自然数的记数

张新春

题外话

前面，我们花了很长时间，把自然数的定义、自然数加法、乘法的定义及性质做了很严格的阐述。有人不禁要问：有必要这么做吗？特别是对小学数学老师有什么意义吗？以下一段文字引自赵焕光先生《数的家园》一书（科学出版社，2008年5月版），作为题外话。

对于不专门研究数学的人们而言，根本不需要了解得那么细，什么序数、后继、基数、归纳集，都不是“好东西”，这些“货色”不经过仔细琢磨，离生活太遥远了。我们这里所说的话当然是针对抽象理论而言的，但千万不要把隐藏在它们背后的那些非常深刻而又浅显的伟大真理跟“污水”一起泼出去了呀！像“就这样继续下去”、“一一对应”这些伟大而深刻的思想能用则尽量用，如果你能用得上，一点都不会让我们吃亏。

对于中小学生来说（大学生不同），认识自然数还是采用“老祖宗”的高招合适。也就是说，利用“有限集”的元素“个数”理解自然数不会有太多的坏处，真正去追问什么叫1，2，3的话，太困难了！中小学生在求学期间应该把宝贵的时间投身到其他更需要应急的东西上，等到将来有一天对这类问题有兴趣了，再慢慢探究也不迟！但话又得说回来，中小学生也必须明白自然数具有基数和序数两重性质的基本道理。

对于创造与传承数学文化的各个阶段的数学老师来说，我们建议你至少要认认真真地了解上述自然数定义中的一种（其实都是相通的），否则一旦碰到“天才”学生追根问底，如果我们不能给他说出个所以然来，我们自己心里会感到不踏实而紧张的！

从今天开始，我们讨论新的问题———

自然数的记数

自然数的概念远在有文字记载之前就已经有了。若考察一下人类认数的历史，最初应该是“有”和“无”的概念。就远古人类而言，今天去打猎，回来打到猎物还是没有打到猎物，可是一件关乎一天甚至更长时间是否要饿肚子的大事，有时甚至是生死攸关的大事。正是在一次次“飽”与“饿”及其他强烈的对比与冲击中，原始人类形成了“有”和“无”的概念。出去打猎时，每人一件武器（或是石头，或是木棍），武器够不够的问题同样值得关注。他们解决这个问题的办法，就是我们今天提到的一一对应：每人发一件，够与不够的问题立即得到解决。正是这一次次的体验，先人们有了“多”和“少”的概念，继而有了“一”、“二”和“多”的概念。人类学上关于原始民族的研究，让我们有机会了解到原始人类关于数的认识的“活化石”。“南非洲的布须曼（Bushmen）族，除了一、二和多之外，再没有别的数字了，而这三个数字又是那么语调含糊，那些土人是否赋与了它们以明晰的意义，也还是个疑问……试看各种欧洲语言，几乎都带有这种早期局限性的痕迹。英文的thrice和拉丁文的ter，同样有双重意义：三倍和许多。拉丁文的tres（三）和trans（超过）之间有着可信的联系；而法文的très（甚）和trois（三）也是如此。

人类需要的数总归会越来越多。于是，我们必须学会叫出和写出任何自然数，不管它大到怎样的程度。如果每个自然数都有一个特殊的名称，并用特殊的符号表示，那么，要记住这些名称和写法，任何人都是做不到的。于是，几乎和数的概念产生同步，人类开始了探究如何记数。

结绳记数及其他

正如语言在文字之前就产生了一样，数的概念也产生和形成于文字之前。有了数的概念，自然就需要把数记录下来。最开始的记录方式可能就是用实物记数。所选实物因地制宜———也许有石子、坚果之类。后来即有结绳记数。所谓“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”，“结绳而治”一般解释为“结绳记事”或“结绳记数”，而“书契”则是物体上的刻痕，后来发展为文字。元朝周伯琦的《六书指讹》中指出“契”是“……像刀刻画竹木以记事者”。

