一种四元数域鲁棒自适应波束形成方法

王 荔,徐友根,刘志文

(北京理工大学信息与电子学院,北京 100081)

基础理论

一种四元数域鲁棒自适应波束形成方法

王 荔,徐友根,刘志文

(北京理工大学信息与电子学院,北京 100081)

本文考虑期望信号导向矢量失配条件下的四元数域鲁棒自适应波束形成问题。首先将复数域二次约束二次规划技术推广于四元数域，以对期望信号四元数域导向矢量进行修正。进一步将四元数域二次约束二次规划问题转化为实数域问题，从而可以直接利用凸优化工具包(CVX)进行求解。最后利用修正的信号四元数域导向矢量实现四元数域鲁棒自适应波束形成。仿真结果表明，本文所提四元数域鲁棒自适应波束形成方法在导向矢量失配条件下其输出信干噪比优于现有的四元数域自适应波束形成方法。

阵列信号处理；鲁棒自适应波束形成；四元数；模型失配

0 引 言

自适应波束形成作为阵列信号处理的主要研究内容之一，广泛应用于雷达、声呐、无线通信、医学影像以及地震探测等众多领域[1-3]。矢量传感器构阵列由于能够获取和利用入射信号的极化信息，完成空-时-极化域联合滤波，进而提高波束形成器性能，一直以来备受关注[4-5]。

多元数建模方法相比于常规复数方法可以更好地描述和利用矢量传感器阵列输出数据的多层次和多维度结构信息，近年来已成为矢量传感器阵列信号处理中的热点问题之一[6-7]。复数域多重信号分类、子空间旋转不变等信号参数估计方法已被成功推广于多元数域。由于隐含数据平滑操作，多元数域方法在抗噪性能和对模型误差的鲁棒性等方面较之复数域方法有一定优势[8-11]。此外，四元数域自适应波束形成方法最近也受到了众多关注，其中，文献[12]将四元数应用于二分量矢量传感器阵列自适应波束形成中，但其输出信干噪比性能对实际中经常存在的导向矢量失配问题较为敏感；文献[13]基于两路干扰及噪声对消的思想，研究了一种具有联合结构且能抑制单个强相干干扰的自适应波束形成方法；文献[14]将复数域最坏情况最优化技术推广至四元数域，提出了两种四元数域最坏情况最优化自适应波束形成方法，其对模型误差的鲁棒性优于常规四元数域波束形成方法。

然而，上述两种四元数域最坏情况最优化自适应波束形成方法均需要模型误差的先验信息，在实际应用中其实现有一定困难。为此，本文将复数域导向矢量修正鲁棒波束形成方法推广至四元数域，提出一种性能更好且更易实现的四元数域鲁棒自适应波束形成方法。

1 问题描述

1.1 四元数的相关定义

四元数q可表示为

q=qr+iqi+jqj+kqk=q1+iq2

(1)

四元数的三种对合(可视为复数共轭的推广)[15]分别定义为：1)q(i)=-iqi=qr+iqi-jqj-kqk；2)q(j)=-jqj=qr-iqi+jqj-kqk；3)q(k)=-kqk=qr-iqi-jqj+kqk，利用四元数及其对合的定义，可以得到：qr=(q+q*)/2，qi=(q-q(i)*)/2i，qj=(q-q(j)*)/2j，qk=(q-q(k)*)/2k。

M×N维四元数矩阵Q可表示为

Q=Qr+iQi+jQj+kQk

(2)

1.2 四元数域自适应波束形成

假设波束形成阵列由N个特性相同的二分量矢量传感器组成，将其划分为两个空间几何完全相同的子阵，其复数域输出分别具有下述形式：

(3)

(4)

式中，a1,0和a2,0为两个子阵对应于期望信号s0(t)的导向矢量，a1,m和a2,m为两个子阵对应于第m个干扰sm(t)的导向矢量，n1(t)和n2(t)为两个子阵的噪声矢量。

利用x1(t)和x2(t)构造下述四元数矢量：

x(t)=x1(t)+ix2(t)=a0s0(t)+

(5)

式中，am=a1,m+ia2,m为sm(t)的四元数域导向矢量，n(t)=n1(t)+in2(t)为四元数域噪声矢量。

四元数域波束形成器的输出可以写成：

y(t)=w◁x(t)

(6)

式中，w为四元数域波束形成器权矢量。四元数域波束形成器的输出功率为：

E{|y(t)|2}=E{|w◁x(t)|2}=w◁Rw

(7)

式中，R=E{x(t)x◁(t)}为阵列输出四元数域协方差矩阵。

四元数域波束形成器权矢量w可通过下述准则(QCAPON)确定：

s.t.w◁a0=1

(8)

利用拉格朗日乘子方法可得下述QCAPON波束形成器权矢量：

(9)

(10)

式中，K为采样快拍数。

2 基于导向矢量修正的四元数域鲁棒自适应波束形成

关于误差分量e⊥的估计，文献[16]提出了一种二次约束二次规划方法，该方法可以直接推广至四元数域，也即

(11)

(12)

e⊥=e⊥, r+ie⊥,i+je⊥,j+ke⊥,k

(13)

(14)

于是有

(15)

(16)

式中

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

这样，

(23)

式中，dr，di，dj和dk均为N×1维实数矢量。

(24)

L=Lr+iLi+jLj+kLk

(25)

(26)

由此，式(11)所示的四元数域约束优化问题最终可写成如下实数形式：

s.t.

