三角函数角的变形方法

冉宇

摘 要：三角函数恒等变形中，角的变形是学习中的难点，因为其变形途径较为隐蔽，教师要帮助学生总结归纳变形方法，归结起来，角的变形方法有：通过自然的展开变形、通过加减变形、通过诱导变形、通过二倍的相对性变形、通过换元变形.

关键词：三角函数；角；变形；方法

三角函数恒等变形中，角的变形是一个难点，学生难于无规律可寻，教师要帮助总结方法与规律.

一、通过自然的展开变形

自然的展开是一种朴素的方法，往往题设或结论中嵌有特殊角.

例1 已知cosα-π6+sinα=453，则sinα+7π6的值是（ ）.

A.-235B.235C.-45D.45

解 cosαcosπ6+sinαsinπ6+sinα=453.化简得

12cosα+32sinα=45.

∴sinα+7π6=sinαcos7π6+cosαsin7π6

=-32sinα-12cosα=-45.

选C.

二、通过加减变形

如：α=（α-β）+β=α+β2+α-β2=…

例2 已知sin（π4+α）=45，cos（β-π4）=13，π4+α∈（π2，π），β-π4∈（0，π2），求cos（α+β）的值.

解 cos（α+β）=cosπ4+α+β-π4

=cosπ4+αcosβ-π4-sinπ4+αsinβ-π4

=-35·13-45·223=-3+8215.

例3 已知函數f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）的最大值.

解 f（x）=sin（x+φ）+φ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ-cos（x+φ）sinφ

=sin[（x+φ）-φ]=sinx.

由于f（x）的定义域为R，所以f（x）的最大值为1.

三、通过诱导变形

例4 已知cos2π3-θ=-25，求cosπ3+θ的值.

解 cosπ3+θ=cosπ-2π3-θ

=-cos2π3-θ=25.

例5 已知sinθ+π12=-13，求cosπ6+2θ的值.

解 cosπ6+2θ=cos2θ+π12

=1-2sin2θ+π12

=1-2-132=79.

四、通过二倍的相对性变形

如x=2·x2，x2=2·x4，x4=2·x8…

例6 已知tanx6=-2，求sinx3的值.

解 sinx3=sin2·x6=2sinx6cosx6cos2x6sin2x6

=2tanx61+tan2x6=2·（-2）1+（-2）2=-45.

五、通过换元变形

例7 已知cosα+π6=45，α为锐角，求sin2α+π12的值.

解 令α+π6=θ，则α=θ-π6，cosθ=45，θ为锐角.

sin2α+π12=sin2θ-π6+π12

=sin2θ-π4

=2sinθcosθcosπ4-（2cos2θ-1）sinπ4

=2·35·45-2·1625-1·22=17250.

换元有时神奇，能把深深的隐藏挖出来.