几何模型，利用几何意义就可以很轻松地证明出来了。