基于修正差分进化算法确定周期内多载波微放电等效功率

王新波，张小宁，李永东，刘纯亮，王瑞，魏焕，冉立新

1.西安交通大学 电子物理与器件教育部重点实验室，西安 710049 2.中国空间技术研究院 西安分院 空间微波技术重点实验室，西安 710100 3.浙江大学 应用电磁波研究实验室，杭州 310027

基于修正差分进化算法确定周期内多载波微放电等效功率

王新波1,2，张小宁1，李永东1，刘纯亮1，王瑞1,2，魏焕2，冉立新3，*

1.西安交通大学 电子物理与器件教育部重点实验室，西安 710049 2.中国空间技术研究院 西安分院 空间微波技术重点实验室，西安 710100 3.浙江大学 应用电磁波研究实验室，杭州 310027

微放电是空间微波部件设计所必须考虑的失效效应之一，随着空间宽带多载波模式的广泛采用，多载波条件下微波部件微放电问题引起广泛关注。针对周期内多载波微放电等效功率计算所采用传统经验公式的不足，提出了一种基于修正差分进化算法的确定周期内多载波微放电等效功率的全局优化方法。该方法通过对多载波合成信号功率特性进行分析，推导获得了20个电子渡越时间内信号能量的表达式，采用二次插值法进行局部搜索，采用修正差分进化算法进行全局优化，从而高效、准确获得全局最优解。以幅度相等、频率间隔相等的多载波信号为例，进行了等效功率的确定，与经验公式的预测结果相当，验证了所提出方法的有效性；同时，对幅度不同、频率间隔不等的多载波信号进行了处理，获得了能够指导微波部件微放电设计的最坏状态及其等效功率。所提出方法不仅适用于幅度不同、频率间隔不等的多载波信号情况，并且能够提供微放电最坏状态时的相位分布，为多载波微放电实验验证提供相位输入。所提出方法相比传统的基于经验公式的方法具有明显优势，为空间宽带多载波工作微波部件微放电设计提供有效依据，在卫星转发器多载波微放电分析及设计中具有价值。

差分进化算法；周期内多载波微放电；等效功率；微波部件

微放电效应[1-3]也称二次电子倍增效应，是指微波部件处于1×10-3Pa或更低压强的真空状态时，在射频大功率信号激励条件下，电子与金属表面碰撞产生的二次电子与电场谐振，从而引发二次电子雪崩的现象。微放电效应一旦发生会使信号发生畸变，降低信号传输质量，严重情况下会阻塞射频信号的传输通道，使微波部件彻底失效。因此微放电效应是空间大功率微波部件设计所必须考虑的关键问题之一。

经过大量研究，针对单频正弦信号激励、均匀电场分布的平行平板结构中二次电子的倍增过程，建立了微放电阈值电压与信号频率和平板间距乘积之间的关系曲线，即微放电敏感曲线[4-5]。欧洲航天局(European Space Agency, ESA)通过大量实验数据对该曲线进行了校正[5]，校正后的曲线能够有效指导单载波条件下空间大功率微波部件的微放电分析与设计[6-8]。考虑到微波部件从设计、表面处理、调试、联试到最终在轨飞行，会不可避免地出现表面吸附及氧化，会导致微放电阈值降低，国际上对航天器大功率微波部件的通用要求是其微放电设计阈值高于额定工作功率6 dB，或实验测量阈值高于额定工作功率3 dB[9]。尽管该设计准则广泛应用于航天器大功率微波部件微放电阈值的分析及设计中，但该曲线只适用于单个频率信号激励的情形，无法直接应用于多载波情况[9]。

然而目前绝大多数通信卫星为多载波模式，其输出多工器、谐波滤波器和天线馈源均工作在多载波模式。多载波合成信号的显著特点是其瞬时功率随时间变化，并且其合成包络随各路载波信号初始相位的不同存在显著差异，对应的多载波微放电阈值不同[10]。因此，多载波微放电分析的关键是确定能够以最小的单路功率激发放电的相位组合，即“最坏状态”，其对应的功率为多载波微放电全局阈值。对于载波数为N、单路载波功率相等为P的多路载波信号，其最大可能合成峰值功率为N2P。目前由于对多载波微放电研究不够深入，缺乏多载波微放电设计的合理依据，导致工程中被迫采用较大的等效功率、甚至是最大峰值功率进行部件设计，卫星有效载荷采用体积和质量更大的方案，严重制约多载波大功率微波部件的研制。

