运用相似三角形解决平衡问题

李煜星

摘要：在研究受力问题时，选取不同的方法求解。但是，有关长度和力的问题、非特殊三角形问题、看似条件不足的动态平衡问题、已知角或求角问题等，根据笔者三十多年的教学经验来看，运用相似三角形解决上述类型的题目比较好，相对比较简单。

关键词：相似三角形；长度和力；平衡；非特殊三角形；角

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0086

当所选研究对象受三个力时，用合成法求未知力，画出平行四边形，根据已知条件不同，选取不同的方法求解。以下几种情况用相似三角形法比较好，相似三角形法是通过力的三角形与几何三角形相似求未知力。

一、有关长度和力的问题

解三角支架习题时常有两种已知条件给法，一种是已知边长，另一种是已知角，都是求力，但解法不同，当然这类题用正交分解法也可以解出。

例1. 在三角架上的B点用一根细绳挂在一个重为G的物体，如图1所示，求横梁AB 和斜梁BC受l到的力各为多大？已知三角架AB=L1，Bc=L2，横梁AB水平。（解略）

例2. 如图2所示，长为5 m的细绳的两端，分别系于竖直在地面上相距为4m的两竖直杆的两端A、B上，绳上挂一光滑的轻质挂钩，其下拴住一个重为12N的物块，平衡时绳中的张力 F=

解：如图3，连CD，作绳中张力两个 F（即F1=F2）的合力与重力等大反向，对角线相互平分且垂直，很显然θ1= θ2=θ，力的三角形与长度三角形相似，由長度三角形可得OC+OD=（OA+OB）sinθ，所以sinθ=4/5，由力的三角形可得 F=（G/2） cosθ=5G/6=10N。

二、非特殊三角形问题

例3. 一个表面光滑的半球形物体国定在水平面上，在其球心 O的正上方一定高度处国定一个小滑轮，一根细绳的一端拴一小球，置于球面上 A点，另一端绕过定滑轮，如图4所示。现缓慢地拉动细绳的另一端，使小球沿球面从A点拉到B点，在此过程中，小球所受球面的支持力 FN 及细绳对小球的拉力FT的变化化情况是：

A. FN变大，FT变小；

B. FN变小，FT变大；

C. FN不变，FT变小；

D. FN变大，FT变小；

解：小球缓慢上移，可认为小球始终处于平衡状态，故小球所受拉力FT 与小球所受支持力FN的合力跟小球的重力G等值反向，即FT与FN的合力应竖直向上，大小恒为 G，支持力FN与球面垂直，FN的作用线通过两球心，小滑轮光滑，细线上各点张力大小相等，因三个力FN、FT、G组成三角形与ΔAOC 相似即可求解。

在小球上升的过程中，AO与CO的长度保持不变，只有AC的长度逐渐减小，可见拉力FT变小，支持力FN大小保持不变，故选项C正确。

点评：本题从物理思想上看，上面的解法称为平衡法或合成法，从数学方法上看，称为相似三角形法。可见，若为特殊三角形教学中用三角函数就可以解出且较简便，而非特殊三角形用相似三角形法更简单。

三、看似条件不足的动态平衡问题

例4. 如图6所示，竖直杆OB顶端有光滑轻质滑轮，轻质杆OA自重不计，可绕O点自由转动，OA=OB。当细绳缓慢放下，使∠AOB由O0逐渐增大到1800的过程中（不包括），下列说法正确的是：

A. 绳上的拉力先逐渐增大后逐渐减小；

B. OA杆上的压力先逐渐减小后逐渐增大；

C. 绳上的拉力越来越大，但不超过2G；

D. OA杆上的压力大小始终等于G；

解：作出结点 A的受力分析图，如图7所示， 即可知绳的拉力 F始终小于2G。

四、己知角或求角的问题

一般来说，已知角或求角的问题，我们都比较习惯于正交分解法，但有些问题用相似三角形法更简单。

例5. 一个重为 G的小环套竖直放置的半程为R的光滑大圆环上，一个劲度为k，原长为 L（L<2R）的轻弹簧，一端固定在大圆环顶点 A，另一端与小环相连，小环在大圆环上可无摩擦活动，小环静止于B 点时，如图8所示，求弹簧与竖直方向的夹角。

解：小环受到重力 G，方向坚直向下，受到弹簧弹力的作用线一定与AB 重合。根据平衡条件不难判断，弹簧是处于伸长状态，弹力只能沿BA方向指向A，大环对小环的作用力是沿着半径方向斜向下，重力 G与FN的合力与弹簧的作用力F是一对平衡力，由几何关系得：AB=2Rcosθ，

再由三角形相似，对应边成比例可得

（作者单位：内蒙古包头市一机一中 014030）