高等数学指导中学数学在函数思想上的体现

赵丽丽

（赤峰学院 计算机与信息工程学院，内蒙古 赤峰 024000）

高等数学指导中学数学在函数思想上的体现

赵丽丽

（赤峰学院 计算机与信息工程学院，内蒙古 赤峰 024000）

作为一名优秀的教师，只具备高中数学所涉及的知识，那是远远不够的，为了能更好的理解和渗透中学数学的教材，这就要求中学数学教师利用高等数学指导中学数学，用高等数学的思想方法、理论依据一眼看穿中学数学，结合中学数学的实际，运用中学生可以接受的方法来指导中学数学的教学与解题.从中学数学与《数学分析》教材的分析来看，函数部分所占比例较大，可以说函数思想像一双无形的手拉近了高等数学与中学数学的距离，润物细无声般的将中学数学推向高等数学.

数学思想；函数思想；问题

《数学分析》的研究对象是函数，具体内容包括：一元函数的极限，一元函数微积分，实数的连续性，无穷级数与含参变量积分，多元函数微积分等.中学数学的主要内容：集合与简易逻辑，函数，数列，三角函数，平面向量，不等式，极限，导数，复数，排列、组合、二项式定理，概率统计以及解析几何部分，这些问题属于《数学分析》，《概率统计》，《解析几何》等数学分支，但在教材更多的是讲述办法，理论上的叙述要求的不是十分严谨，但是对更好的理解和渗透中学数学教材，这就要求中学数学教师利用高等数学指导中学数学，用高等数学的思想方法、理论依据一眼看穿中学数学，结合中学数学的实际，运用中学生可以接受的方法来指导中学数学的教学与解题.

从中学数学与《数学分析》教材的分析来看，函数部分所占比例较大，可以说函数思想像一双无形的手拉近了高等数学与中学数学的距离，润物细无声般的将中学数学推向高等数学.

我们曾都有过这样的困惑：题目讲的很多，但是学生都是在模仿解题，老师只要稍一改变则不知所措，究其原因在于学习中仅仅就题论题，见子打子，并没有真正领会隐含与数学问题探索中的数学思想方法.新课标强调教师在教学中授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要；即要使学生掌握数学思想方法方面的知识，逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能从容对待.

所谓数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂.数学思想和数学方法是紧密联系的.一般来说，强调指导思想时称为数学思想，强调操作过程时称为数学方法.而中学数学中的基本数学思想如下：两大“基石”思想：符号化与变元表示（换元思想、方程思想、参数思想）与集合思想（分类思想、交集思想、补集思想）两大“支柱”思想：对应思想（函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想）与公理化与结构思想（公理化思想、结构思想、极限思想）两大“主梁”思想：系统与统计思想（整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想)与化归与辨证思想（纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想，对立统一，万变，一分为二思想）.

在上述诸多思想中，函数思想在初、高等数学，在自然科学和社会科学中均有着广泛的应用，起着“基础”和“纽带”的作用,是处理常量数学和变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义.同时函数把数学的各个分支紧紧连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角等彼此渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.又由于函数充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，因而就是中学数学能接近现代数学的科学水平，并且是学生从中获得基本的、深刻的、有用的高等数学思想方法.总之,函数描述了自然界中量的依存关系;反映了一个事物随另一个事物变化的关系和规律.函数思想即是用联系变化的观点,建立各种变量间的依存(函数)关系,通过函数形式并利用函数的有关性质和方法达到解题目标的策略,函数思想是一种解题观念,其运用范围并不局限于函数问题,它贯穿与整个高中数学.

1 在概念教学中渗透函数思想

数列是函数,是一种特殊的函数,因此许多问题可以用函数的观点来研究如:数列概念,求解等差数列中的a,an,sn, n,d等.

2 在定理和公式中渗透函数思想

例 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d中an是n的一次函数;前n项和公式中sn是n的二次函数.

3 在问题解决中渗透函数思想

3.1 实际问题

例 某工厂要修建一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子0A，0下号在水面中心处，OA= 1.25m，安装在柱子顶端A处的喷头向四周喷水，水流沿着形状相同的抛物线路径向四周落下，并在过0A的任意平面上抛物线如图(1)，为了使水流的形状更漂亮，要使水流在到OA距离为1m处达到距水面最大的高度2.25m，不收其他因素影响，水池的半径要多少米，才能使喷出的水流不落在水池外面.

分析:我们的解题思路是:实际问题→数学问题→代数问题→函数问题→函数问题的解→实际问题的解.

如图(2)建立直角坐标系:则水流显现的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.25，由题意：点A的坐标为（0，1.25），

把x=0,y=1.25代入上述方程 得a=-1

于是 抛物线方程为y=-(x-1)2+2.25

令y=0 得(x-1)2+2.25=0

解得x1=2.5，x2=-0.5（不合题意舍去）

所以x=2.5

答：水池半径至少要2.5米才能使水流不致落到池外.

3.2 几何问题

在几何问题中我们往往会遇到求夹角和最大(小)值和线段的最短(长)距离等问题.如果仅从集几何方面去思考,往往使问题难以解决,倘若能够灵活的应用构造函数的方法,就会使几何问题柳暗花明.

解 利用导数的几何意义:光滑曲线切线的斜率.

则过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程为

因此本题归结为：当x,y满足（1）时

3.3 不等式问题

由于不等式有广泛的应用又是高等数学的基础，所以在高考中一直是重点考察的内容，在综合解题过程中处处分布着不等式的知识、方法与技巧.下面将从高等数学的函数思想方面研究不等式.

