大规模MIMO系统的贝叶斯匹配追踪信道估计算法

劳兴松 李思敏 唐智灵

摘 要：大规模MIMO技术能成倍地提高通信系统的容量和传输速率，但是系统性能的进一步提升会受到导频污染的制约.采用压缩感知进行信道估计，能够减少导频开销，从而可以有效解决这一问题.为此，本文提出了基于压缩感知的支持不可知贝叶斯匹配追踪信道估计算法（SABMP）.仿真结果表明，在低信噪比时，该算法仅需较少的导频开销就能达到较低的误码率（BER）及归一化均方误差（NMSE）性能，提高频谱效率.

关键词：大规模MIMO；信道估计；压缩感知；SABMP

中图分类号：TN913 文献标志码：A

0 引言

MIMO技术（multiple input multiple output）被认为是提高信息传输速率的一种有效方法，并已在4G系统中得到广泛应用.为了应对未来传输速率和系统容量等方面的性能挑战，进一步增加天线数量将是MIMO技术继续演进的主要发展方向[1]，即大规模MIMO技术（Massive MIMO）被认为是5G通信系统的一项核心技术[2-4].

尽管大规模MIMO具有巨大的优势，但是与传统MIMO相比较还有一些亟待解决的难题.当前，国内外关于大规模MIMO的研究主要在信道建模、信道估计、信号检测等方面.移动通信中的无线传输信道是时变、多径、衰落的，因此信源经信道会使数据失真，由于障碍物的存在，信号强度减弱.接收端为了正确接收、恢复发送的数据，需要对信道的衰落影响进行合理的补偿，这就需要在接收端使用信道估计来获得信道衰落信息.在大规模MIMO系统中，信道状态信息大大增多对信道估计的计算复杂度提出了更高的要求；并且，不同于传统的MIMO系统，导频污染问题是大规模MIMO系统性能提升的限制因素；因此，如何有效消除导频污染，是未来需要研究解决的关键问题之一.

当前，大多数学者主要研究多小区联合信道估计机制[5-7].这种信道估计机制虽然能减轻导频污染，但是计算步骤较多，不便于硬件实现.值得注意的是，大规模MIMO系统的无线信道具有稀疏特性，可以考虑采用压缩感知（compress sensing， CS）.为此，本文提出一种基于压缩感知的贝叶斯信道估计算法，即支持不可知的贝叶斯匹配追踪算法（Support Agnostic Bayesian Matching Pursuit），对信号进行重构，仅使用较少的导频开销就能够达到信道估计的目的.2004年，Donoho等[8]提出了压缩感知的理论，该理论能够从有限的采样值中有效地重构出稀疏信号，证明了只要信号是可压缩的或者在某个域是稀疏的，则可以通过某一合适的观测矩阵将高维矩阵投影到低维空间上，然后通过求解最优化问题从少量的观测值中高概率地重构出原信号.压缩感知理论一提出，就在生物传感、医学成像[9-10]、无线通信、模式识别等领域受到高度关注.因此，将压缩感知技术应用于大规模MIMO系统的信道是一种很有潜力的方法，文献[11-13]也对这一方向进行了研究，提出了不同的信道估计算法，这些结果均表明，采用压缩感知进行信道估计，可以很大程度上减少需要的导频数目，减轻导频污染，不仅可以提高频谱效率，而且能够提升系统容量，从而发挥大规模MIMO的优势.

1 系统模型

1.1 传输模型

考虑一个如图1所示的MIMO-OFDM（multiple input multiple output-orthogonal frequency division multiplexing）系统，基站配备有一个由R=M×G根天线组成的大规模二维天线阵列.基站服务于若干单天线终端，采用OFDM作为信号机制.在一个OFDM系统中，连续输入的串行比特流被分成N个并行比特流并映射到一个Q进制的QAM字母表（星座图）{A1，A2，…，AQ}上，然后得到一个 N维的数據向量X=[X（1），X（2），…，X（N）]T，其等价的时域信号通过对X进行傅里叶反变换得到：

x=FHX （1）

其中：F是N×N的离散傅里叶变换（DFT）矩阵，F的第k行l列的元素为：

fk，l=■exp-j■kl （2）

在每个OFDM符号前插入循环前缀（CP），然后将信号发送.

