分类讨论思想的应用

文/肖丽

智慧数学

分类讨论思想的应用

文/肖丽

在解题过程中，将某一数学对象按照一定的原则或标准分成若干类，逐类进行讨论并解决，把各类的结论汇总，得出问题的答案.这种解题方法就是分类讨论.分类讨论用的是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略.

一、对绝对值的分类讨论

A．2个. B．3个. C．4个. D．5个.

解：按a、b的符号可分4种情况.

责任编辑：王二喜

综合①②③④可知，代数式的值为3或-1.选A．

温馨小提示：化简含有绝对值符号的代数式，因代数式的正负不确定，要分情况讨论.

二、研究函数的性质，若图象的位置不确定，需分类讨论

例2（2016年天津卷）已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）

A．1或-5. B．-1或5. C．1或-3. D．1或3.

解：由解析式可知,当x=h时，y取得最小值1,当1≤x≤3时，y的最小值为5，

所以3＜h或h＜1.

①当h＜1时，此时x=1，对应的y取得最小值5，即（1-h）2+1=5，

解得h=-1或h=3（舍去）；

②当3＜h时，此时x=3，对应的y取得最小值5，

即（3-h）2+1=5，解得h=5或h=1（舍去）.

综上可得，h的值为-1或5.选B.

温馨小提示：对于二次函数区间中的最值问题，要分区间包含对称轴、在对称轴的左侧和右侧进行讨论.

三、当三角形高的位置不确定时需分类讨论

例3（2016年通辽卷）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ______.

解：分两种情况讨论：

①∠A＜90°，如图1所示,

图1

∵BD⊥AC，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵∠ABD=48°，

∴∠A=90°-48°=42°，

∵AB=AC，

②若∠A＞90°，如图2所示，∠DBA=48°，

图2

同①可得∠DAB=90°-48°=42°，

∵AB=AC，

综上所述,等腰三角形底角为69°或21°．

温馨小提示：对于三角形的主要线段（角平分线、中线、高）来说，高的位置具有多变性，可在三角形内、三角形外或三角形的边上，当条件中出现高时，要注意分类讨论.

四、圆内图形位置关系不确定时需分类讨论

例4（2016年龙东卷）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）

解：如图3所示，存在两种情况：

图3

①当△ABC为△A1BC时，连接OB，OC，

∵点O是等腰△A1BC的外心，且∠BOC=60°，

BC=2，OB=OC，

∴△OBC为等边三角形，

OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，

②当△ABC为△A2BC时，

A2D=A2O+OD=

温馨小提示：与圆相关的分类讨论有点与圆的位置关系（点在圆外、圆内，还是圆上），平行弦间的距离（平行弦在圆心的同侧还是异侧），弦所对的圆周角（要分劣弧和优弧所对的圆心角），弦所在弓形的高（如本题）等.

五、遇到等腰三角形、平行四边形、相似三角形的存在性问题时需分类讨论

例5（2016年临沂卷）如图4，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC.

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（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图4

解：（1）略；（2）略；

（3）存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．

①当BM=BA时，

②当AM=AB时，

∴m=5，

温馨小提示：分类讨论思想在中考压轴题中每年都会涉及到，限于篇幅，本文仅举一例.一般地，对于等腰三角形的存在性问题，若三角形的三条边长分别为a，b，c，要分a=b，a=c，b=c三种情况讨论；相似三角形的分类讨论：若△ABC与△DEF相似，它与△ABC∽△DEF是不同的，要分对应关系讨论；平行四边形的分类讨论：以A，B，C，D为顶点的平行四边形与平行四边形ABCD是不同的，要分AB是平行四边形的边还是对角线等情况讨论.