数学模型在数学解题中的运用

刘建富

一、建立数学模型与数学解题的培养存在内在联系

中学生在解题时往往不能看清题目的内在联系，利用常规用的解法，这样不但不能保证质量，而且计算量大而繁杂，所以培养数学解题思维，建立相应的数学模型，对中学生来说还是值得考虑的。

1.培养数学解题思路，要善于观察、分析、理清题意，从而建立相应的图形模型。

2.培养数学解题思路，要善于总结各个小知识点之间的联系，从而建立相应地图形模型。

二、建立数学模型在数学解题中的运用

利用图形对变量间的关系作分析基础，构建图形将问题直观地表示出来或将实际问题直接与几何知识、代数知识结合，求解问题，这就是所谓的用数学图形模型求解数学问题的方法。下面就从三个方面进行分析。

1.建立“解析几何”模型解有关长度问题：

根据题意，画出相应地图形进行分析，图形能反映出题目的各个变量间的关系。

例1 平地上有一条水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米，求水面宽。

分析：根据题意，将截面OAB单独取出，建立图形坐标系：

A、B两点的坐标分析为A（-5，1.5），

B（5，1.5），设G（t，1）则GH=2t。

解：根据题意，设抛物线的方程为：x2=2py，由于A点在抛物线上，因此有52=2p×1.5，得p=，抛物线的方程为x2=y，由点G（t，1）在抛物线上，有t2=×1，这样便可解决问题。

2.建立“三角形”模型解不等式

在解决一些有关不等式问题的过程中，往往可以根据问题的结构特征，联想有关的几何图形，巧妙地将不等式问题转化为几何问题，从而找到较为简单的解法。

例2 已知f（x）=a，b为相异两正数，

求证：|f（a）-f（b）|<|a-b|

分析：解不等式時用图形模型进行分析求解，能达到比较好的效果，根据题意建立三角形图形模型，

解：如图，使AB=1，BD=a，BC=b，

则f（a）==AD

f（b）==AC

我们知道在三角形ACD中AC-AD

例3 设x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-x）+z（1-x）<1

分析：本题实属代数不等式的证明，直接由条件向结论迁移，迁移难以实现解题目标，若考虑六个正数：x、1-y、y、1-z、z、1-x依次划分为数之积之和的形状，给我们以线段之积之和的形象，因而可构造一边为1的等三角形ABC图形模型，在BC CA AB上截取AC=x，ce=z，af=y，利用面积之和和关系即可证明不等式。

解：构造一边长为1的正三角形ABC，并BC，CA，AB上截取BD=x，CE=z，AF=y，如图，于是问题就可以还原到研究特殊三角形的性质上来，

S△ABC>S△BDF>S△DCF>S△AEF

∴1×1×sin60°+z（1-y）sin60°+z（1-x）sin60°+y（1-z）sin60°即1>x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

∴原不等式得证。

三、数学图形模型的推广

有数学的地方，就有数学图形模型的存在，数学模型的运用可以推广到各个领域。

例4 若干支球队参加单循环比赛，各队两两交锋，假设每场比赛只计胜负，不计比分，且没有平局，在循环赛结束后怎样根据他们的比赛结果排列名次呢？

分析：有几种表述比赛结果的办法，较直观的一种是用图的顶点表示球队，而用连接两个顶点的，以箭头标明方向的边表示两支球队的比赛结果，如图所示，给出了6支球队的比赛结果，即1队战胜2、4、5、6队，而输给了3队，6队战胜3、6队，而输给1、2、4队等等。

解：对于本题开始提出的6支球队循环比赛的结果，如图，不难看出这个竞赛图是双向连通的，写出其邻接矩阵

进一步算出的最大特征根λ=2.232和特征向量S=（0.238，0.164，0.231

，0.113，0.150，0.104）排出名次为[1，3，2，5，4，6]

（作者单位：广西河池南丹县高级中学）