播种符号，启蒙学生“准代数式”意识

杨开文

摘 要：符号思想是小学数学的基本思想，渗透符号意识是学生数学教学的理性回归。通过播种符号，可以启蒙学生“准代数式”意识。教学中通过孕育学生的符号意识、启迪学生的符号思维、催生学生的符号想象，可以丰富学生的符号表象，引领学生从“算术思维”向“代数思维”的过渡。

关键词：播种符号；算术思维；代数思维

《数学课程标准（2011年版）》指出，“要用符号表示数、数量关系和变化规律”。“数学符号”是人们计算、推理和表述问题的重要工具，因此发展学生的符号感，渗透“符号意识”是数学课程与教学的重要目标之一。所谓“符号感”，是指学生对符号意义、作用的驾驭和主动使用符号的意识、能力以及习惯。“数学符号”内蕴着数学知识的抽象美、简洁美、统一美等。在小学数学教学中，教师可以根据学生的年龄特征和认知心理，播种符号，进而丰富学生的“符号表象”、启迪学生的“准代数”意识，为学生形成“代数思维”和“关系思维”奠定坚实的基础。

■一、符号意识：学生数学教学的理性回归

在数学中，通常有两种思维范式：一是程序性思维，二是关系性思维。其中，算术思维属于程序性思维，而代数思维则属于关系性思维。小学数学侧重于算术思维，而初高中数学侧重于关系思维。“准代数意识”和“准代数思维”则是介于算术和代数之间的意识过渡、思维过渡。从算术思维转向代数思维是学生数学学习中必须经历的理智跨越。

1. 基于教材，发掘知识中的符号因子

在小学数学教材中，有许多数学知识内蕴着符号因子，教学中教师要善于发掘。根据数学知识内容的特质相机渗透、铺垫。例如，教学《认识10以内的数》（苏教版小学数学一年级上册），如对于认识“6”中的数字符号，在教材情境图上，从6个人、6盆花、6只鸟……可以引导孩子们展开形象思维：6像勺子，进而抽象、提炼出符号“6”。在教学中，教师不可以轻视这样的过程，因为这是学生从具体形象思维到抽象逻辑思维的发端。通过数字“6”，学生能够具体化为一系列用“6”表示的物体，而通过许多的用“6”表示的物体，学生能够抽象成数字符号“6”。在这个过程中，学生情不自禁地感受到，“6”的本领真大啊！不仅如此，在教学中，教师还必须进一步丰富学生的符号认知，即符号“6”不仅可以表示“有6个”，而且还可以表示“第6个”。如此，符号“6”的基数与序数意义被有效地渗透进学生的心灵。

2. 基于学生，把脉符号渗透的心理起点

在渗透符号意识的数学教学中，教师要遵循学生的认知规律和心理状态，努力把脉学生的符号认知心理，找准对学生进行符号渗透的心理起点，提升学生对符号的敏感度。对于学生而言，符号意识最为重要的表征就是学生能够主动运用符号进行初步地数学思考、数学表达，能够主动地运用符号展开数学化活动。在教学中，教师既不能运用“代数意识”“代数思维”要求学生，也不能始终将教学停留于学生算术思维的培养上。例如，对于初次教学《方程的认识》（苏教版小学数学五年级下册），学生在初次书写方程、解方程时总是容易在方程前面加上“等号”，许多教师简单地认为这是学生的书写错误，归结于学生的粗心。对此，如果我們分析学生的符号学习心理，就会产生独特的发现。因为在孩子们的心中，“等号”总是用来表示“做某事”，表示一个计算的过程，指示着一种过程操作，而“等号”的关系性质总是被学生遗忘。教学中教师要理解学生、宽容学生，通过前反馈强化“等号”的关系性质，将学生的错误消灭在萌芽状态。

■二、符号启蒙，引领学生符号意识自然生长

学生的符号意识的培养不是一蹴而就的，而是一个从“具体事物的认识”到“个性化的符号表示”再到“学会数学表示”的循序渐进的过程，这是一个符号萌芽、开花、结果的过程，教师要引领学生经历这样的符号化、形式化的过程。对于小学数学教学而言，学生符号意识的启蒙主要有两个方面的内涵：一是理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律，在苏教版教材中集中安排在五年级上册；二是学生能用符号进行运算和推理，在苏教版教材中集中安排在五年级下册。然而，培养学生的数学符号意识，让学生初步学会用数学符号表达、用数学符号思维，养成学生的符号化素养却是整个小学阶段数学教学的重要任务。

