浅谈选修2-2竞赛题命题规律

■广东省兴宁市第一中学 蓝云波 ■安徽省灵璧县第一中学 郑 良

浅谈选修2-2竞赛题命题规律

■广东省兴宁市第一中学 蓝云波 ■安徽省灵璧县第一中学 郑 良

导数是高中数学的重要内容和考点,在研究函数时具有重要的应用。导数在高中数学竞赛中考查的频率也颇高,且命题灵活,综合度高,因而具有一定的难度和挑战性。推理与证明蕴含着许多数学思想,解题时具有独特的技巧与方法,因此推理与证明也是竞赛中重点考查的内容。而复数在高中数学中自成体系,具有一定的独立性,但以复数为背景的各类试题频现,并且复数也是解决其他问题的有力工具。在竞赛试题中主要考查复数的有关概念,复数的代数形式、三角形式及其运算,在复数集中解方程,以及构造复数解其他数学问题等。

下面结合数学选修2-2的相关内容,以2016年全国部分省市竞赛题为载体,分析与总结相关试题的命题方向及其解题策略,以期对同学们备战高中数学竞赛、自主招生以及高考有所帮助。

一、竞赛知识点补充梳理

同学们除掌握课本的基础知识外,还应掌握以下知识点。

1.第二数学归纳法原理与证明步骤

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题,如果:

①当n=1时,命题成立;

②假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n=k+1时,命题也成立。

那么据①②可得,命题对于一切自然数n都成立。

2.复数的三角形式

(1)复数的三角形式的乘除法运算法则:

④复数z=r(co sθ+i s i nθ)的n次方根为:nr,k=0,1, 2,…,n-1,n次方根共有n个。

二、命题规律揭示

题型一、利用导数判断函数零点个数

(2016年福建省预赛)函数f(x) =x2l nx+x2-2零点的个数为____。

解析：f'(x)=2xl nx+x+2x= x(2l nx+3),令f'(x)=0,得x=e-3

2。

所以函数f(x)的零点个数为1。

点评:函数零点个数的判断,通常通过求导得出函数的单调性,再结合零点存在定理,判断出函数零点的个数,整个过程运用了数形结合的思想方法。

题型二、利用导数证明不等式

设f(x)=t anx+2s i nx-3x(0＜x≤1),故只需证明当x∈0,1(]时,f(x)＞0即可。

设g(x)=2co s3x-3co s2x+1(0＜x≤1),则g'(x)=-6co s2xs i nx+6co sxs i nx =6s i nxco sx(1-co sx)＞0,所以g(x)在(0,1]上单调递增,则x∈(0,1]时,g(x)＞g(0)=0,因此,f'(x)＞0,f(x)单调递增,则f(x)＞0。

点评:本题通过代数变形后构造函数,转化为证明函数的单调性,借助导数证明函数的单调性时,使用了二次求导这一核心思想,是一道融会知识与能力的好题。

题型三、综合法

(2016年河南省竞赛)已知不等式l n(x+1)≤x对一切x∈(-1,+∞)均成立。证明:不等式(x-1)(e-x-x)+2l nx＜在x∈(0,+∞)时恒成立。(其中e= 2.71828…)

证明：因为x∈(-1,+∞)时,l n(x+1)≤x,所以x∈(0,+∞)时,l nx≤x-1。

(x-1)(e-x-x)+2l nx＜(x-1)· (e-x-x)+2(x-1)=(x-1)(e-x-x+2)。

①当x∈(0,1)时,(x-1)(e-x-x+2)

综上,命题得证。

点评:本题从已知条件的重要不等式l n(x+1)≤x出发直接进行证明,思路自然,过程流畅。实际上综合法是最常用的证明方法。在各类考试中,以l n(x+1)≤x为题根的试题屡见不鲜,应引起足够的重视,而且这个不等式源于课本习题上的重要不等式ex≥x+1。

题型四、分析法

(2016年安徽省预赛)证明:对任意的实数a,b,c都有,并求等号成立的充分必要条件。

不等式成立的必要条件是a(b-c)=0。

当a=0时不等式等号成立等价于bc≥0,当b=c时,不等式等号成立。

综上所述,不等式等号成立的充分必要条件是a=0且bc≥0或b=c。

点评:本题没有更多的已知条件,所以直接使用综合法证明问题比较困难,故可逆向思考,运用分析法证明问题,逐步寻求使它成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件为止。

题型五、反证法(2016年江西省竞赛)如果实数集合A中的全体元素可以排成一个等比数列,就称A是一个几何集。例如无穷集合A ={3,15,5,…}就是一个几何集。试确定是否存在7个几何集A1,A2,…,A7,使得它们的并集元素中,包含有前50个正整数,即M⊂A1∪A2∪…∪A7,其中M= {1,2,…,50},并证明你的结论。

解析：不存在,首先证明,任意一个几何集中至多含有两个质数。下面用反证法证明之,假设某个几何集G的元素中含有三个质数x,y,z,其中x＜y＜z,若其首项为a,公比为q,记x=aqm,y=aqn,z=aqk,其中正整数m＜n＜k。

所以yk-m=xk-n·zn-m,这与y是质数矛盾!