1.2 信道模型

大多数无线信道都可以建模为具有很大的时延扩展、很少的有效路径（由稀疏分布在空间中的散射体引起）的离散多径信道.这导致信道冲激响应（CIR）具有稀疏特性[14-15]；因此，对于每一个发送接收链路，只需要估计少数有效路径的信道增益，这样有可能大幅减少导频开销.

性质1 信道冲激响应是稀疏的.

用 表示一个典型的单天线用户和基站接收天线r=（m，g）之间的CIR，其中m∈{1，2，…，M}，

g∈{1，2，…，G}，如图2所示.根据文献[16]，假设 是稀疏的，写成：

（3）

⊙表示元素与元素相乘.向量 的分布可以是高斯的也可以是非高斯的，甚至于其分布也可以是未知的，且 的系数不需要服从独立同分布，即信道系数是不可知的.向量 是伯努利随机向量，其元素相互独立，服从分布[16]：

（4）

也就是说， 的元素是相互独立（且有可能非恒等分布）的伯努利随机变量集，因此， 是一个L抽头的离散时间稀疏信道，不对其非零复值系数的分布做任何假设.

第r根天线接收到的频域信号可以表示为：

（5）

其中， 通过移除接收到的时域信号的循环前缀并左乘傅里叶矩阵F得到. 是N×1的频域噪声向量， 是N×1的信道频率响应向量.

（6）

F是N×L的截断傅里叶变换矩阵，通过选取F的前L列得到.根据式（6），可以把式（5）重写成：

（7）

其中，A=diag（X）F 是一个N×L矩阵.

1.3 空間信道模型

Massive MIMO系统的大数量天线有很不同的结构形式，如线性排列、矩形排列和圆柱形排列等.虽然SABMP算法能够应用在上述任意的结构中，但在本文中为方便分析，选取均匀矩形阵列.

在Massive MIMO系统中，假设天线阵列中的某一天线元和它周围的天线元接收到不同散射体的相同反射波，因此该天线阵列对应的信道拥有共同的支持.特别地，某一波前到达两根距离为d的天线的时间差△？子满足△？子≤■，C为光速.文献[17]提出，如果波前到达时差△？子满足△？子>■，B为信号带宽，则信道抽头是可解析的，用dmax表示天线阵列中距离最远的两根天线之间的距离（dmax是一个天线间距d和天线阵列中的天线数量之间的函数）.综上所述，天线阵列会表现出以下两种情况中的一种：

1）若■≤■，则天线阵列关于信道冲激响应支持是空间不变的.所有的 拥有相同的稀疏图案，这意味着信道抽头的幅度也许会不同，但是最明显的抽头的位置是不变的.对于间距较小的天线元，尽管信道路径幅度和相位有可能不同，但由于波前到达的时间间隔很小，所以得到这一假设.不同的天线单元会收到不同散射体的几乎相同的反射波.换句话说，天线阵列中的所有天线元对应的信道的支持不会改变，只是信道抽头的长度会有所不同，如图3所示.这样的阵列为空间不变阵列（Space-Invariant Array，SIA）.

2）若■>■，则天线阵列关于信道冲激响应支持是空间变化的.在这种情况下，通过天线阵列的信道支持是变化的.注意到信道支持的变化很缓慢，所以可以假设以下性质总是有效的.

性质2 任意位于中心位置的天线和它相邻的4根天线拥有近似相同的支持[17].

图4展示了这种情况下相邻的天线拥有近似相同的信道支持，这样的阵列为空间变化阵列（Space-Variant Array，SVA）.

1.4 导频

信道估计需要用到导频，发射机保留K个子载波用来发送导频，用剩下的N-K个子载波发送数据.用P表示一组导频载波，根据式（7），基站天线r接收到的导频为：

（8）

其中， 和 是K×1的向量，分别从 中选取K个元素根据P进行编排得到.类似的，A（P）是一个K×L矩阵，选取A的行元素并根据P进行编排得到.要根据式（8）求出 ，显然需要导频长度至少等于信道时延扩展，即K≥L，这会对系统的频谱效率造成影响，于是，根据压缩感知理论[8，18]，可以利用信道的稀疏性质及相邻天线元拥有近似相同的支持这一实际情况（即性质1和性质2）充分减少信道估计中需要使用的导频数量.多用户MIMO系统上行链路帧结构如图5所示.

