基于陀螺仪进动效应的自行车稳定性分析

高雅楠++胡志勇

摘 要：该文分析了自行车在行驶过程中受到沿自行车轮轴方向作用力作用发生滑移并侧倾时，利用陀螺仪的进动稳定效应使自行车保持平衡而不倾倒。将平衡环与陀螺仪装载在自行车底部，并利用SolidWorks进行建模分析。运用拉格朗日能量守恒方法得到相应的运动方程（滑动时考虑摩擦力的作用）。同时利用MATLAB的Simulink功能验证所得方程的正确性。

关键词：自行车 陀螺仪 稳定性分析

中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）03（b）-0106-05

Bicycle Stabilzaion Analysis Using Gyroscope Procession Effect

Gao Yanan Hu Zhiyong

（Mechanical Engineering Department， Inner Mongolia University of Technology，Hohhot Inner Mongolia，010051，China）

Abstract：In this project a bicycle with a gimbal and a gyroscope are mounted on its bottom， model is made using SolidWorks. Equations of motion are derived based on the Lagranges energy conservation method with gyroscope to stabilize when side impact acts on it. Friction force also taken into consideration when sliding to lateral side. Equations were verified using MATLAB Simulink function. Validated the equation based on the results.

Key Words：Bicycle；Gyroscope；Stabilization analysis

一個旋转物体的旋转轴所指的方向在不受外力影响时不会改变，陀螺仪就是根据此理论而制造。通过陀螺仪的进动效应保持自行车的平衡，如果陀螺仪正在旋转，而施力转动它的自转轴，则陀螺仪反而会围绕与力轴成直角的轴转动。利用SolidWorks建立在底部装有平衡环与陀螺仪的自行车模型（如图1（a）所示）。当有力作用于自行车轮轴方向试图使自行车发生滑移与侧倾时，此时有力矩作用于陀螺仪。由于进动效应，陀螺仪试图旋转平衡环来补偿作用于自行车上的力。这个过程需要一定的反应时间，时长受陀螺仪与平衡环的参数影响。自行车在力F作用下发生滑移和侧倾如图1（b）所示[1]。

自行车相对于X-Z平面的旋转角为θ，平衡环绕Z轴的旋转角为α，陀螺仪绕Y轴的角速度为?，图2为欧拉角示意图。绝对角速度可通过对欧拉角进行计算获得。各变量的含义、符号、单位及公式/数值如表1所示。

1 运动方程

自行车、平衡环及陀螺仪的非线性动力方程可通过拉格朗日方程（1）计算而得[2]。

（1）

基于之前的设定条件可分别获得基于θ，α及x的拉格朗日方程（2）、（3）、（4）。

（2）

（3）

（4）

L为拉格朗日函数，L=T-U，T为自行车、平衡环及陀螺仪的动能之和，U为自行车、平衡环及陀螺仪的势能之和。

自行车、平衡环及陀螺仪的动能为质心的线性动能与关于质心旋转的动能之和，式（5）、（6）、（7）分别表示自行车、平衡环及陀螺仪的动能。根据表1代入相应公式。

（5）

（6）

（7）

式（8）、（9）、（10）分别表示系统总动能、总势能及拉格朗日函数。

（8）

（9）

（10）

将式（10）代入式（2）、（3）、（4）分别得到自行车、平衡环及陀螺仪的微分方程（11）、（12）、（13）。

（11）

（12）

（13）

2 利用Simulink仿真

利用MATLAB的Simulink功能进行仿真，将式（11）、（12）、（13）输入函数框，进行2次积分得到θ、α及x数值。仿真框图如图3所示[3]。

3 结果分析

分别表示θ和α在?=1 050 rad，F=150 N，h=0.4 m条件下0.5 s内的反应曲线，图5为x在?=1 050 rad，F=150 N，h=0.4 m条件下1 s内的反应曲线。图4说明当有恒定力作用于自行车时，θ开始增加，直至此力消失θ达到最大值。当作用力F=150 N时，θ的最大值小于0.04，说明平衡环和陀螺仪的进动效应在此过程中使自行车保持平衡。图5说明当有恒定力作用于自行车时，自行车会滑行一定距离，由于摩擦力的存在，滑行速度会减慢直至为零，滑行距离与摩擦系数成反比。

图6（a）和（b）分别表示θ和α在?=1 050 rad，F=150 N， h=0.4 m条件下20 000 s内的反应曲线。图6说明即使在倾角很小的情况下，平衡环和陀螺仪也需要较长时间来使自行车恢复原有平衡状态。在倾角减小的情况下，平衡环绕Z轴的旋转角α会相应增加，但频率有所降低。

通过分析以上MATLAB验证曲线，说明该文推导的自行车相对于X-Z平面的旋转角θ、平衡环绕Z轴的旋转角α及滑行距离x的微分方程是正确的，具有应用价值。

4 结语

该文推导了自行车在行驶过程中，当受到沿自行车轮轴方向作用力作用发生滑移并侧倾时，自行车相对于X-Z平面的旋转角θ、平衡环绕Z轴的旋转角α及滑行距离x的运动方程，并用MATLAB软件的Simulink模块进行仿真验证运动方程的正确性。当自行车受到冲击后，具有快速、平稳的恢复稳定状态的能力十分必要。该文的推导及验证过程对后续自行车平衡稳定系统设计具有实际应用价值。

参考文献

[1] H.Yetkin.Stabilization of Autonomous Bicycle[D].The Ohio State University，2013.

[2] D.T.Greenwood.Principles of dynamics[Z].

[3] M.E.Ropp，S. Gonzalez.Development of a MATLAB/simulink model of a single-phase grid-connected photovoltaic system[J].IEEE Transactions on Energy Conversion，2009，24（1）：195-202.