基于SplitBregman算法的图像处理

石国良

(中国传媒大学 理工学部，北京100024)

基于SplitBregman算法的图像处理

石国良

(中国传媒大学 理工学部，北京100024)

在本文中，我们介绍了图像去噪的经典模型-TV去噪模型，TV去噪能更好地保留图像的边缘细节。我们通过实验使用SplitBregman迭代算法对TV模型进行图像去噪，最终我们得出SplitBregman算法收敛速度快，处理TV去噪模型时也能保留图像的细节。

图像去噪；TV模型；SplitBregman迭代算法；保留图像细节

1 前言

数字图像处理主要包括图像去噪、图像增强、图像压缩、图像分割、图像压缩等，图像去噪是数字图像处理的一个重要研究方向。图像在获取和传输过程中，不可避免地会受到噪声的污染，所以在后续的图像处理分析之前去进行图像去噪是非常有必要的。在1992年 Leonid I.Rudin，S tanleyO sher and Emand Fatemi在”Nonlinear total vaiation based noise removal algorithms”一文中提出了TV去噪模型，该模型在图像去噪和复原领域有着广泛的应用。本文主要介绍在TV模型的背景下，使用SplitBregman算法进行图像去噪，与ROF迭代算法进行比较。

2 图像去噪的TV模型及其ROF迭代算法

2.1 图像去噪的TV模型

全变分图像处理问题就是通过观测到的带噪声图像u0(x，y)，提取出“干净的”图像u(x，y)。模型是u0(x，y)=u(x，y)+n(x，y)

考虑如下的带约束的梯度最小化问题：

(1)

这个优化问题可以用Lagrange乘子技巧来解决，此时需要考虑的优化问题变为

(2)

(3)

(4)

(5)

2.2ROF迭代算法

(xi，yi)=(ih，jh)，i，j=0，1，2，3，…，N

(6)

时间变化率和边界条件离散，

(7)

将以上的数值应用到(4)(5)式得出TV模型对应的离散梯度下降流计算格式为

(i，j=0，1，…，N)

(8)

3 Bregman算法及SplitBregman算法

3.1 Bregman算法

从[3]中给出如下的算法：

(9)

我们提出以下迭代算法

(1)加载：u0=0，v0=0

(2)Fork=0，1，2，…，计算uk+1，并更新vk+1：

(注：vk+1的迭代式子由Euler-Lagrange公式推导出)

(10)

(11)

由此得到一个一般的迭代算法；

令u0=0，p0=0，fork=1，2…

计算pk：pk=pk-1+λK*(f-kuk)∈∂J(uk)。

3.2 SplitBregman算法

观察到在使用Bregman迭代解决问题时，求解u的子问题时，计算量大所以在求解u的子问题时采用Split的技巧。假设我们要求求解以下的问题[4]：

(12)

引入一个对偶变量d=Φu，此时(12)就转化为求解下列问题

(13)

(14)

(15)

(16)

由(16)可得

(17)

bk+1=bk-dk+1+Φuk+1

注意到(17)式与下式等价

(18)

第三项

bk+1=bk-dk+1+Φuk+1

(19)

求解(19)式可使用交替迭代算法，即固定u，求解d，固定d，求解u。在固定u，求解d时，可使用shrink算子求解，在固定d，求u时，方程就是一个较好求解的方程，但是依然会用到求矩阵的逆或者其他手段。

4 实验结果

我们采用256×256的Lenna彩色图象和256×256的cameraman灰度图像，进行实验。采用的高斯白噪声均值为0，方差为0.01，图1为使用SplitBregman算法的TV去噪效果，图2为使用ROF迭代的去噪效果。

图1 Split Bregman迭代

图2 ROF迭代

5 总结

在本文中，我们以TV去噪模型为基础，利用SplitBregman迭代算法进行TV去噪，实验结果表明，去噪的收敛速度大大加快，且依然很好地保留了图像的边缘。

事实上，当噪声强度比较大时，TV模型去噪会出现阶梯效应的现象，目前比较流行的是使用四阶偏微分方程去噪[5]，可以有效地避免阶梯效应。

[1]LeonidIRudin，StanleyOsher，EmadFatemi.Nonlineartotalvariationbasednoiseremovalalgorithms[J].PhysicaD，1992，60(7)：259-268.

[2]王桥.数字图像处理[M].北京：科学书版社，2009：222-228.

[3]MariusLysaker，StanleyOsher，Xue-ChengTai.NoiseRemovalUsingSmoothedNormalsandSurfaceFitting[J].IEEETransactionsonImageProcessing，2004，13(10)：1345-1357.

[4]TomGoldstein，StanleyOsher.TheSplitBregmanMethodforL1RegularizedProblems[J].SIAMJournalonImagingSciences)，2009，2(2)：323-343.

[5]MLysaker，ALundervold，Xue-ChengTai.NoiseRemovalUsingFourth-OrderPartialDifferentialEquationWithApplicationstoMedicalMagneticResonanceImagesinSpaceandtime[J].IEEETransactionsonImageProcessing，2003，12(12)：1579-1590.

(责任编辑：宋金宝)

The Image Processing Based on Split Bregman Algorithm

SHI Guo-liang

(Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，we introduce the classical model of image denosing-TV denosing model，TV denosing can retain the edge details of the noise image effectively.We denoise the blurred image through the Split Bregman iteration algorithm in experiment，and finally we known that using Split Bregman algorithm convergence is fast，what’s more，dealing with problem of TV denoising also can effectively retain the details of the image.

image denosing；Total Variation(TV)model；Split Bregman iteration algorithm；retain image details

2016-04-05

石国良(1988-)，男(汉族)，江苏淮安人，中国传媒大学硕士研究生，E-mail：shiguoliang@cuc.edu.cn.

TP

A

1673-4793(2017)02-0032-06