电路分析中的方向与正负辨识

李春彪　沈威东　朱焕强

【摘要】电路分析过程中，电压、电流参考方向以及对应的电路方程中正负号的确定直接决定着分析结果的正确性。然而，纷繁复杂的方向规定，导致列方程时的正负取向容易产生混乱。本文从电路基本定律基尔霍夫定律出发，围绕基于此导出的支路电路法、回路电流法和节点电压法，将电路分析过程中的正负取值问题进行研究整理，供教師或者学习者参考。

【关键词】基尔霍夫定律 方向 正负取值

【Abstract】In the process of circuit analysis， the positive and negative selection of the terms in the circuit equation according to the reference direction of voltage and current determines the correctness of the results. However， the complexity of the direction results in a great confusion in the selection for adding or subtracting a term when making a circuit equation. We study the criterion in this paper for the selection of positive and negative operation in term of the basic Kirchhoffs circuit law. Three cases on the method for circuit analysis with branch circuit， loop current and node voltage are studied correspondingly.

【Keywords】Kirchhoffs law； direction； positive and negative operation

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）13-0194-03

1.引言

电路分析的基本任务是分析电路中各个元件上的电压和电流以及基于电压、电流而导出的功率。电路分析时方程正负的取法，简单来说，就是“同正异负”，也就是“一致为正，不一致为负”[1-9]。但是，在实际场合中，要搞清楚这里所说的“一致”是指哪两者的一致。比如，在出现电压、电流代数值的正负的时候，这个时候比较的是参考方向与实际方向的关系；而在列写电路元件两端的电压和电流关系的时候，考查的是电路元件两端的电压参考方向和电流参考方向是否关联，关联时取正，非关联时取负。然而，电路分析中的正负取值还不至于此，还有其他许多影响正负取值的因素，包括绕行方向，电流相对于节点的方向，回路电流方向，电源电压的方向等等，本文对方向与正负取值的关系做一个研究，给出普遍性的易操作的评判法则，供学习者参考。

2.基尔霍夫定律的一分法表达与二分法表达

基尔霍夫定律的内容说起来很简单，就两句话，那就是：在一个节点处的电流之和等于零，在一个回路的电压（降）之和等于零，其本质是电荷与能量守恒。然而在求和之前，要将电流/电压的参考方向标注出来，因此，求和的时候，这个标注的电流参考方向就与节点之间就存在靠近与远离，流进与流出的关系，而标注的电压参考方向也与求和的路径，也就是绕行方向存在着一致与不一致的关系。这是在利用基尔霍夫定律分析电路时遇到的第一个方向问题，求和的基本原则是属性相同。

如果对照上面的说法，将零放置在等式的一边，那么等式的另一边的求和表达式就应该是属性相同的项才能“求和”。为此，我们选定一个方向求和（方向属性相同），这便是一分法，对应的一分法等式为：

ΣI=0ΣU=0 （1）

此时的基尔霍夫定律电流定律就可以进一步表述成：流进（或者流出）一个节点的所有电流之和为零，注意这时隐含一个条件，就是要将流出（或者对应的是流进）这个节点的电流通过取负号转变成概念上的“流进电流”，参与到求和中来。建议在一分法列写电流方程时，就采用流进为正，流出为负。同样，基于属性相同才能求和的思想，基尔霍夫定律电压定律此时转而表述成：沿一个绕行方向（比如为了避免混乱，统一为顺时针方向）的所有电压降之和为零。这样也就隐含一个条件，那就是要将沿着这个方向的电压升（或者电动势）通过取负转变成相同属性的“电压降”，参与到求和中来。由于对于电阻元件，其上电压与电流在取关联参考方向时，有欧姆定律的最简形式U= IR，因此，绕行方向上电压的同属性求和过程中所涉及的正负也就自然转嫁到电流方向与巡行方向是否一致的裁定中来，在电流方向与巡行方向一致时，也就对应着巡行方向的电压降，自然的进入到求和项，而当电流方向与巡行方向相反时，要通过负号将相应的电压降纠正到巡行方向上来参与运算，因而有了负号的产生。

