基于公共权重的鲁棒DEA模型研究

张冉++冉伦++李金林++褚宏睿��

摘要：传统DEA模型允许决策单元自由选取对其最为有利的投入产出权重，以获得最大的效率。相比之下，公共权重DEA模型采用统一的权重，更加适合统一管理的组织对各部门进行效率评价。此外，由于DEA方法是一种基于现有数据进行建模的方法，而现实生活中的数据往往是不精确的，因此，在建模的过程中考虑数据的不确定性十分重要。本文对Chen等提出的多目标公共权重DEA 模型进行了简化。在此基础上，利用鲁棒优化方法，建立了基于公共权重的鲁棒DEA模型，并与Omrani提出的模型进行了对比。数值算例表明本文提出的方法有效，求解计算量更少，得到的公共权重更加合理。

关键词：数据包络分析；公共权重；鲁棒优化；效率评价

中图分类号：C934文献标识码：A文章编号：10035192（2017）02006906

doi：10.11847/fj.36.2.69

Robust Data Envelopment Analysis Based on Common Weights

ZHANG Ran， RAN Lun， LI Jinlin， CHU Hongrui

（School of Management and Economics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract：In traditional DEA models， different decision making units （DMUs） are free to choose weights that are beneficial for themselves to obtain a high efficiency. While the common weights DEA models use common weights to assess different DMUs， which seems more suitable for the centralized organizations. Besides， DEA is a dataoriented method. However， the inputs and outputs data in reallife problems are often imprecise. Thus we should take the data uncertainty into consideration. In this paper， we simplify a multiobjective common weights DEA model proposed by Chen et al. Under the consideration of data uncertainty， we establish a robust multiobjective DEA model and make a comparison between our model and Omranis. The results of numerical example show that our approach is reasonable and acceptable， our computation amount is less and the common weights derived from our model are more reasonable.

Key words：data envelopment analysis； common weights； robust optimization； efficiency evaluating

1引言

数据包络分析方法（data envelopment analysis， DEA）经常被用来评价具有相似的多项投入和多项产出的决策单元（decision making units， DMU）的相对效率。传统的DEA模型（如Charnes等[1]提出的CCR模型和Banker等[2]提出的BCC模型）允许决策单元自由选取投入和产出权重以达到其最大的效率值。因此，不同决策单元投入产出的权重也不相同。这些权重不能直接用来比较所有决策单元的效率[3]。为了寻求能够被大多数决策单元广泛接受的统一的权重，一些学者提出了公共权重DEA模型[4]。

在对公共权重DEA模型的研究中，由于多目标线性规划和DEA方法都是寻求帕累托有效的非劣解，因此，很多学者自然地将多目标线性规划和DEA方法相结合，并取得了一些成果。Golany[5]最早将交互式多目标线性规划和DEA方法相结合，在给定投入水平和偏好信息的情况下，提出了一种寻求有效产出水平的方法。Li和Reeves[6]提出了一个包含三个目标函数的DEA模型，分别为最大化经典DEA模型中的效率得分，最小化最大的效率偏差（无效DMU与生产前沿的距离），最小化效率偏差的总和。通过求解该多目标模型，可以获得一组公共权重。此后，Kao和Hung[7]基于实际效率得分与理想效率得分的差距建立了一个公共权重DEA模型。在此基础上，Zohrehbandian等[8]进行了拓展，将Kao和Hung建立的非线性规划问题转化为线性规划问题。然而，大多数多目标公共权重DEA模型在求解时都需要事先选定一个适当的参考点，通过最小化与理想参考点的距离来获得公共权重，进而进行效率排序。与此不同，Chen等[9]以同时最小化所有決策单元投入和产出的加权差为目标函数，提出了一个新的多目标DEA模型。由于目标函数是投入产出差而非投入产出比，因此其理想参考点为n维零向量（0，0，…，0），其中n为决策单元的数量。这种方法不再以传统DEA模型计算的效率为参考点，减少了计算量，当决策单元的数量较大时该优势会更加明显。因此， 本文对Chen等提出的多目标公共权重DEA模型进行了简化，并在此基础上进一步考虑数据不确定性展开研究。

