突出本质事半功倍——从一道解析几何试题谈高三复习的几点体会

☉江苏省西亭高级中学 戴黄亮

突出本质事半功倍
——从一道解析几何试题谈高三复习的几点体会

☉江苏省西亭高级中学 戴黄亮

如何搞好高三数学复习？很多教师的做法是刷题，笔者则认为靠题海来提升分数是不可取的，高三时间宝贵，如果不注重策略，不仅不容易收到短时间的成效，还会造成学生学习心理的负面影响，导致不必要的丢分，怎么办呢？笔者认为我们的复习要抓住数学的本质.数学本质属于数学哲学范畴，人们从不同的角度看数学，便对数学的本质有不同的认识.张奠宙教授在讨论数学本质时指出其内涵是：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神等.本文结合笔者在和学生复习“解析几何”时遇到的一道题为例，谈谈自己对高三复习的一些粗浅的体会.

一、例题呈现

（1）求椭圆C的方程.

（2）若P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值.

方法一：语言转换.

设P（x，y），则x2+4y2=4（.由已知P是椭圆C上一点转

0000换）

由（1）知，A（2，0），B（0，1）.

直线PA与y轴交于点M转换）

当x0=0时，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2，所以|AN|·|BM|=4.

综上，|AN|·|BM|为定值.

方法二：利用参数方程.

参数方程，可以使参与运算的量减少，并且，有时候参数的几何意义亦可使运算更为简洁.

综上，|AN|·|BM|为定值.

评注：方法二虽然使用参数方程作为切入点，但整体的思路还是几何语言与代数语言的相互转化.

二、例题的复习启示作用

1.复习要关注主干知识

从上面的例1我们可以得到的启示有很多，其中有一点就是我们的复习必须抓住高考热点问题，要借助于例题的设置来突出高中数学学习阶段的核心知识、主干知识.与此同时，要尽可能地挖掘例题的复习教学功能，尽可能深入地研究问题的本质，如例1将考查的重点放在用代数方法研究几何性质上，突出解析几何的本质特征.

其实我们高中数学阶段的高考热点集中度较高，对于江苏高考而言，“三角函数”属于重点、热点问题，同时也应该注意到这一部分知识因其公式繁多，灵活多变，特别是涉及证明与化简的问题，要让学生理解并不难，但是要活用也不易，对初学者更是如此.我们可以精选例题.如笔者在和学生进行复习时，选择了如下例题.

这是一道三角函数的证明题，其等式左边的分子与分母是α、3α与5α角的正余弦的和，右边是3α角的正切值，形式优美，和谐简洁.

2.引导学生进行一题多解

“一题多解”是有效发散学生思维的重要抓手，引导学生进行一题多解，其复习价值在于引导学生从多个视角挖掘与问题相关的数学本质，例1作为高考题可以一题多解，例2的解法也有很多.

解法3：利用角变换解决.从分析法可知，只需证sin2α=sin2α，可以尝试构造sin（3α-α）=cos（5α-3α），等式的左右两边分别利用两角差的正、余弦公式，顺势展开便可以得到sin3αcosα-cos3αsinα=cos3αsin5αsin3αcos5α，再进行移项可以得sin3αcosα+sin3αcos5α= cos3αsinα+cos3αsin5α，为了等式两边产生公因式，需添加项，即两边同加sin3αcos3α，得sin3α（cosα+cos3α+ cos5α）=cos3α（sinα+sin3α+sin5α），得sinα+sin3α+sin5α cosα+cos3α+cos5α =tan3α.

3.适当地进行变式探究

为了更为有效地发展学生的思维，帮助学生克服思维定势，最终其能力能够达到高考的要求，我们的问题设置还应该具有连贯性，即在原有问题解决的基础上进行必要的拓展和变式.

例如，基于上述例2的解法，我们可以对其进行以下变式.

此类问题涉及的数学知识和证法也很多，这些实际上都是数学问题的本质所在.本文就不一一类举，给出一种较为简单的证法：

有时结合例题和变式，从问题的解答过程和结果出发，我们还应该引导学生进行必要的推广，例如，上述问题可以得到下面的推广：

推广1：若sinα+sin3α+…+sin（2n-1）α=a，cosα+ cos3α+…+cos（2n-1）α=b，b≠0，则tan（nα

推广2：若sin2α+sin4α+…+sin2nα=a，cos2α+cos4α+…+cos2nα=b，则tan（n+1）

推广3：sinα+sin（α+β）+…+sin（α+2nβ）=a，cosα+ cos（α+β）+…+cos（α+2nβ）=b，b≠0，则（n∈Z）.F