基尔霍夫定律还有一种二分法的表述，也就是选定两个方向求和，对应的二分法等式为：

ΣIin=ΣIoutΣUab_frmline1=Uab_fromline2 （2）

相应的基尔霍夫定律电流定律表述成：流进一个节点的电流之和等于流出这个节点的电流之和。这里隐含一个约束关系，那就是等式左边是流进的各个来自支路的电流，而等式右边是流出这个节点去各个支路的电流。同样，基尔霍夫定律电压定律二分法的表达也有正负的困扰。如（2）式所示，沿着一个路径从起点a到终点b处的所有电压降之和，等于沿着另一个同始点同终点（同始同终）的路径上的所有电压降之和。电路上两点之间的电压具有路径无关性，表达成数学公式便是：

Uab= Uac+Ucd+Udb=Uae+Uef +Ufb （3）

这时在列写电压方程时，要将电压依据不同的路径进行方向度量。如果元件的电压在支路1上，也就是从路径1从a到b，电压降方向与路径1的从a到b方向一致，便可以求和，任何与此路径1方向相反的电压降自然取负。同样，在路径2的从a到b方向进行电压求和也要将电压降的参考方向与路径2的从a到b方向进行比对，统一的原则依然是“同正异负”。

电路分析中导出的量功率也是让人费解的一个概念，功率定义为网络两端上电压和电流的乘积。但是为了标识这个网络（或者等效为一个元件）是向外发出功率还是从外界吸收功率，也参照电阻给出了一个参考定义，那就是当二端网络两端的电压与电流取关联参考方向时，对应的电压电流之积便是这个二端网络吸收的功率。电阻上的电压与电流取关联参考方向时，电压与电流的乘积就是正，表示电阻从外界吸收功率，这一点吻合客观实际。如果是电源向电路中供电，电压与电流取关联参考方向时，电压与电流的乘积是负，表示电源向外界发出功率。电路分析过程中，电压与电流等的正负取值要参考电压/电流的参考方向以及列等式时所关联到的其他方向（包括绕行方向、流进方向）等等进行正负取值。正负号取值的作用是“统一”，原则是“同正异负”。欲取对正负号，必须搞清楚等式两边是什么样的求和属性，正负取值的作用是将属性不一样的项通过取负号，变成属性相同的项，参与求和中去。

3.方向与正负的演变与实施

3.1 基尔霍夫定律与欧姆定理的一致性

要快速的列写电路方程还要进一步掌握基尔霍夫定律和欧姆定律之间的关系。实际上，欧姆定律与基尔霍夫定律是统一的，这一点可以将简单电路中的处处视为节点或者在任意回路中验证。如图1所示，根据基尔霍夫回路定律，很容易得到端电压和电路中电流的关系，取顺时针绕行方向，有ΣU=0，故有：

一致。很多人，习惯了基尔霍夫定律的表达式（4）以后，便对欧姆定律的表达式（5）感到陌生。实际上，欧姆定律支路电流的表达式是电源电压扣除端电压后通过电阻R1上形成的电流。对于（5）式还有一个直接的理解就是，在图1所示的电路中，电源US要对产生参考方向如图的电流I形成正的贡献，US的正极处可以理解为发射正电荷的一端，而端电压U0要对产生参考方向如图的电流I形成负的贡献，U0的正极同样可以视为发射正电荷的一端，U0要通过端点a向支路中注入电流，其方向与参考电流方向相反故而取负。这一理解在节点电压法中要贯彻实施。

3.2 支路电流法和回路电流法中的正负号演变与实施

有了如上关于方向和正负的认识，就可以对基于基尔霍夫定律的各种电路分析方法进行方向和正负的辨识。支路电流法的方向与正负确定可以参考图2所示，图2是一个包含很多支路的网络。在各个节点处，采用一分法以电流流进为正，可以直接列写各个节点处的电流方程。而在图中所示回路中，沿着虚线方向巡行一周，将在巡行方向上由电阻产生的电压降和由电源所产生的电压降求和，其结果为零。这里要注意的是，电路中有一条支路包含电流源IS，容易忽略的是恒流源两端的电压降，列写方程时要特别注意。

回路电流法和网孔电流法本质一致，回路电流法更加灵活，下面对回路电流法进行讨论。回路电流天然地满足了基尔霍夫电流定律约束，只要补充回路中的电压约束。如图3所示，在虚线所示的回路中，沿着顺时针方向将所有由电阻产生的电压降求和，应等于沿着逆时针方向所有电源产生的电压降（或者顺时针电源电压升）（对应于电压定律二分法表达）。这里要注意相邻回路中的回路电流也在共同支路上的叠加效应，故而真正的电压降必须考虑相邻回路的回路电流通过各个共同支路耦合进来的量，这种耦合关系，在电路教科书上称为互阻。互阻的正负取值要看耦合的回路电流与所考查的回路电流在耦合支路处的一致性来确定。如果不同的回路电流在耦合支路处方向相同，取正，否则取负（原则相同，依然是同正异负）。这里，对于图3所示意的电路结构， R1 R2 R3所关联的外回路电流il1il2il3与内回路电流il0方向在互阻所在处相反，故而取负，参与到等式左端的电阻在顺时针方向上的电压降求和。

