☉江苏省常熟市尚湖高级中学 程建刚
数学习题讲评课的“再思考”
☉江苏省常熟市尚湖高级中学 程建刚
众所周知,数学教学离不开解题教学.习题讲评一方面可以有效地提高学生解决问题的能力,另一方面还可以促进学生对已学过的基础知识、相关概念和运算规则的理解,对学生学好数学有着积极的意义.但遗憾的是,有相当数量的教师把获得正确的解题结果、方法作为解题教学的终极目标,好像是“题目解决了,任务就完成了”,而对于解题中出现的一些细节问题缺乏关注与深入的思考.
最近,笔者观摩了一堂二轮复习习题讲评课,上课内容是“导数的应用”,下面是其中一道题目的教学过程简录.
例题:已知函数(fx)=-x3+|x-a|,x∈[0,1].
(2)求(fx)的最大值.
解:(1)略.
①当a>1时,f(x)=-x3-x+a,x∈[0,1],f(x)单调递减,
所以[f(x)]max=f(0)=a.
②当a<0时,f(x)=-x3+x-a,x∈[0,1],
③当0≤a≤1时,分两种情况讨论如下:
由于分类讨论过程比较复杂,学生基础薄弱,这道题的讲解耗费了将近一节课.教师先帮助学生了解题意,然后分析方法,再对解题过程进行详细的板演,最后,对解题思想方法进行了的总结,如图1所示.
图1
对于这道题目本身,教师讲解已经做到透彻到位,但对习题讲评课来说似乎还有些美中不足.
例题选择的好坏直接影响习题讲评的有效性.不同的题目具有不同的作用,有的是为了理解和巩固新知识;有的重在揭示某类问题的一般思路和方法;有的重在训练解题技能;有的是为了发展学生创造性思维等.教师在选择习题时要根据教学目的选择恰当的例题.不仅如此,例题的难度还应该贴近学生实际,教师要分析学生的“最近发展区”,然后在学生“最近发展区”内进行例题的选择,例题太难、太简单都不利于习题讲评课的展开.
从本节课来看,一没有变式,二没有拓展,仅仅解了一道题目,虽然其中涉及了比较复杂的分类讨论,但从整堂课来看内容还是过于单薄.受制于学生的认知水平,教师不敢增加题目的容量也在情理之中,但反过来分析,既然学生接受能力不足,这样的题目设计是否有必要?有没有必要设置“三个层次”分类讨论,难度如果降低点,“两个层次”的分类讨论是否已经足够?如果非要研究这类问题,那么在此之前是否应该做好思维铺垫工作,比如,从简单的问题出发,然后通过变式,逐步进入正题,这样远比让学生直接面对巨大的思维障碍好得多.
解题不是目的,而是获得数学技能与方法的一种手段.题目中所涉及的思想方法往往具有普遍适用性,因此,远比题目本身更具教育价值.以上述题目为例,其中所表现出的核心思想就是分类讨论思想,而在实际教学中,分类讨论思想往往是学生的“软肋”,分类遗漏、重复更是很多学生“心中永远的痛”.因此,教师要把握机会揭开分类讨论思想的神秘面纱,在本节课的教学环节中,教师可以考虑增加如下内容.
首先,明确分类讨论思想的实质,让学生有足够的心理准备.分类讨论思想是序化思想的一种体现.根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”,从而增加了题设条件的解题策略.
其次,明确分类原则,指导学生正确分类.分类中需要遵循标准统一、分类完整不遗漏、分类过程不重复等原则.分类讨论的关键是确定分类标准,确定分界点.当分类讨论需并列多次讨论时,应找出各次分类的分界点,再确定分类标准;当分类讨论需多层讨论时,应根据题意逐层讨论,或根据各层的分界点重新确定分类标准.
最后,提炼分类讨论思想的解题步骤.一般来说,分类讨论思想应用分三步走,第一步是明确标准,科学分类;第二步是归纳结论,合并同类;第三步是把握整体,优化分类.对这三个步骤的揭示远比“对a分三个层次讨论”的总结更具有指导意义.
上述做法的最大好处在于:在解题的同时避免“就题论题”的局限性,学生可以获得对分类讨论思想的一般化理解,并且有利于解题思路的自然形成.
在上述解题过程中,一开始虽然进行了四种情况的分类,但在最后结论中被归结为两种情况.这背后是否存在着“隐情”?可惜教师对这一细节并没有给予应有的关注.一般情况下,分类讨论情景由繁到简的突变往往预示着有更好、更快捷的解题方法的存在.这是教师进行优化解题方法,开展一题多解的契机.
图2
解题的过程应是解题方法与思维不断优化的过程,分类讨论确实是重要的思想方法,但在具体操作中,应该尽量做到少讨论或者不讨论,因为分类讨论过于花费时间,如何提高分类讨论的效率是解题中必须要思考的问题.
高考数学二轮复习通常是以专题形式进行的.“专题复习”有利于学生提升思维,建构知识网络.在实际操作中,复习“专题”的设计往往存在着内容过于宽泛、缺乏针对性的弊端.因此,正确设计专题,使复习专题更加符合学生的实际需求是保证二轮复习有效性的关键.那么,复习专题如何确定呢?从解题中获得有用的复习线索是一个重要的途径.
以本节课为例,题目中显然涉及“|x-a|”类函数问题.这类问题,形式新颖、综合性强、思维要求高,其中含参绝对值二次函数是近年来高考的热点,解决这类问题不仅要求深刻理解题意,还要求具备较强的逻辑思维能力和推理论证能力.
案例含参绝对值二次函数问题专题复习设计
例1(1)已知函数f(x)=x|x-2|-a有三个零点,求实数a的取值范围;
(2)已知函数f(x)=x|x-a|在[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
例2已知函数f(x)=|x|(x-a).
(1)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间;
例3设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|,求函数f(x)的最小值.
意图:三道例题的设计由易到难,层层铺垫,环环相扣,基本上涵盖了含参绝对值二次函数问题的所有类型.通过问题的剖析与解决,学生了解并掌握这类函数图像(叠加)的基本特征与规律.
因此,在讲解上述例题之前最好先对“|x-a|”类函数问题进行系统化的研究,或者在后续的复习中补充这一内容,然后在“|x-a|”类函数问题的认知基础上重新审视上述问题的解题策略.这样一来,上课效率就会得到进一步提升,也不会出现一节课只讲一道题的尴尬.
习题讲评课中的“细节”不仅决定了课堂教学的有效性,更为重要的是,这些细节可以成为知识的生长点,成为教学瓶颈的突破口.