1. 找准生发点，孕育符号意识

学生的数学符号意识形成不是突兀性的。因此，学生数学符号意识的启蒙，早期的孕育十分重要。启蒙学生数学符号意识的数学教学也不应该是断裂的，而应该是一种连续性的教学。在学生的丰富生活经验、活动经验中，就蕴含着丰富的符号因子。

例如，在教学《两、三位数的加法和减法》（苏教版小学数学二年级下）时，笔者经常发现有学生在计算时因为对数学整体感知的局限，将其中的一个加数的百位或者十位或者个位看多或者看少了，于是学生想出了多加几十就再减去几十，少加几十就再加几十的做法。笔者曾经问其中的一位学生这样做的理由，学生的回答令人惊讶，“我在商店买东西时营业员阿姨通常让我多给点钱，这样便于她找给我钱时是整元数。”显然，学生在生活中遭遇到许多这样的问题。因此，在教学《用计算器计算》（苏教版小学数学四年级下册）时，教材中有这样的一道题：小刚的计算器上的数字键“3”坏了。你能用小刚的计算器算出下面各题的得数吗？笔者充分利用学生的这些生活经验，引领学生想出多种多样的方法，将之提炼概括形成这样的代数关系与结构：“a-b=（a+c）-（b+c）”或“a-b=（a-c）-（b-c）”。这种对符号意识的孕育，可以让学生逐步形成运用符号进行数学思维的能力。

在数学教学中，教师要培养学生对数学符号的敏感度，包括对数与数之间的关系、式与式之间的关系、数与式之间的关系、数学图表符号、数学结构符号以及模型符号等的敏感。学生的数学符号感能够让学生在数学学习、生活中主动用符号化眼光去打量，用符号化思维去思考。

2. 找准生长点，催生符号思维

从符号意识到符号思维是学生数学符号感的升华。在小学数学教学中，教师播种符号意识要找准生长点，以便能够催生学生的符号思维。要丰富学生的“符号表象”，巧搭台阶，引导学生运用符号分析问题、解决问题。

例如，教学《表内除法》（一）（苏教版小学数学二年级上册），教师要让学生充分经历“符号”——“除号”的诞生过程。在大量的感性材料面前，引领学生展开操作性活动，通过操作，抽象出数量关系，理解符号所蕴含的數学内涵。把8个圆纸片分成两堆，可以怎样分？8个圆纸片，每个小朋友分2个，可以分给几个小朋友？尽管类型不同（过去，我们分别将之称为平均除和包含除），但这些都是把许多物体分成相等的部分，都可以用除法算式8÷2=4来表示。在教学中，要让学生反复操作，让他们逐步由外在物质化操作内化生成出内在的数量关系，并进而形成除号。如此，不仅突出了除法的数学本质，而且让学生经历了符号化的过程，生长并发展了学生的符号思维。符号的简洁、符号的功能充分体现了运用符号的优越性，如此增强了学生的符号感。

学生经过数学知识的形式化过程，生成了数学符号。通过符号，学生建立了“符号模型”，即运用“除号”解决问题的数学模型。这种符号能够帮助学生展开符号思维，激活学生的符号生长，助推学生的数学问题分析和数学问题解决。

3. 找准生成点，培植符号想象

学生对数学知识有多种表征方式，如文字表征、图像表征、图形表征、符号表征等。在教学中，要引领学生展开符号想象，渗透数学的符号语言；要给学生提供符号想象、符号创造的机会，逐步丰盈学生的符号表示范畴，让学生感受、体验到数学符号的内在魅力。例如，教学《加法交换律》（苏教版小学数学四年级下册），笔者运用“朝三暮四”的故事激发学生的学习兴趣。通过系列算式计算，学生感受、体验到不同算法之间的关联，他们纷纷用自己喜欢的方式表示这种交换关系。有学生用“△+☆=☆+△”表示，有学生用“甲+乙=乙+甲”表示，有学生用“a+b=b+a”表示……学生的符号想象、符号创意令人惊喜，他们的表达准确、简明，充分体现了用符号表达的优越性。

西方思想家、数理学家罗素说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”在数学教学中，有些符号关系是显性的，有些符号关系是隐性的，教学中教师要敏锐学生的“符号感觉”，显现数学符号之间的关系；要引领学生丰富符号表象，激发学生的符号思维，催生学生的符号想象，引领学生经历数学知识符号化的过程，进而建构符号模型。在这个过程中，学生逐步能够感受到数学符号的意义、价值，体验到数学符号的作用、力量。学生能够从被动接受符号、被动适应符号转变为主动理解符号、运用符号、创造符号。通过播种“符号”，启迪学生的“准代数式”意识，逐步发展起学生的“代数思维”。