Hermite逆矩阵的范数优化和Riccati不等式的等价性

罗仕乐

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

Hermite逆矩阵的范数优化和Riccati不等式的等价性

罗仕乐

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

利用矩阵奇异值分解理论，讨论了Hermite逆矩阵的范数优化问题和Riccati不等式理论的等价性.

奇异值分解；范数；Riccati不等式

矩阵范数的优化在矩阵论［1］中有着重要的应用，但因为自由变量过多导致这类优化问题比一般的多元函数最优化问题［2］更难求解.因为实际问题背景的特点，所转化得到的矩阵往往有着一定的结构［3］，针对特定的矩阵结构分析讨论从而解决相关的范数优化问题，是长期以来学者研究的热点.

本文关注以下优化问题：

问题1设A=AH∈Cn×m，B∈Cn×(N-m)，X∈C(N-n)×(N-m)，定义：

求X,满足X=XH,使得：

问题1是一个Hermite矩阵求逆的范数优化问题，在构造求解块结构线性方程组的并行数值算法以及鲁棒控制中有着重要的应用［4］,目前的研究尚不能对问题1的所有解给出完整的解答.代数Riccati方程是控制理论［5］中的核心问题，关于Riccati不等式的求解问题已经有了较为成熟的讨论研究［6］.本文利用矩阵奇异值分解理论［7］建立问题1和Riccati不等式的关联性，并在一定假设条件下，通过Riccati不等式的求解得到问题1的解.

1基本概念和引理

本节给出后续讨论中会用到的相关概念和已知结果.

AH表示矩阵A的共轭转置,如果AH=A,称矩阵A是Hermite的［8］.设A,B∈Cn×n是两个Hermite矩阵,如果B-A是正定(半正定)的,则记为A＜B(A≤B)［8］.

定义1［9］设A∈Cm×n.AHA的特征值的非负平方根称为A的奇异值；A的奇异值的全体记为σ(A).

引理［7］（奇异值分解定理）设A∈Cm×n，且rank(A)=r，则存在酉矩阵U∈Cm×m，V∈Cn×n，使得：

其中Σr=diag（σ1,…,σr），σ1≥…≥σr＞0.

定义2［10］如果A∈Cn×n，B∈Cn×(N-n)，C∈C(N-n)×n，D∈C(N-n)×(N-n)且A,D非奇异,则称D-CA-1B和A-BD-1C分别是A和D的Schur补.

问题2(Riccati不等式)沿用问题1的记号,设0＜α＜σn([A,B]),求解：

其中：

2主要结果

这里假设0＜σn([A,B]),是为了保证F（X）对于任意的X是可逆的.

定理设α不是矩阵A的奇异值,那么问题2一定有解,并且：

是其中的两个解,问题2的通解形式为X*=X1+Y或X*=X2-Y,其中Y满足：

证据已知,A2-α2I是可逆的,由Sherman-Morrison-Woodbury公式［10］可得：

先考虑问题2的一个等价问题：

问题3设0＜α＜σn([A,B]),求矩阵X,使得：

设X*=X1+Y,进而有：

因此Y满足：

当且仅当：

同理对X*=X2-Y可以得到同样的结论.

接下来证明问题3和问题2是同解的.

设X满足‖F（X）-1‖≤可得：

因为0＜α＜σn([A,B]),所以A2+BBH>α2I，考虑F（X）的Schur补，即有：

这表明X是问题2的解.

证毕.

考虑问题3的极限情形，可以得到以下推论.

推论延用定理中的相关记号和假设,有：

更进一步的,如果σn([A,B])不是A和-A的特征值,那么存在Hermite矩阵X,使得：

证由特征值分离定理［9］,对任意的Hermite矩阵X,有：

结合定理就有：

因为σn([A,B])不是A和-A的特征值,令α→σn([A,B])-,从定理的结论可见,存在Hermite矩阵X,使得：

证毕.

注：定理和推论表明,X*=X1+Y或X*=X2-Y即为问题1的解.这意味着从Riccati不等式的角度得到了问题1的解.

3结语

本文针对Hermite矩阵求逆的范数优化问题，通过运用矩阵奇异值分解理论，结合矩阵的结构特殊性，分析了该优化问题与Riccati不等式的等价性，并从Riccati不等式的角度得到了问题1的部分解.但本文的局限性在于还不能得到问题1的所有解,这是有待今后进一步研究的课题.

［1］戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2007.

［2］袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京：科学出版社，1997.

［3］黄廷祝，杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京：科学出版社，2007.

［4］Bunse-Gerstner A,Mehrmann V，Nichols N K.Regularization of descriptor systems by derivative and proportional state feedback [J].SIAM Journal Matrix Analysis and Applications,1992（13）：46-67.

［5］徐树方.控制论中的矩阵计算[M].北京：高等教育出版社，2011.

［6］Willems J C.Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation[J].IEEE Transactions Automatic Control, 1971（16）：621-634.

［7］徐树方，钱江.矩阵计算六讲[M].北京：高等教育出版社，2011.

［8］丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.

［9］徐树方.矩阵计算的理论与方法[M].北京：北京大学出版社，1995.

［10］许以超.线性代数与矩阵论[M].北京：高等教育出版社，2008.

（责任编辑：邵晓军）

On the Norm Optimization of the Hermite Matrix’s Inverse and the Equivalence of Riccati Inequalities

LUO Shi-le
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

With the theory of singular value decomposition,the Hermite matrix’s inverse and the equivalence of of Riccati inequalities are discussed.

singular value decomposition;norm;Riccati inequalities

O151.21%

A%%%

1007-5348（2017）03-0001-04

2017-01-08

韶关学院科研项目(SY2016KJ15).

罗仕乐（1964-），男，广东韶关人，韶关学院数学与统计学院副教授；研究方向：应用数学.