例谈函数的单调性在高考中的应用

王霞

函数的单调性一直以来都是高考的热点问题之一，但是，最近几年，对函数单调性的考查有所变化.利用导数解决函数的单调性问题已逐渐凸显出来.对函数单调性定义的考查多以选择题的形式出现。

例1（01年全国高考）在区间（-1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是？下面举例说明：

分析：由x的取值范围求出对数的范围，再根据对数的符号，判断出底数的范围，列出不等式进行求参数的范围。

答案：当x∈（-1，0）时，则x+1∈（0，1），因为函数，f（x）=log2a（x+1）>0，

故有0<2a<1，即0

函数的单调性的定义可分为三个部分：

（1）自变量x1和x2的大小关系；（2）函数值f（x1）和f（x2）的大下关系；（3）函数y=f（x）的单调性。

三者可以形成三个真命题：（1）（2）?（3）；（1）（3）?（2）；（2）（3）?（1）。

例1是以（1）（2）?（3）的结构形式出现的，例2是以（2）（3）?（1）的结构形式出现的。以上两个题目都是对单调性的定义进行考查的。可以形象地这样说：给自变量x1和x2“穿上”函数的外衣，得到函数值f（x1）和f（x2）的大小关系；反之，将函数值f（x1）和f（x2）“脱掉”函数的外衣后，得到自变量x1和x2的大小关系。因此，要想准确的“穿上”或“脱掉”函数的外衣，必须对基本函数的单调性具备条件非常熟悉。

显然，以上两题均以选择题的形式出现的。其实，在对函数单调性的考查中，解答题也是屡见不鲜的。

（2）由（1）可知a=1

下面用单调性的定义证明函数在区间（0，+∞）上是增函数任取两个实数x1，x2∈（0，+∞）且x1

用定义证明函数的单调性的步骤如下：

取值→作差（变形）→判断符号→得出结论对差式的变形，通常用到的方法有：通分，提取公因式，因式分解。有时也会用到分子有理化或分母有理化等等。差式变形的彻不彻底直接影响到符号的判断。一般情况下，把差式变形为积的形式，基本上算彻底了。

对差式进行判断符号时，要证明或说明每个因式与会零的大小关系。若含有参数，则必须对其分类讨论，而不能置之不理。

得出结论时，前后要呼应，由x1与x2和f（x1）与f（x2）的大小关系共同决定。即若x1与x2和f（x1）与f（x2）的大小关系一致，则函数为增函数；若x1与x2和f（x1）与f（x2）的大小关系不一致，则函数为减函数。

如果例3（2）利用导数证明函数在区间（0，+∞）上是增函数，将会使问题变得简单多了。下面用导数证明之：

如果说例3我们还可以选择别的方法，那么，下面的例子选择方法的方向就更明确了。

例4（2012年全国高考）设函数f（x）=ex-ax-2。（1）求函数f（x）的单调区间。

解析：∵f（x）=ex-ax-2∴f?（x）= ex-a

若a≤0，则f?（x）= ex-a>0恒成立，∴函数f（x）=ex-ax-2在R上为增函数，∴函数f（x）=ex-ax-2增区间为R。

若若a>0，则f?（x）= ex-a>0即ex>a，x>lna时，函数f（x）=ex-ax-2為增函数；当f?（x）= ex-a<0即ex

要想利用导数解决单调性问题，首先，对基本函数的导数公式要熟记，如：

以及

其次，要掌握函数的单调性与其导函数的正负的关系在区间（a，b）内如下：

通过以上例题，我们不难看出，随着高考改革的逐步深入和新教材的不断更新，利用导数解决函数的单调性问题逐渐成为高考的热点之一，在总复习时，应成为重点复习对象，进一步适应高考试题的方向要求上来。

参考文献：

[1]中学教学教与学（2002年第1期）.