非等间距GM(1，1)模型的性质研究

何敏藩，曾亮

（1.佛山科学技术学院数学与大数据学院，广东佛山528000；2.广东理工学院基础教学部，广东肇庆526100）

非等间距GM(1，1)模型的性质研究

何敏藩1，曾亮2

（1.佛山科学技术学院数学与大数据学院，广东佛山528000；2.广东理工学院基础教学部，广东肇庆526100）

在现有非等间距GM(1，1)模型研究的基础上，给出了模型的几个重要性质，为模型的应用奠定了基础.关键词：灰色系统；非等间距；GM(1，1)模型

自灰色系统理论提出以来，灰色预测模型在众多领域中得到广泛应用.GM(1，1)模型是灰色预测模型中最主要和最常用的模型之一，它主要应用于等间距数据序列的预测.由于在实际工程中存在着大量的非等间距数据序列，并且需要对其做预测分析，所以建立非等间距GM(1，1)模型具有重要的意义.现已有部分学者针对非等间距序列构建非等间距的GM(1，1)模型，取得了一些成果.从建模的方式上来看，主要分为两种：第一种方式是通过在非等间距序列中分段线性插值，计算插值数据后得到等间距序列再建立GM(1，1)模型［1］；第二种方式是在对原始数据序列进行一阶累加生成时，将序列的间距作为乘子，然后按照非等间距方式建立GM(1，1)模型［2］.其中第二种方式建立的非等间距GM(1，1)模型近年来应用较为广泛［3-4］，对其改进研究已成为研究的热点［5-7］.

本文在文献［2］提出的非等间距GM(1，1)模型的基础上，深入研究时间序列和原始数据序列的变换对模型精度的影响，得到了3个重要性质，为非等间距GM(1，1)模型的应用奠定了理论基础.

1非等间距GM(1，1)模型

定义1设原始非等间距数据序列X(0)={x(0（)k1），x(0（)k2），…，x(0（)kn）}，其间距△ki=ki-ki-1≠const，i=2，3，…，n.若令△ki=1，则X(0)的一阶累加生成序列X(1)={x(1（)k1），x(1（)k2），…，x(1（)kn）}，其中△kj，i=1，2，…，n.X(1)的紧邻均值生成序列z(1)={z(1（)k2），z(1（)k3），…，z(1（)kn）}，其中z(1（)k）i=0.5（x(1（)k）i+x(1（)ki-1）），i=1，2，…，n.

定义2设X(0)，X(1)，Z(1)如定义1所述，则称：为非等间距GM(1，1)模型.其白化微分方程为：

定理1设X(0)，X(1)，Z(1)如定义1所述，令：

则灰色微分方程x(0)（ki）+az(1)（ki）=u中的辨识参数a，u的最小二乘估计值满足：

证明略.

证由于：

因此，由定理1可得：

定理2设a^，u^满足定理1所述条件，若规定t=k1时，x^(1)（k1）=x(1)（k1），则灰色微分方程x(0)（ki）+az(1)（ki）=u的时间响应函数为：

还原值为：

证明略.

3非等间距GM(1，1)模型的性质

性质1（时间序列线性变换无关性）设X(0)，X(1)，Z(1)如定义1所述，若对时间序列k={k1，k2，…，kn}做线性变换k~=mk+d（m，d为常数）后重新建立模型，则原始序列的模拟值不变，模型的平均模拟相对误差也不变.

证记k~=mk+d={k~1，k~2，…，k~n}，显然x(0)（k~i）=x(0)（ki），i=1，2，…，n.则间距△k~i=k~i-k~i-1=（mki+d）-（mki-1+d）=m（ki+ki-1）=m△ki，i=2，3，…，n.线性变换后X(0)的一阶累加生成序列X軒(1)={x(1)（k~1），x(1)（k~2），…，x(1)（k~n）}，其中：

在区间[k~i-1，k~i]上对微分方程

现用z(1)（k~i）△k~i近似代替的值，于是式（8）为：

即：

，则由定理1和推论可得a～，u～的最小二乘估计值为：

依此参数建立模型，由定理2可得还原值：

即原始序列模拟值不变，故平均模拟相对误差也不改变.

