不等式拦路论英雄，判别式法妙解显神通——巧用判别式法解高考一类不等式问题

中央民族大学附中海南陵水分校(572400) 侯 军●

甘肃省临夏市临夏志成中学(731100) 张 悦●



不等式拦路论英雄，判别式法妙解显神通
——巧用判别式法解高考一类不等式问题

中央民族大学附中海南陵水分校(572400)
侯 军●

甘肃省临夏市临夏志成中学(731100)
张 悦●

判别式法是高中阶段求一类分式函数值域的常用方法，事实上，它在不等式领域一样可以大显神通.我们知道近几年高考的不等式问题主要以考查均值不等式或柯西不等式为目的，笔者经研究发现巧妙地使用判别式法往往可以妙解高考中的这类不等式问题.本文就以近几年的高考一类不等式问题为例来阐述判别式法在不等式领域的应用,以飨读者.

一、构造二次函数，再使用判别式

评析 高考所给的参考答案是采用二元均值不等式以及平衡系数法进行求解，需要学生具有较强的不等式功底，运用判别式法求解该题巧妙地回避了复杂的不等式技巧，但要求学生要有“主元”意识，本题也可以选取“a”或“c”为主元进行论证.

二、构造一元二次方程，再使用判别式

例2 (2014年高考浙江卷文科第16题)已知实数a,b,c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是____.

不妨将上式看作关于b的一元二次方程，

评析 本题也可以选取“c”为主元进行求解，对于此类的已知中有两个方程的最值问题，减元是很重要的技巧.

三、引进参数进行整体代换，再使用判别式

例3 (2011年高考浙江卷理科第16题)已知4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为____.

解 令2x+y=t，则y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1得

即6x2-3tx+t2-1=0(*)，

因为方程(*)有实数根，故Δ≥0，

评析 引进参数t进行整体代换，构造以参数t为系数的一元二次方程是解决此类问题的通性通法.

解 设2a+b=t，则b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0得24a2-18ta+4t2-c=0.

评析 本题作为高考填空的最后一题难度较大，如果从均值不等式或柯西不等式入手需要的技巧性极强，这里使用判别式法巧妙地回避了复杂的代数变形，让问题迎刃而解，解法自然不突兀.

因为方程(*)有实数根，故Δ≥0，

通过上述高考题的求解我们看到，教师在日常教学中不仅要关注“一题多解”的精彩演绎，更应重视“多题一解”归纳总结，教师的任务不是机械地简单麻木地传授数学知识，而是让复杂抽象的数学表征变得生动活泼，让冰冷的问题变成火热的思考.

G

B

1008-0333(2017)10-0015-02