经历抽象过程，发展抽象能力——“三角形的认识”教学片段及反思

◇刘 燕

经历抽象过程，发展抽象能力
——“三角形的认识”教学片段及反思

◇刘 燕

教过四年级“三角形的认识”的老师都会观察到这样的现象：学完该内容后，给学生一个直角三角形，要求画出以直角边为底的高，许多学生都会在另一条直角边的旁边画一条不垂直于底的虚线（如图1所示）。针对这一现象我做了有趣的测试：将同样的直角三角形提供给三年级学生，请他们测量这个三角形的高，结果无一例外，全班同学都测量对了（如图2所示）！这真是有趣的现象：老师不教，学生都会；老师一教，学生反而不会了。究其原因，是学生在学习该内容时没能真正理解三角形高的含义，深刻印在他们头脑中的不是高的本质属性，而是高的外在形式——“虚线”。

图1

图2

概念是抽象思维的起点，在抽象思维的过程中，人们需要借助概念、判断、推理反映现实。概念教学中，如果学生在头脑中建立的概念对象只是外在形式，缺乏对本质属性的理解和认识，那么必将直接影响抽象思维的能力。因而，在基本概念教学中让学生经历抽象的过程，舍弃个别的、非本质的属性，抽象出共同的、本质的属性，经过概括形成概念，才有助于学生抽象思维能力的发展。

基于这样的思考，在“三角形的认识”教学中，我做了以下尝试，以期让学生经历概念形成的抽象概括过程，了解概念本质，发展抽象能力。

片段一：定义三角形，在抽象概括中积累活动经验。

1．复习旧知，唤醒已有感性经验。

师：低年级我们已经认识了三角形，判断一下，下面的图形中哪些是三角形？哪些不是？说一说为什么。

（出示图3）

下面的图形中哪些是三角形？

图3

生：3、5号图形是三角形，1、2、4、6号图形不是三角形。

师：你怎么看出来2号不是三角形的？

生：它有四条边，是四边形。

师：1号、4号和6号图形只有三条边呀，你怎么还说它们不是三角形呢？

生：1号图形有缺口，6号图形没有合起来。

生：4号图形有一条边是弯的。

师：低年级我们学过画三角形，还记得吗？请画一个三角形。

（学生独立画，教师巡视并展示）

2．抽象概括，积累定义概念的数学活动经验。

师：以前我们已经学会了“认”三角形、“画”三角形，这节课我们还要会“说”三角形。这种“说”有特殊的要求，即按照你的说法，一定是三角形，不可能是其他图形,并且尽可能“说”得简洁,这又叫给三角形下定义。

（片刻思考后,学生有了如下回答）

生1：只有三条边、三个角、三个顶点的封闭图形是三角形。

生2：我觉得他那样说有个不好的地方，三角形的边不能弯,所以应该这样说:只有三条边、三个角、三个顶点的封闭图形,并且边是直的，这样的图形是三角形。

生3：这样说好是好，就是有些啰嗦，可以更简洁：只有三条线段、三个角、三个顶点的封闭图形是三角形。

（全班学生自动鼓掌）

生4：顶点可以不说，因为有三个角就有三个顶点了！只有三条线段、三个角的封闭图形是三角形。

生5：角也可以不说，由三条线段组成的封闭图形是三角形。

（有的学生鼓掌，有的在思考）

生6：那别人画出这样的图形怎么办？

（生6板演：图4）

图4

师:我们看看书上是怎么说的。比较书上的定义，你有什么看法？

[齐读课本中三角形的定义：由三条线段围成的封闭图形（相邻线段的端点相连）]

生5：书上用了“围成”，比我们的“组成”更准确和形象，并且书上括号中的补充说明，也避免了出现误解。

师：数学概念的定义，往往是经过很多年才逐渐完善的，今天，你们在短短十几分钟的时间里经过独立思考、讨论交流、互相补充概括出的三角形的定义已经比较准确，老师为你们能够勤于动脑思考并初步学会了怎么下定义而高兴！

师：你认为在三角形的定义中哪些词语重要？为什么？

生：“三条线段”重要，因为必须是三条，而且必须是直的、有端点。

生：“围成”也很重要，因为如果不是围成，像6号图形那样就不是三角形了。

生：“封闭图形”和 “相邻线段的端点相连”也很重要，否则像1号和黑板上那样的图形（指图4）就不是三角形了。

师：看来同学们在总结、概括三角形定义的过程中对三角形有了更深刻的认识。

反思：定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明。我在唤醒学生已有感性认识的基础上，首先提出“说”（定义）的两个要求：1.确切：一定是三角形，不可能是其他图形；2.简要：尽可能“说”得简洁。提出了定义的要求，再由学生根据要求尝试概括三角形的定义。观察课堂中学生的表现可以发现，学生由三角形的特征三条边、三个角、三个顶点出发，按照“确切”“简要”的要求抽象概括，互相修正，逐步完善、简化，最终得到了非常接近课本的定义。最后再通过与课本中的定义比较，完善认识。由于提出了“说”的要求，无须老师举反例，学生自己就能展开更深入的交流讨论。学习定义本身不仅仅是掌握定义，更要以学习定义为载体发展学生的抽象概括能力，为学生积累定义数学概念的思维活动经验。

片段二：测量高，在测量活动中感悟高的本质。

师：同学们，和你们一样，每个三角形都有自己的身高。你看，三角形ABC和三角形DEF正在争论，都说自己更高。

（出示图5）

图5

师：你能帮它们量一量吗？

（学生先独立在练习纸上测量，再交流讨论，并请一个学生用实物投影演示。学生都是测量AB边和DE边）

师：为什么你们都量这条边（指未标“底”的直角边），不量这条（指斜边）？

生：不能斜着量。

生：要垂直。

师：原来BC边和EF边就像这两个三角形的脚底。量高时一定要垂直于底边！

师：公正的裁判们，请告诉我它们谁比较高？

生：三角形ABC比较高！

师：听到你们的回答，三角形DEF说：“我不服气，你们人只有一个脚底，我们三角形可不止一个呢，你们看！”