不少学者已经对OFDM信道估计提出了不同的导频放置方案.在传统的OFDM信道估计中，最好的分配方案是把导频均匀的插入载波中，但是这种方案没有利用到信道的稀疏特性[19-21]，当信道是稀疏的时候，最优的分配方案是把导频随机插入载波中[22-23].

2 分布不可知的贝叶斯匹配追踪信道估计算法

考虑线性回归模型（8），为了方便起见，去掉上标r和符号P，于是模型（8）可以写成：

Y=Ah+W （9）

其中，Y和W是K×1的向量，h是L×1的向量，A是K×L的矩阵.采用贝叶斯估计获得信道冲激响应h.贝叶斯方法假设一个先验分布已知，然而考虑到无线信道的动态性质，通常不可能得到其分布特征.此外，这样的假设并不能反映出实际信道的情况，从而导致估计性能退化.即使已知先验分布，仍然很难估计分布的参数，例如高斯均值及方差，尤其在信道统计学特性不是独立同分布的时候.而采用分布不可知的贝叶斯稀疏信号恢复（SABMP）算法[24-25]能够有效解决这一问题，即使先验分布未知或不是高斯分布的，它也能给出贝叶斯估计值.

本文的信道估计算法根据文献[24-25]提出的支持不可知的贝叶斯匹配追踪算法（SABMP），结合无线信道的性质，对其进行改进.

为了从式（9）的线性回归模型的K×1维观测向量Y中估计出L×1维的稀疏信道h，SABMP在已知Y的条件下追踪h的最小均方误差（MMSE）估计，在形式上定义为：

（10）

这里的求和遍及h的全部可能的2L个支持集.但是，当信道时延扩展L很大的时候，支持集会变得非常大，相应的计算复杂度也会变得很大，此时求和将会变得相当困难.为了求得计算上的可行解，只考虑那些以大概率包含最有效抽头的支持集，进而得到近似的和.这些数量较少的支持以后验概率p（S/Y）构成有效支持集.令Sd为有效支持集，式（10）可以写成：

■AMMSE=■p（S│Y ）E[h│Y，S] （11）

因为■p（S│Y ）<1导致式（11）的估计结果为有偏估计，为了得到无偏估计，对p（S│Y ）作归一化处理，于是■p（S│Y ）=1.所以式（11）近似等于式（10）.通过贪婪算法确定Sd和■AMMSE，选取的有效支持选择度量定义为对数后验：

（12）

SABMP的贪婪算法：Step1寻找样本容量为1的最优支持[24].比较S={1}，…，{L}对应的每一个v（S）的大小，也就是总共L1个搜索点.令S1={α1}是样本容量为1的最优支持；Step2寻找样本容量为2的最优支持，需要搜索大小为L2的搜索空间.为了减小搜索空间，贪婪算法寻找的抽头位置满足α1≠α2，使S2={α1，α2}中v（S2）取得最大值.与最优搜索需要搜索L2个搜索点相反，这样做只需要搜索L-1 1个搜索点.以此类推，Step3寻找S3={α1，α2，α3}等等，最后，得到有效支持集：

Sd ={S1，S2，…，STmax}，

Sd ={{α1}，{α1，α2}，…，{α1，α2，…，αTmax}} （13）

其中，Tmax是稀疏信道沖激响应h中非零元素的最大数目，根据Moivre-Laplace定理，Tmax的选取应比估计得到的CIR中的有效抽头数略大[20].表1是贪婪算法的一个运行例子，该例子中L=7，Tmax=4 .

SABMP算法假设h的抽头以等概率λ激发（例如概率为λ的伯努利独立同分布），然而，根据实际的信道情况，考虑到某些抽头激发的可能性大于其他抽头；因此可以设定这些抽头的激发概率更大.假设未知信道h满足独立非恒等伯努利分布，先验概率为：

p（S）=■λi （1-λj） （14）

其中：λi是h的第i个抽头的激发概率.此外，似然函数近似为：

（15）

其中：PS*=I-PS=I-AS（ASHAS）-1ASH是投影矩阵，AS是选取A的列元素根据支持S编排得到的矩阵.把式（14）和式（15）代入式（12）得到：

（16）

于是，式（11）中仅剩E[h│Y ，S]未知.需要注意的是，由于h的激发抽头的分布未知，所以很难甚至不可能求得E[h│Y ，S]；故考虑采用最优线性无偏估计（BLUE）替代：

（17）

这样就得到了计算■AMMSE所需的所有未知量，而包括σw2， 以及支持集的可能大小Tmax不需要事先知道，可以通过SABMP算法估计得到.特别地，令λi初始化为：

（18）

其中，aj是矩阵A的第j列. 简单地初始化为接收信号均方误差的测量值，如 .