3.3.1 利用函数单调性

基本思想：若f'(x)≥0(f'(x)＞0)则x1＜x2时，有f(x1)≤f(x2)(f (x1)＜f(x2)),由此可获得不等式.

例 设e是自然对数的底,π是圆周率,证明:eπ＞πe.

由于x＞e时f'(x)＜0于是f(x)在[e，+∞)上递减故f(e)＞f(π)此即（1）成立.

3.3.2 利用微分中值定理

基本思想：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)=f(a)+f'(ξ)(x-a)(ξ∈(a,b))

故当f(a)=0；(a,b)内f'(x)＞0时，有f(x)＞0(∀x∈(a,b]).

法1：令f(x)=x-ln(1+x)则f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，所以有f(x)=f(0)+f'(ξ)x(ξ∈(0,x))

法3：分析：∵x＞0

因此可利用拉格朗日中值定理

证 令f(t)=lnt，当x＞0时，显然它在[1,1+x]满足拉格朗日中值定理的条件，

3.3.3 利用函数极值

证明 原不等式等价于(1-x)ex≤1

设f(x)=(1-x)ex，x∈(-∞,1)由f'(x)=-xex=0，得唯一驻点x=0，

又当x＜0时f'(x)＞0；

x＞0时，f'(x)＜0

故f(x)在x=0取极大值（即最大值）：f(0)=1因此对所有x∈(-∞,1)，都有f(x)=(1-x)ex≤1.

例2 证明t≥1，s≥0时下面的不等式成立

ts≤tlnt-t+es

证 我们只要证明函数φ(s,t)=tlnt-t+es-ts

在D={(s,t)：s≥0，t≥1}上有最小值0,固定t≥1,

令φ's(s,t)=es-t=0 得s=lnt(即t=es)且

当0≤s＜lnt时φ's(s,t)＜0

当s＞lnt时φ's(s,t)＞0

可见φ(s,t)的最小值只能在曲线t=es上达到.但

φ(s,es)=ess-es+es-ess故在D上φ(s,t)≥0即有ts≤tlnt-t+es

3.3.4 利用二次函数判别式

3.4 等式、方程问题

函数通常我们用记号y=f(x)来表示变量y是变量x的函数，即“变量y通过f函数依赖于x”至于变量x取何值时，y值为零呢？于是我们引入记号f(x)=0，这就是我们常说的方程.因此，我们可以利用函数本身的性质来解决方程中的一些问题.

证x在(0,+∞)内变化即看是否存在x1,x2使f(x1)=0，f(x2) =0即问题变成证明f(x)在(0,+∞)内至少有两个零点.

由界值定理知f(x)在(0,e)和(e,+∞)内各至少有一个零点，即方程

在(0,+∞)内至少有两个实根.

例 2 若(1+x+x2+x3)5(1-x+x2-x3)5=a30+a29x+…+a1x29+a0x30求a15.

分析：观察等式的特殊结构，可以运用函数的奇偶性.

解 构造函数f(x)=(1+x+x2+x3)5

则f(-x)=(1-x+x2-x3)5

令F(x)=(1+x+x2+x3)5(1-x+x2-x3)5

则F(x)=f(x)f(-x)

显然F(x)是偶函数.

而且观察正系数多项式F(x)展开式中系数的特征：所有奇次项系数均为零，可知F(x)=a30+a28x2+…+a2x28+a0x30

即a15=0

3.5 复数与角的问题

有关复数x+yi的辐角和模的范围问题常与正、余弦函数或实变量x,y联系在一起，可利用变量的函数来求解.

例1 已知辐角分别为θ1，θ2的复数z1,z2,满足条件：z1+z2=5i，|z1z2|=14，求cos(θ1-θ2)的最大值及最小值，并求取最小值时的z1,z2的值.

分析：这是一个最值问题，解最值问题的一般方法是要找到有关一个变量的函数，本题中的变量有θ1，θ2，还有z1,z2的模r1，r2共4个，从已知条件可以获得3个等式，其中z1+z2=5i可得两个等式，再加|z1z2|=14，寻找它们与所求结论cos(θ1-θ2)之间的关系.

解 设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)由题意得：

将(1),(2)两边平方代入(3)得：

所以cos(θ1-θ2)的最大值是，最小值是-1

且当cos(θ1-θ2)=-1时θ1-θ2=(2k+1)π

例2 设复数z=3cosθ+i2sinθ，求函数y=θ-argz.(0＜θ＜的最大值以及对应θ的值.

分析：所求是两个动态角之间的函数最大值，而求一个角的最大（小）值，一般要转化成求这个角的某一个三角函数的最大（小）值，为了便于运算取正切，先求tgy的最大值，进而利用正切函数的单调性，求出y的最大值以及对应的θ的值.

即时上式取等号.

总之应用函数的有关知识和思想解题不止以上几类，“管中窥豹，可见一斑”，它们反映了这样一种解题策略：将静止的问题放到一个更加波澜壮阔的动态过程中去考察,将局部的问题置于更加高瞻远瞩的全局上去解决.

〔1〕胡炳生,等.现代数学观点下的中学数学[M].北京：高等教育出版社，1999.

〔2〕余元希,等.初等代数研究（下册）[M].北京：高等教育出版社，1988.3.

〔3〕王后雄.十年高考两年模拟试题分类全解:数学[M].辽宁教育出版社，2006.

〔4〕裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社，2006.

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