張冉，等：基于公共权重的鲁棒DEA模型研究

Vol.36， No.2预测2017年第2期

以上研究都是在假设投入和产出数据是精确的前提下进行的。然而，在现实生活中，很多投入产出的数据都存在着一定的扰动，称为不确定性。鲁棒优化在解决不确定问题建模中有较好的表现，因此得到了广泛的研究和应用。其目的是求得这样一个解，对于可能出现的所有情况，约束条件均满足，并且使得最坏情况下的目标函数值最优。Soyster[10]，BenTal和Nemirovski[11～13]以及Bertsimas和Sim[14～16]等在该领域进行了一系列的研究。其中Bertsimas和Sim[14～16]针对不确定集合为多面体的情况提出的方法，得到的鲁棒等价问题是一个线性问题，并且可以通过调整参数取值来权衡解的保守性和最优性。这种方法不仅保留了Soyster提出的鲁棒优化方法的线性优势，同时也能以较高的概率保证解的鲁棒性不逊于BenTal和Nemirovski的方法。因此，很多学者将Bertsimas和Sim提出的鲁棒优化方法应用到不同的研究领域中。

在DEA方法中，各投入产出权重也是通过求解一个个优化问题来获得，因此有学者将鲁棒优化思想应用到DEA模型中。其目的是寻求一组最为稳健的排序，该结果对投入和产出数据在一定范围内的不确定性有较好的免疫。Sadjadi和Omrani[17]对传统的BCC模型，分别建立了基于BenTal和Nemirovski，Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法的鲁棒DEA模型，并指出基于Bertsimas和Sim的鲁棒DEA模型更加容易求解。随后，他们又将Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法应用到不同的DEA模型中[18，19]。Omrani[20]基于Kao和Hung提出的公共权重DEA模型建立了一个鲁棒公共权重DEA模型，并利用该模型对伊朗汽油公司的效率进行了评价。Lu[21]也分别基于BenTal和Nemirovski，Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法建立了鲁棒DEA模型。文献[17～21]都是将鲁棒优化和DEA相结合进行的尝试，对本文有很大的启示。

现实生活中，很多统一管理的组织在对各部门进行评价时，往往会寻求一种较为公平的公共权重。由于选取的某些数据存在着一定的不精确性，因此考虑数据的不确定性进行DEA建模也十分必要。本文针对这种情况，首先对Chen等提出的多目标公共权重DEA模型进行了简化。随后引入Bertsimas和Sim提出的鲁棒优化方法，在投入和产出数据中加入了扰动项，建立了基于公共权重的鲁棒DEA模型。并将其与Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型进行了对比，详细说明和讨论了两种方法的区别。最后通过数值算例验证了本文提出的方法有效，结果显示，相比Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型，本文的方法对参考点的选择更加巧妙， 模型求解计算量更少，得到的公共权重更加合理。

5结论与启示

现实生活中，管理者获取的数据很难保证精确性，在这种情况下利用数据进行评价时就必须考虑到数据的不确定性。本文正是考虑在数据不精确的前提下，统一管理的组织对各部门进行效率评价的情况。首先简化了Chen等提出的多目标公共权重DEA模型，然后考虑数据的不确定性，应用Bertsimas和Sim的鲁棒优化方法，引入鲁棒代价参数，建立了基于公共权重的鲁棒DEA模型。本文建立的鲁棒DEA模型允许投入产出数据在名义值附近的一个小的范围内波动，而且得到的结果可以以一定的概率保证解的有效性。因此，由该方法得到的排序结果是稳健和可靠的。通过数值算例，对比了本文提出的基于公共权重的鲁棒DEA模型和Omrani提出的公共权重鲁棒DEA模型。结果显示，本文提出的模型有效，求解过程计算量小，得到的公共权重更加合理。利用本文的方法对决策单元进行效率评价，可以得到稳健可靠的排序结果。

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