每个天线单元根据上述贪婪算法和式（11）在分布不可知的条件下估计各自对应的近似稀疏信道冲激响应，贪婪算法及SABMP算法的步骤分别如表2所示.

3 仿真结果及分析

仿真场景主要考虑单小区场景，其中基站天线数分别为25，64和100，均为矩形排列，用户终端数均为1，形成5×5，8×8和10×10的大规模MIMO系统；通信信道为瑞利平坦衰落；OFDM子载波数N=256，信道长度L=64，信道稀疏度n=3，天线阵列为SIA.仿真目的为比较SABMP算法在不同信噪比、接收天线数及导频长度条件下的误码率（BER）及归一化均方误差（NMSE）性能.

图6和图7分别展示的是SABMP在不同天线数及不同信噪比下的误码率及归一化均方误差性能比较.导频长度统一选为8，调制方式选用4 QAM.由图6可以看出，随着天线阵列变大，SABMP在低信噪比情况下的BER性能逐渐变差，但性能改善的速率很快，在信噪比大于13 dB以后，趋于一个近似相同的较低的BER，图7的NMSE性能也反应出同样的结果，在13 dB以后NMSE趋近于0.这表明由于天线数量巨大，SABMP在低信噪比的环境下性能较差，但算法收敛速度较快，很快就能得到实际信道的估计值，且误差很小.

图8和图9分别展示的是SABMP在不同导频长度及不同信噪比下的BER及NMSE性能比较.此时选取天线阵列为5×5，调制方式为4 QAM.由图8可知，在信噪比为10 dB时，导频长度为8的SABMP就已经能够得到接近实际信道的BER，且收敛速度很快.信道估计时使用的导频越长，估计结果越精确，但是由图5可知，导频也要占用频谱资源，导频长度（符号数）越长，用来发送有效数据的频谱就越少，所以传输效率（每一子帧的数据符号数与总符号数的百分比）也越低.由图9可以看出，信噪比为10 dB时，SABMP算法在导频长度为8时的NMSE已经趋近于0，曲线与导频长度为16时（传输效率为75%）基本重合，而数据传输效率达到87.5%.

综上所述，SABMP算法收敛速度较快，仅需要较少的导频开销就能得到精确度很高的估计结果，不仅提高了数据传输效率，由于减少了对导频的依赖，还能减轻导频污染，提升系统性能.

4 结论

针对大规模MIMO系统信道估计导频开销大的问题，本文提出一种基于压缩感知的信道估计算法——支持不可知的贝叶斯匹配追踪算法（SABMP），解决导频开销大的难题.该算法利用大规模MIMO信道的稀疏性，通过压缩感知的方式，对信道冲激响应进行估计，具有计算复杂度低、结果较精确的特点.通过建模仿真的方法，对该算法进行了验证.仿真结果比较了不同信噪比、天线数及导频长度等多种情况下的BER及NMSE性能，结果表明该算法在大规模MIMO系统信道估计中收敛速度较快，仅需要较少的导频开销就能得到精确度很高的估计结果，不仅提高了数据传输效率，还能减轻导频污染，提升系统性能，具有一定的工程应用价值.

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Abstract：Massive MIMO technology can multiply the system capacity and data transfer rate. However， the pilot contamination is a limiting factor for the performance improvement of massive MIMO system. Adopting compressed sensing for channel estimation can reduce pilot overhead and solve this problem effectively. In this respect， a channel estimation algorithm based on compressed sensing called support agnostic Bayesian matching pursuit （SABMP） was proposed. Simulation results showed that this algorithm can achieve good bit error rate （BER） and normalized mean squared error （NMSE） performance with fewer pilot overhead in low SNR scenario， which can improve spectral efficiency.

Key words： massive MIMO； channel estimation； compressed sensing； SABMP

（學科编辑：张玉凤）