Marrison等于1997年提出“20个电子渡越时间”(Time for 20 gap crossings,T20)的假设[10]，该假设认为如果多路载波合成信号在一个合成包络周期内能够使得电子在两平板间渡越超过20次，可认定其发生了多载波微放电。这一规则是对多载波微放电仿真及试验结果进行分析的基础上得出来的，是人们试图放宽多载波微放电发生条件的重要尝试，即认为多载波合成信号的瞬时功率可以高于单载波微放电阈值，但只有使得电子渡越超过20次，才可认定发生微放电。基于该规则，在进行多载波微放电分析与设计时，首先确定多载波合成信号在20个电子渡越时间内的最大等效功率，然后采用等效功率进行单载波微放电设计，就可以间接解决多载波微放电设计问题。

近年来，Anza等提出了长周期(long-term)放电的概念[11]，即电子在多个多载波包络周期间的累积最终激发放电，与之相对应的是周期内(single-event)放电，即在多载波包络的第一个周期内激发大量二次电子，从而引发放电。多载波微放电最坏状态应该为长周期放电和周期内放电两者的最坏状态中的阈值更低者。文献[12]指出，对于特定的载波数和中心频率，存在临界频带宽度，当载波频率间隔小于该临界带宽时，最坏状态为周期内放电；当载波频率间隔大于该临界带宽时，最坏状态为长周期放电。而目前的通信卫星以窄带为主，因此基于20个电子渡越时间有效确定周期内多载波微放电的等效功率对指导多载波模式工作的微波部件设计具有重要意义。

20个电子渡越时间的假设提出时，并未给出基于该假设确定多载波微放电等效功率的计算方法。Wolk等于2000年提出了边界函数法[13-14]，该方法对T20时间内的能量进行放大，获取其上界，可以方便地确定等频率间隔分布

时的等效设计功率。但是该方法基于经验公式，缺乏明确的物理意义，这就导致在有些情形下，边界函数得到的结果不符合工程实际。同时该方法只是适用于等间隔分布的情形，而实际卫星的频率间隔不完全相等，导致该方法失效。Udiljak等提出采用Matlab的非线性最小方差函数来获得使T20时间内能量最大的相位分布[15]，但是该方法容易陷入局部极大值，而无法获得全局最大值，使得计算结果可信度不高，因此未被广泛采用。

多路载波合成信号其幅度随时间变化剧烈，相位组合多样，局部极值对应的相位组合数量巨大，为了获得T20时间内信号能量最大的多载波相位分布，不仅要对局部最优解进行快速搜索，同时要确保收敛到全局最优解。本文针对周期内多载波微放电等效功率的全局优化问题，理论推导获得了T20时间内能量，采用修正的差分进化算法对T20时间内信号的能量进行优化，确保获得全局最大值，从而确定周期内多载波微放电等效功率。

1 多载波合成信号分析

设多载波信号为N路正弦信号，幅度分别为ak，频率为fk，初始相位为φk，k=1,…,N,则其合成信号为：

(1)

基于式(1)可以进行多载波信号时域合成。其瞬时功率为：

(2)

可以看出其瞬时功率与各路载波信号的幅度、频率和初始相位相关，以t0为中心，时间τ内的能量为：

(3)

根据“20个电子渡越时间”的假设，为了能够尽可能地激发放电，多载波信号的高功率持续时间应尽量集中于20个电子渡越时间(T20)内，因此需要获得T20内信号能量的最大值，而T20与微放电阶数、载波平均频率以及关键区域间隙尺寸相关联，对于特定结构微波部件和特定工作频率的多载波信号,其T20可查询获得[9]。对于给定卫星应用场景，其多载波信号的幅度和频率间隔是确定的，观察信号能量的表达式可以看出，不同的初始相位分布使得该信号在[t0-T20/2,t0+T20/2]内能量不同。而“20个电子渡越时间”假设下的微放电工作最坏状态就是该能量最大时对应的合成信号，因此采用优化算法搜索满足条件的全局最优解是确定微放电最坏状态的关键。本文拟采用差分进化算法来获得T20时间内能量最大值的相位分布。

2 优化算法设计

差分进化算法[16]是基于群体智能理论的优化算法，通过群体内个体间的合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索。它保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，降低了遗传操作的复杂性，同时它特有的记忆能力使其可以动态跟踪当前的搜索情况已调整其搜索策略，具有全局收敛能力。

多载波合成信号其特征丰富，随时间变化剧烈，局部最大值区域数量巨大，为了获得T20时间内信号能量最大的多载波相位分布，不仅要对局部最优解进行快速搜索，同时要确保收敛到全局最优解。而传统的差分进化算法过于注重跳出局部最优解，虽然可以确保获得全局最优解，但是在进行局部搜索时，其搜索效率低下，搜索时间过长，使得传统的差分进化算法在多载波信号相位优化中难以应用。因此本文借助局部搜索算子来加速标准的差分进化算法[17]，使其快速获得局部最优解，并采用差分进化策略来确保获得全局最优解。