(27)

e⊥=e⊥,A(1:N)+ie⊥,A(N+1:2N)+je⊥,A

(2N+1:3N)+ke⊥,A(3N+1:4N)

(28)

将式(10)和(28)代入式(9)中，最终得到下述基于四元数域导向矢量修正的四元数域鲁棒自适应波束形成(QSVC-BF)权矢量

(29)

将式(29)代入式(6)中，可得四元数域自适应波束形成器的输出如下：

(30)

3 仿真实验结果与讨论

本节对论文所提的QSVC-BF方法，文献[12]中的QCAPON方法，以及文献[14]中的QWCCB1方法和QWCCB2方法进行性能比较。采用由10个交叉偶极子天线组成的矢量线阵,交叉偶极子天线间的距离均为信号半个波长。假设有1个期望信号与2个非相干干扰从远场入射至该阵列，噪声为加性高斯白噪声。假设期望信号的俯仰角和方位角分别为5°和60°，极化辅助角和极化相位差分别为45°和30°，干扰1的俯仰角和方位角分别为30°和40°，极化辅助角和极化相位差分别为9°和55°，干扰2的俯仰角和方位角分别为60°和20°，极化辅助角和极化相位差分别为63°和72°。期望信号导向矢量的真实值和标称值之间的误差矢量为e，假设其范数‖e‖在区间(0, 1]上均匀分布[6]。蒙特卡洛独立实验次数均为200。

图1和图2分别给出了输入干噪比(INR)固定为20 dB和30 dB时,输出信干噪比随输入信噪比(SNR)的变化图。仿真实验中，采样快拍数均固定为30。由图1和图2所示结果可以看出，在输入信噪比较低时，几种波束形成器性能相近，且均接近输出信干噪比最优值(OPT-SINR)；随着输入信噪比的增大，QWCCB1方法和QWCCB2方法的输出信干噪比性能接近但均逐渐低于最优值，QCAPON方法其输出信干噪比性能则急剧下降，本文所提的QSVC-BF方法输出信干噪比性能整体上优于其他几种四元数域自适应波束形成方法。

图1 输出SINR随输入SNR变化图，INR=20 dB

图2 输出SINR随输入SNR变化图，INR=30 dB

图3和图4分别给出了输入干噪比固定为20 dB和30 dB时,输出信干噪比随采样快拍数变化的性能曲线。仿真实验中，输入信噪比固定为10 dB。由图3和图4所示结果可以看出，随着采样快拍数的增加，几种自适应波束形成方法的输出信干噪比逐渐变大且趋于稳定，QWCCB1和QWCCB2两种方法的性能相当，在各个采样快拍数下，文中所提的QSVC-BF方法的输出信干噪比性能都较优于QWCCB1方法、QWCCB2方法和QCAPON方法，即使在采样快拍数低于50的情况下，QSVC-BF方法也具有较好的输出信干噪比性能。

图3 输出SINR随快拍数变化图，INR=20 dB

图4 输出SINR随快拍数变化图，INR=30 dB

4 结 语

本文提出了一种四元数域鲁棒自适应波束形成方法，通过四元数域二次约束二次规划问题的实数化，直接利用凸优化工具包(CVX)对四元数域期望信号导向矢量的标称值进行修正，以克服由信号相消所导致的四元数域自适应波束形成器性能下降问题。仿真实验表明，所提方法的输出信干噪比性能优于现有的几种典型的四元数域自适应波束形成方法，且在高输入信噪比和短快拍条件下尤为显著。

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A Quaternion-valued Robust Adaptive Beamforming Method

WANG Li, XU You-gen,LIU Zhi-wen

(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The problem of quaternion-valued robust adaptive beamforming in the presence of steering vector mismatch is considered in the paper. In the method, the complex-valued quadratically constrained quadratic programming technique is extended to the quaternion domain to enhance the quaternion-valued steering vector of the signal of interest (SOI). The quaternion-valued quadratically constrained quadratic programming problem is then reformulated as a real-valued constrained one which can be directly solved by using the convex optimization toolkit (CVX). The quaternion domain robust adaptive beamforming is finally realized by using the upgraded quaternion-valued SOI steering vector. Simulation results show that the proposed robust beamformer outperforms the existing quaternion domain adaptive beamformers in terms of output signal to interference-plus-noise ratio for the tested case of steering vector mismatch.

array signal processing; robust adaptive beamforming; quaternion; model mismatch

10.3969/j.issn.1673-5692.2016.02.006

2016-11-11

2017-02-20

国家自然科学基金(61490691, 61331019)

TN971.1

A

1673-5692(2017)02-132-05

王 荔(1995—)，女，山西人，硕士研究生，主要研究方向为阵列信号处理及其应用；

E-mail：wangli_nice@126.com

徐友根(1975—)，男，江苏人，教授，博士生导师，主要研究方向为阵列信号处理及其应用；

刘志文(1962—)，男，陕西人，教授，博士生导师，主要研究方向为阵列信号处理及其应用、医学信号与图像处理等。