故假设不成立,所以任意一个几何集中至多含有两个质数。

于是7个几何集A1,A2,…,A7的并集中,至多含有14个质数,而M= {1,2,…,50}含有15个质数2,3,5,7,…, 47,因此,满足条件的7个几何集不存在。

点评:因为几何集的元素排成一个等比数列,而质数除了1和本身没有其他正因数,故可考查几何集中的质数个数情况。容易发现几何集中最多含有两个质数,但不易直接证明,故可使用反证法,使用反证法,首先假设某命题不成立,然后推理出明显矛盾的结果,从而假设不成立,原命题得证。

题型六、数学归纳法

(1)求a的值;

(2)已知数列an{}满足a1=1,an+1= f(an)+2(n∈N+),设Sn=[a1]+[a2]+[a3]+…+[an],其中[m]表示不超过m的最大整数,求Sn。

当a≤0时,f'(x)＞0,则f(x)在(0, +∞)上单调递增,无最小值,不合题意。

当a＞0时,若0＜x＜a,则f'(x)＜0;若x＞a,则f'(x)＞0。所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增。

所以f(x)min=f(a)=l na-a+1。

若0＜a＜1,则g'(a)＞0;若a＞1,则g'(a)＜0。所以函数g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因此g(a)≤g(1)=0,当且仅当a=1时,等号成立。

故当a=1时,f(x)取得最小值0。

由a1=1,得a2=2。从而因为,所以2＜a3＜3。

下面用数学归纳法证明:当n≥3时,2＜an＜3。

①当n=3时,结论已成立。

②假设n=k(k≥3)时,2＜ak＜3。那么,当n=k+1时,有

所以h(2)＜h(ak)＜h(3),即,所以2＜h(ak)＜3,即2＜ak+1＜3。即当n=k+1时,结论也成立。

由①②可知,对一切正整数n≥3,2＜an＜3。

由[a1]=1,[an]=2(n≥2),得Sn= [a1]+[a2]+[a3]+…+[an]=1+2(n-1) =2n-1。

点评:对于本题,无法直接求出数列的通项公式,通过观察发现本题含有取整函数,即高斯函数。故可研究数列的通项的大致范围,通过计算,可猜测n≥3时,2＜an＜3。但是难以直接证明,故可考虑数学归纳法,使用数学归纳法的关键是证明从n=k过渡到n =k+1的情形。

题型七、复数的四则运算

(2016年安徽省竞赛)设i为虚数单位,化简(i+1)2016+(i-1)2016=____。

解析：因为i+1()2=i2+2i+1=2i,所以

i+1()2016=21008。

又因为i-1()2=i2-2i+1=-2i,所以i-1()2016=-2()1008=21008。

所以i+1()2016+i-1()2016=21009。

点评:本题考查了复数的四则运算,娴熟的运算能力,公式的合理使用是解题的关键,还可通过复数的三角形式求解。

题型八、复数的三角形式

A.-1 B.-i C.i D.1

点评:本题考查了复数的三角形式及其运算,将复数的代数形式转化为三角形式是解题的关键,三角函数的诱导公式的使用是成功解题的保证。

题型九、共轭复数

点评:复数a+bi的共轭复数为a-bi,共轭复数的求解应在标准形式进行,否则会出现错误。本题还可利用复数的结构特点及性质求解达到事半功倍的效果。

题型十、复数的模

解析：设z=a+bi(a,b∈R),x=x0是方程+i=0的一个实数根,则+i=0,即x20-2ax0+

消去x0,并化简可得

所以z 的最小值为1。

点评:本题以方程为背景考查了复数相等和复数的模的概念,并与基本不等式交汇,体现出在知识的交汇处命题的思路。复数除与基本不等式交汇外,还经常与解析几何、导数、柯西不等式、线性规划等知识点进行交汇。

通过对2016年竞赛题的分析,我们发现,涉及数学选修2-2的竞赛题具有一定的灵活性和难度,但并非高不可攀。只要我们多总结,对命题规律进行必要的挖掘,并结合一定的练习,就能做到心中有数、触类旁通。

(责任编辑 徐利杰)