例说求参数取值范围的六种方法

云南省蒙自市蒙自一中(新校区)(661100)

苏保明●

例说求参数取值范围的六种方法

云南省蒙自市蒙自一中(新校区)(661100)

苏保明●

众所周知，由于导数的引入，为我们研究函数的性质及求参数的取值范围等问题添增了强有力的解决工具，而运用构造函数的方法，利用导数解决函数中恒成立问题是非常有效的方法.其中利用导数求参数的取值范围是近年来新课标高考命题的热点问题之一.本文举例剖析求参数取值范围的六种方法，供参考.

方法一 构造差函数

当a>0时，若对∀x∈(1,e)，f(x)>x恒成立，求实数a的取值范围.

解 可知：不等式f(x)-x>0在(1,e)恒成立.

当0

因为h(e)=a+1-e<0不符合题意，所以0

当10在(1,e)恒成立，所以h(e)≥0,即a≥e-1,所以e-1≤a

当a≥e时，因为10,所以函数h(x)在(1,e)上单调递增，所以h(x)>h(1)=0符合题.

综合上述可知：实数a的取值范围是[e-1,+∞).

评注 构造差函数是解决恒成立问题的一般方法.此题需要对参数a进行分类讨论，因为所给区间(1,e)的端点1和e把定义域(0,+∞)分为三段，所以参数a需要分a≤1、1

方法二 分离参数后构造新函数

方法三 变形后构造新函数

若对任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)

评注 此题需要把f(x1)-f(x2)

方法四 分离最值与参数后构造新函数

则h′(x)=1-x-2xlnx，显然h′(1)=0.

所以，当x=1时，函数h(x)取得最大值h(1)=1，

方法五 商式变差后构造新函数

评注 上述“漂亮”解法简洁易懂，其最大优势就在于避开了对待定系数a的分情况讨论，减少了复杂的运算.此法是通过化归与转化的数学思想方法，把原问题转化为求函数的最值问题，并通过函数的单调性求出函数的最值，进而巧妙地求出参数的取值范围，其中构造新函数g(x)=lnx-x+1是解决本题的关键所在.要正确构造新函数g(x)=lnx-x+1，这是以“当x>1时，x-1>lnx>0”为依据,否则此题的“漂亮”解就不存在了.因此在平时的解题过程中必须有意识地记下一些常用而不能直接用的结论，如(1)当x≥1时，x-1≥lnx≥0;(2)当x∈R时，ex≥x+1(当且仅当时x=0取等号)，等等，才能在解题中灵活运用，从而找到解决问题的最佳方法.

方法六 二阶导数法

若对任意x≥0都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

解 可得f′(x)=ex-a-x，f″(x)=ex-1.

令f″(x)=0，则x=0，

当x≥0时，f″(x)=ex-1≥0，所以f′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(0)=e0-a-0=1-a.

(1)当a≤1时，f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，符合题意；

(2)当a>1即1-a<0时，存在x0∈[0,+∞)，使f′(x)=0，即当0≤x1应舍去.

综合上述可知，实数a的取值范围是(-∞,1].

评注 若对函数进行求导后，不能较清晰、快速的判断导函数的符号，难以判断函数的单调性，则应继续对导函数再求导，利用二阶导数来研究一阶导数.此题因对f(x)求导后不能判断导函数f′(x)=ex-a-x的符号，故应对导函数f′(x)再进行求导，并通过二阶导数的符号来判断一阶导数的单调性，再利用一阶导数的最值可知符号，进而判断原函数的单调性，使问题得到圆满解决.因此利用二阶导数研究函数的性质有时会呈现出柳暗花明的局面，从而达到事半功倍的解题效果.

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1008-0333(2017)01-0026-02