高考中档解答题满分心得

王学勇

三角函数的图象与性质

例1 已知函数.

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）讨论在上的单调性.

分析 （1）先利用诱导公式、二倍角公式等将函数化为的形式，然后求出的最小正周期与最大值. （2）先根据所给自变量的取值范围确定的取值范围，然后结合正弦函数的单调性求解.

解 （1）

-

=sin-， （4分）

故的最小正周期为，最大值为. （6分）

（2）当时，. （7分）

从而当≤，即时，单调递增， （9分）

当，即<≤时，单调递减. （11分）

综上可知，在上单调递增；在上单调递减. （12分）

满分心得 （1）写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则得分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全. 如第（1）问中只要将的解析式化简就有分，第（2）问中求出的范围就有分.

（2）写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则得分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点. 如第（1）问中的解析式必须化为的形式，否则无分；第（2）问必须由整体代换求出单调区间，不能直接写出，否则无分.

三角函数与解三角形

例2 的内角所对的边分别为. 向量与平行.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

分析 （1）先利用向量平行列方程，再利用正弦定理转化为角的方程求解. （2）先利用余弦定理转化为的方程求，再利用三角形面积公式求解；或先利用正弦定理求出角的正弦值，再利用三角形面积公式求解.

解 （1）因为，

所以. （2分）

由正弦定理得，. （3分）

又，从而. （4分）

因为，所以. （6分）

（2）方法一：由余弦定理得，.

而，，，

所以，即. （8分）

因为，所以. （10分）

故的面积为. （12分）

方法二：由正弦定理得，.

从而. （7分）

又由知，，所以. （8分）

故

=. （10分）

所以的面積为. （12分）

满分心得 （1）写全得分步骤：如第（1）问中，只要将转化为三角关系就得分；第（2）问中，只要利用余弦定理写出的关系式就得分，或只要利用正弦定理求出就得分.

（2）写明得分关键：如第（1）问中，必须写出由正弦定理化边为角的过程，否则不得分；第（2）问方法二中，必须写出的计算过程，不能直接给出结果，否则不得分.

（3）要注意数学语言的应用规范：使用简洁、准确的数学语言描述解答过程，是解答得分的根本保证. 如第（1）问中，由及A的范围才能求出的具体值；第（2）问中，由的值不能直接确定的值，而，则的值就唯一确定了.

立体几何解答题

例3 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是的中点.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积.

分析 （1）利用已知条件将待证转化为证明⊥平面. （2）取的中点，构造四边形，证明其为平行四边形，从而得证. （3）将题中数据代入公式计算即可.

解 （1）证明：在三棱柱中，⊥底面. 所以. （1分）

又因为，

所以. （2分）

又，

所以平面. （3分）

（2）证明：取AB中点G，连接EG，FG.

因为E，F分别是，的中点，

所以，且. （5分）

因为，且，

所以，且.

所以四边形为平行四边形.

所以. （7分）

又因为，，

所以. （8分）

（3）因为，，，

所以. （10分）

所以三棱锥的体积

=×××1×2=. （12分）

满分心得 （1）写全得分步骤：如第（1）问中，只要证明就得分；第（2）问中，只要证明且就得分；第（3）问中，只要求出就得分.

（2）写明得分关键：如第（1）问中，一定要指明，⊥平面，否则不得分；第（2）问中，一定要指明，?平面，?平面，否则不得分.

概率与统计解答题

例4 某企业为[ 0.028

0.022

0.018

0.004][40 50 60 70 80 90 100][频率

组距][分数]了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工. 根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100].

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率.

分析 （1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，即可求解的值. （2）求出后两组的频率和，即为所求. （3）先列举出所有的基本事件和满足要求的基本事件，再利用古典概型的概率计算公式求解.

解 （1）因为（0.004++0.018+0.022×2+0.028）×10=1，所以=0.006. （2分）

（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. （4分）

（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3； （5分）

受访职工中评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2. （6分）

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}. （10分）

又因為所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}， （11分）

故所求的概率为. （12分）

满分心得 （1）写全得分步骤：如第（3）问中，只要求出[40，50），[50，60）的人数就各得1分；只要列出所有可能的结果就得4分.

（2）写明得分关键：如第（3）问中，所有基本事件必须列出，所求事件所包含的基本事件必须列出，不能直接写结果.

（3）计算准确是保障：如第（1）问中，0.022对应的小矩形有2个，若忽视了此点，结果肯定错误.

数列解答题

例5 已知数列满足（为实数，且），，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列.

（1）求的值和的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和.

分析 （1）利用方程思想先求解数列的公差与公比，再写出相应的通项公式；（2）利用错位相减法直接求解数列的前几项和.

解 （1）由已知得，（a3+a4）-（a2+a3）=（a4+a5）-（a3+a4），即a4-a2=a5-a3，

所以a2（q-1）=a3（q-1）. （2分）

又因为q≠1，所以a3=a2=2.

由a3=a1·q得， q=2. （3分）

当时，； （4分）

当时，. （5分）

所以的通项公式为 （6分）

（2）由（1）得，=，. （7分）

设的前项和为，

则=1×+2×+…+n×， ①

=1×+2×+…+n×， ② （8分）

①-②得，=1+++…+-

=-=2--， （10分）

整理得，，. （11分）

所以数列的前项和为

，. （12分）

满分心得 （1）写全得分步骤：如第（1）问中，分和两种情况讨论，做出一种得1分；第（2）问中，写出和的表达式就得1分.

（2）写明得分关键：如第（1）问中，必须指明，才有； 第（2）问中，只有两式相减得出，才能求出，不能直接写出结果.

（3）计算正确是得分的保障：如第（2）问中，正确求出-是关键，而此处是同学们易出错的地方.