原始的实物记数、结绳记数或刻痕记数，大多是“有多少记多少”，是多少数就捡多少石子，或打多少绳结，或刻多少道痕。可以想象，当数比较大时，这种记数法将十分麻烦。明代刘无卿撰写的《应谐录》中有这样一个“奈何姓万”的故事：汝有田舍翁，聘楚士训其子。书一画，训曰：“一字。”书二画，训曰：“二字。”书三画，训曰：“三字。”其子掷笔归告其父曰：“儿得矣！请谢去。”逾时，其父拟征召万姓者饮，令子于晨起治状。久之，其子恚曰：“天下姓字多矣，奈何姓万？自晨起至今，才完五百画也！”按刻痕记数的办法，“万”就得画10000横，难怪田舍翁的儿字要埋怨———有这么多姓，为什么偏偏要姓万呢？

顺便说说，从数学教育的角度看，这个笑话至少有两个意义：一是说明改进记数方法的必要性———不能是几就画几横；二是不完全归纳法有时候靠不住———由“一字一横，二字二横，三字三横”推得“几字就是几横”是一种不完全归纳法，是合情推理，结果可能靠不住。

正因为实物记数、结绳记数或刻痕记数的局限性，先人们需要发明新的记数法。新的记数法有一个共同的特点，那就是使用符号，不同的符号表示不同的数，而不仅仅是同一个符号重复几次就表示几。

某教师教学“认识角”时，为了让学生感知数学与生活的联系，配合设计的“我们去旅游”的情境线索，出示了一系列与交通标志相关的实物：出口指示牌（长方形），转弯指示牌（三角形），限速警示牌（圆形）等，让学生比较它们的不同（长方形、三角形都有角，而圆形没有角）。接着师生之间有了如下的对话———

师：这些是什么？

生：交通标志。

师：它们有什么不同？

生1：有些是圆的，有些是方的。

师：还有吗？

生2：它们表示的意义不同。

师：什么不同？

生2：转弯指示牌表示……，限速警示牌表示……

生3：我不同意……

学生争论起来。

在这种满堂问的课堂里，教学气氛是活跃了，但时间浪费了，新知却未呈现，教学效果自然不好。一些教师总是想让学生体会数学与生活的联系，千方百计创设情境，引出问题，结果抛出了一些与教学内容无关的问题。案例中，當生1已经讲到“要害”时，教师的那句“还有吗？”本是想让更多的学生来叙述，提高课堂的参与度，未料这一发问是画蛇添足。可见，教师的提问如果没有明确的目的，就不能发挥相应的作用。教师的问提得好，学生才不会偏离思维方向，课堂才会精彩。

课始问应该明确教学内容和方向。上述案例

中教师之所以失败，正是因为提问没有明确的目的，随意提问。本堂课的教学内容是角的认识，教师在出示图片后，提问应该直指数学图形———角。这样学生的回答才不会天马行空，不知所云。

课中问应有利于突破难点。数学教材每章节

都有重难点，教学中处理重难点时，教师的提问应该有利于学生突破重难点，使复杂问题简单化，让学生迅速掌握新知。

如，上“圆”的练习课时，教师出示：一个圆的半径扩大3倍，它的直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。

然后提问：假设圆的半径是1厘米，你能完成表格的填写吗？如果一个圆的半径扩大4倍，它的直径、周长、面积会怎么变化？如果圆的直径扩大5倍，你能想到什么？如果圆的周长扩大a倍呢？

由于习题中没有具体的数据，学生思考时找不到解决问题的突破口。于是教师在难点处层层设问，步步引导。学生最终找到突破口，顺利解决了问题。

课尾问应画龙点睛。课堂小结在课堂教学中往往起着提纲挈领、画龙点睛的作用。教师在结尾处可以提出本节课还没有完全解决的问题，或者提出与本节课相关的后续性问题，或者提出与下节课学习相关的前瞻性问题，让学生带着问题，进行下一步的学习。

如，一位教师上“同类项”这一节，在课后小结时，先举了一个例子：“上一节课我们学习了降幂排列，如果说降幂排列好比是同学们按照个子高低排队，那么今天学习的同类项可以比作什么？”学生们立即开展了讨论，小结时发言异常踊跃：“同类项好比是按照男生、女生来排队。”“同类项好比是卖水果时橘子归一类，香蕉归一类，苹果归一类。”教师追问：“那么同类项的分类应该注意些什么呢？”我想学生们一定会对同类项的分类留下深刻的印象。

（作者单位：永州市零陵区徐家井小学）