（课件演示两个三角形翻转，如图6）

图6

师：现在哪条边相当于脚底？

生：AB边和DE边。

师：你能测出以AB边和DE边为脚底时它们的身高吗？

（学生再次独立在练习纸上测量、交流讨论、实物投影演示，学生都是测量CB边和FE边）

师：为什么你们都量这条边（指直角边），不量这条（指斜边）？

生：要垂直于脚底AB边和DE边！

师：现在谁比较高？

生：三角形DEF比较高。

师：你们猜猜，三角形ABC会说什么？

生：不服气，不服气，我们再换一个脚底比一比，然后再翻个跟头。

（生笑）

师：现在它们会以哪条边为底比身高呢？

生：AC边和DF边。

（出示图7，课件演示两个三角形再次翻转）

图7

师：你能测出以CA边和FD边为脚底时它们的身高吗？请把你们量的边画出来。

（学生再次在练习纸上独立测量、交流讨论、实物投影演示）

师：为什么这次你们既不量这条边（指斜边），也不量这两条边（指两条直角边），而是在中间画了一条线来量？

生：因为那两条都不垂直于脚底。

师：现在谁比较高？

生：还是三角形DEF比较高。

师：三角形的高与我们人的身高比，有什么特别的地方？

生：我们人只有一个身高，三角形有三个。

生：因为三角形有三条边，都可以做脚底。

师：（边比画）在三角形中，像人的脚底一样的边我们不叫“脚底”，而是称为“底”；像身子一样的边也不叫“身高”，而是称为“高”。以三角形的三条边为底，分别有三条高。

师：刚才我们研究了直角三角形的高，你还有什么问题吗？

（学生沉默）

师：我们学过的三角形除了直角三角形还有——

生：锐角三角形的高和钝角三角形的高是怎样的呢？

生：我很想试着画一画、量一量。

师：那我们就再一起来试着画一画、量一量锐角三角形的高吧。

(教师指导学生画锐角三角形的高，略)

师：钝角三角形的高同学们课后可以探讨。

反思：三角形高的教学是个难点。在以往听课过程中发现，四年级学生很难从文字表述上抽象理解三角形高的概念。尽管学生能背出什么是三角形的高，但一旦动手量或画的时候就显得困难重重，常画一条不垂直于底的虚线，认为是高。总之，学生对三角形高的外在形式“虚线”印象深刻，而没有真正理解高的本质属性。高，究其本质是一个距离，是垂直于底边的那条线段的长度，虚线只是表示这条线段所在的位置。

考虑到小学生在生活中已经积累了大量测量身高的活动经验，如从头顶量到脚底的垂直距离、测量时尺子要垂直于脚底等，我换了一种教学思路：让学生运用量身高的活动经验迁移，帮助给三角形量“身高”。创设三角形比身高的童话情境，由易到难，先从直角三角形的一条直角边为底的高量起（因为其高所在位置是显性的），再以一个形象的比喻——三角形“翻跟头”，让学生看到三角形的三条边都可以做“脚底（底）”，再让学生分别测量以另一条直角边和斜边为底的高。其中以斜边为底的高的测量是难点，因为其所在位置没有线条标识，顺理成章让学生用虚线将其所在位置标识出来。学生在活动中感悟了高是“从顶点到底边的垂直距离”这一本质属性，无论画与不画，它都是存在的，画只是将其标识出来，从而为学生理清了三角形高的本质属性及其外在形式之间的关系。最后引导学生联想提出有关锐角三角形的高的问题，指导和规范学生画高的方法。在测量高的操作活动中，学生共计测量和画出了两个直角三角形和一个锐角三角形的9条高，积累了有关三角形高的大量感性认识，为下一步抽象概括定义奠定了基础。

片段三：定义高，在概括活动中发展抽象能力。

师：你能说说什么是三角形的高吗？

（讨论交流）

生：从最高点到边的垂线段长度。

师：可是如果换个位置呢？就如同人，如果躺着，你总不能这么说吧！我们都是说从头顶到脚底的距离，三角形的高如何能说得更准确一些呢？

生：三角形的高是指从角到边的垂直距离。

生：有三条边，应该讲清“三角形的高是指从角到对边的垂直距离”。

（全班给予掌声）

师：补充得很好，可是我们知道，角是由一个顶点和两条边组成的。

生：我知道了，应该讲清“三角形的高是指从角的顶点到对边的距离，一定要垂直”。

（全班再次给予掌声）

师：很好，你们已经真正理解了什么是三角形的高。打开课本，看看书上是怎么描述的。

反思：由于在上一环节学生多次感悟了高是“顶点到底边的垂直距离”这一本质属性，此时的抽象概括水到渠成。学生能抽象概括出“三角形的高”的概念，说明学生对概念已经有了深刻的理解。有了对本质属性的认识，学生测量和画高时，不论是什么三角形，都能把握关键，测量准确、画得准确。

张奠宙教授认为“数学的对象是抽象的、形式化的思想材料”。思想材料进入头脑必须经历过程，这样思想材料才能成为他（学生）的材料（涂荣豹语）。在基础性概念的形成阶段，让学生经历从许多事物中抽出共同本质属性的抽象过程，经历把事物的共同特点归结在一起并概括、建立概念的过程，概念才能真正成为学生本人的思想材料，学生才能发展出以概念为思想材料的抽象思维能力。

（作者单位：广东中山市教育教学研究室）