值得注意的是，由于有无伴恒流源的存在，回路电流经过电流源也会产生电压降，但是这个电压是未知的，因此，列写方程时要假设出来，如图3， IS2上的电压设为US2，放到等式的右端，由于这个电压与等式右边所暗示的逆时针方向上的电源电压降一致，故而取正，这也是较容易想到的。至于受控电压源提供的电压ai取负，那是因为其在等式右端参与求和，求和属性依然是逆时针方向的电压降，因而取负。整个等式在图3中表示了出来，与我们前面的分析一致。

3.3节点电压法中的正负号演变与实施

节点电压法直接基于欧姆定律的概念，而又借助于基尔霍夫电流定律而直接导出。其核心思想是，假如电路中各个节点处的节点电压（在规定了参考点的电位以后便是节点电位了）已知，那么就可导出各支路电流，因为所谓支路便是节点与节点之间没有分叉的部分，节点电压已知了，自然能写出各个支路的电流。图4给出了包含各种电路元件的支路结构，包含纯电阻，电流源，电压源，无伴电压源，受控电压源、电流源以及无伴受控源等等。下面讨论各个支路的电流，最终给出节点电压方程的通式。

假定图4中各个节点处的电压un1-un9已知，考查从图4节点①处流出的电流，设定电流的参考方向都是从节点①出发，流向别处。针对图4的各种情况有，

图中节点①通过US3虚线连到地，这只是表示一种可能的情况，如果这样，节点①的电位就已知了，就是US3，就不再有列写节点①处方程的必要了。因此，图4中不包含这个连到地的无伴恒压源，但是却包含一个连到节点⑨的无伴电压源US4，这时要假设其中的电流为iUS4，因此从节点①流出的电流就是

可以检查上式右边是13条含有电源的支路由电源所形成的电流，都是向节点①流进的电流，因此是流进节点电流的总和。因此，节点电压法可以理解为由于节点电压的存在向节点发出去的电流之和等于由于电源的存在而向节点灌进去的电流之和，这个方向问题基本上就保证了各项取值正负的理解。方程左端在考虑节点①的电流时要减去其他沟通节点②⑤⑥所产生的电流挤压效应，因为其他节点的作用相对于节点①也是“灌进电流”，而等式左边都是从节点①流出去的电流，因此其他节点电位所形成的电流前面要取负是自然的事情。这样就可以彻底理解由节点电压法得到的等式（13），其他节点分析可以参照给出。

4.总结

电路分析的基本理论是基尔霍夫定律，由此导出的各种方法，包括支路电流法，回路电流法，网孔电流法和节点电压法等是电路分析的基本方法。灵活掌握这些分析方法，关键是结合电路中电压电流的参考方向，给出包含正负号的方程。知道如上方法所对应的背后物理意义上的二分法或一分法准则，就可通过正负号来统一求和属性，正确获取各项代数求和的加减关系，最终得到正确的结果。本文给出的三个电路分析结构示意图有助于正确理解上述方法，有效地辨识电路分析过程中的方向与正负。

参考文献：

[1]吴大中，赵远东，盛毅.电路理论与实践.北京：清华大学出版社，2013

[2]李春彪.电路电工基础与实训（第二版）.北京：北京大學出版社，2009

[3]秦曾煌.电工学（第七版）.北京：高等教育出版社，2010

[4]邱关源.电路（第五版）.北京：高等教育出版社，2006

[5]李瀚荪.简明电路分析基础.北京：高等教育出版社，2002

[6]包伯成，乔晓华.工程电路分析基础.北京：高等教育出版社，2013

[7]李春彪.精品课程《电路电工基础与实训》建设刍议.河北师范大学学报（自然科学版）， 2007，7（31）

[8]李春彪.电路电工课程教学模式探索.江西电力职业技术学院学报，2007，20（2）

[9]李春彪.“电工学”课程教学中的四个有力杠杆.电气电子教学学报， 2005，27（4）