性质2（原始数据序列数乘变换无关性）设模型的原始数据序列为X(0)={x(0)（k1），x(0)（k2），…，x(0)（kn）}，若对数据序列做数乘变换X軒(0)=mX(0)（m为常数）后重新建立模型，模型的平均模拟相对误差不改变.

证由X軒(0)=mX(0)，得x～(0)（ki）=mx(0)（ki），i=2，3，…，n.于是（ki），i=2，3，…，n.在区间[ki-1，ki]上对微分方程

即：

令X軒(1)的紧邻均值生成序列Z~(1)={z～(1)（k2），z～(1)（k3），…，z～(1)（kn）}，其中z～(1)（ki）=0.5（x～(1)（ki）+x～(1)（ki-1）），i=2，3，…，n.于是可得：

现用z～(1)（ki）△ki近似代替的值，于是式（9）为：

即：

依此参数建立模型，由定理2可得还原值：

故平均模拟相对误差：由此可见，模型的平均模拟相对误差不改变.

性质3（原始数据序列平移变换相关性）设模型的原始数据序列为X(0)={x(0)（k1），x(0)（k2），…，x(0)（kn）}，若对数据序列做平移变换X軒(0)=X(0)+d（d为常数）后重新建立模型，模型的平均模拟相对误差发生改变.

证由X軒(0)=X(0)+d可得x～(0)（ki）=x(0)（ki）+d，i=1，2，…，n.于是：在区间[ki-1，ki]上对微分方程dx～1)（t）d

t+a～x～(1)（t）=u～积分，得：

即：

即：

现用z～(1)（ki）△ki近似代替的值，于是式（10）为：

值为：

由于B軒式比较复杂，与d和时间序列有关，故所得a^～，u^~与原a^，u^并无固定的线性关系，从而x^～(0)（ki）=x^(0)（ki）+d一般不成立，即模型的平均模拟相对误差一般发生改变.

3结语

本文在文献［2］的基础上，提出了关于非等间距GM(1，1)模型的3个性质.性质1表明了在选取初始时间序列时可具灵活性；当原始数据序列的数据比较大且样本比较多时，易造成矩阵B病态，预测效果不理想，性质2表明了可以通过数乘变换解决此问题.性质3表明对原始数据序列的平移变换能改变模型的模拟预测精度，为实际应用提供了一种优化方法，即通过调整平移量，可使模型的精度达到最优.

［1］傅立.灰色系统理论及其应用[M].北京：科技文献出版社，1992.

［2］王钟羡，吴春笃，史雪荣.非等间距序列的灰色模型[J].数学的实践与认识，2003，33(10)：16-20.

［3］吴邦彬，陈兰，葛萃.改进的非等间距GM(1，1)模型在大坝沉降分析中的应用[J].水电能源科学，2012，30(6)：95-97.

［4］黄景锐，胡安焱，张焕楚，等.基于非等间距序列GM(1，1)模型的地下水温度预测[J].水文地质工程地质，2013，40(1)：48-52.

［5］胡大红.基于背景值与初始条件优化的非等间距GM(1，1)模型[J].湖北文理学院学报，2016，37(11)：20-22.

［6］曾祥艳，曾玲.非等间距GM(1，1)模型的改进与应用[J].数学的实践与认识，2011，41(2)：90-95.

［7］熊萍萍，党耀国，姚天祥.基于初始条件优化的一种非等间距GM(1，1)建模方法[J].控制与决策，2015，30(11)：2097-2102.

Study on the Properties of Non-equidistant GM(1，1)Model

HE Min-fan1，ZENG Liang2
（1.School of Mathematics and Big Data，Foshan University，Foshan 528000，Guangdong，China;2.Department of Basic Courses，Guangdong Polytechnic College，Zhaoqing 526100，Guangdong，China）

In this paper，some important properties of the non-equidistant GM(1，1)model are given based on the existing research，which lays the foundation for the application of the model.

grey system;non-equidistant;GM(1，1)model

N941.5%

A%%%

1007-5348（2017）03-0015-06

（责任编辑：邵晓军）

2017-01-02

何敏藩（1980-），男，江西上饶人，佛山科学技术学院数学与大数据学院讲师，硕士；研究方向：数据挖掘和灰色系统等.