针对多载波合成信号T20时间内信号能量优化问题的特点，本文采用的修正的差分进化算法，其算法主要步骤如下：

步骤1：设置参种群规模NP，最大进化代数Gen或者最大函数计算次数，缩放因子F和交叉概率CR。

步骤2：初始化种群，并通过优化函数公式f(φ1,φ2,…,φN)=-ET20(φ1,φ2,…,φN)计算每个个体的函数值。

步骤3：对NP种群进行差分进化算法变异，交叉，选择。

步骤4：采用二次插值法进行局部搜索，产生满足条件的解进行替换，其具体步骤如下：

1)找到步骤3处理过后的种群中函数值最大的个体l、函数值最小的个体h以及它们对应的函数值分别为f(l)和f(h)。

2)设置x1=l，再从步骤3处理过后种群中随机选取两个个体x2,x3，且满足x2,x3≠l。得到一个新个体p.i=(p.1,p.2,…,p.D):

(4)

式中：i=1,2,…,n，xj=(xj1,xj2,…,xjD) ,j=1,2,3。

4)如果f(p)

步骤 5：判断，若满足优化条件，则停止，输出最好结果。否则转向步骤3。

采用本方法可以快速实现T20时间内信号能量的最大值求解，确定T20下的微放电最坏状态及等效功率。

3 结果比较与讨论

本文首先对10路幅度相同、频率间隔相等的多载波信号进行分析，对T20时间内的信号能量采用修正的差分进化算法进行优化，在本文中为了方便计算，对阻抗进行归一化，并采用峰值功率和峰值电压进行表征，多载波信号的主要参数如下：载波数N=10，单路信号的幅度相等且为ak=10V，k=1,2,…,N，起始频率为f1=12 GHz，载波间频率间隔相等为Δf=0.04 GHz ，多载波信号的频谱分布如图1所示，假设带分析微波部件的间隔为1mm，根据初始频率和微波部件频率间隔的乘积查询可知T20=7.5ns,其中(φ1,φ2,…,φN)为待优化的变量，0≤φi<2π，i=1,2，…,N，为了实现T20在单个包络合成周期内，t0∈[3.75,21.25]。

采用Wolk提出的边界函数确定的等效功率和等效电压分别为3 324.68W和57.66V，如图2所示；当t0=12.5ns时，经优化可得初始相位(φ1,φ2,…,φN)为(3.63,0.40,3.40,0.002,2.70,5.25,1.67,4.56,1.27,4.33)时，能量E取全局最大值为23 712，对应的等效功率和等效电压分别为3 161.60 W和56.23 V，如图3所示，可以看出最坏状态时信号能量主要集中在T20以内。采用两种方法确定的等效电压和等效功率比较如表1所示。

从表1可得,采用本文提出的方法与传统的基于Wolk边界函数法确定的等效电压基本相同(相差4.9%)，但是本方法能提供产生最坏状态时的初始相位分布，这样可以在多载波微放电试验时控制输入信号，快速准确地模拟最坏状态，为多载波微放电试验提供依据。

方法等效电压/V对应的等效功率/WWolk边界函数57.663324.22本文方法56.233161.60

其次，采用本方法可以对频率间隔不等或幅度分布不同的多载波信号进行处理，由于各个载波幅度初始相位的信息都包含在T20时间内信号的能量表达式中，只要对不同初始相位分布下能量进行优化，获得其最大值即可。本文首先对10路频率间隔相同、幅度不同的多载波信号进行分析，载波1～载波8的电压为10V，载波9和载波10的电压为15V，频率分布和上述例子相同，如图4所示，采用本方法进行优化可得，当初始相位(φ1,φ2,…,φN)为(2.75,5.96,2.93,0,3.57,1.11,4.79,1.92,5.20,2.14)时，T20内信号能量最大，对应的等效电压为61.66V，即3 801.90W，如图5所示，可以看出对于10路多载波信号，当其中两路载波幅度增大时，等效电压有一定抬高。

同时采用本文提出的方法对幅度相同、频率间隔不同多载波信号进行了优化，信号频谱分布如图6所示，载波1～载波8频率间隔为0.04GHz，载波8和载波9以及载波9和载波0之间的频率间隔为0.08GHz，载波幅度为10V。采用本文提出的方法进行优化，当初始相位(φ1,φ2,…,φN)为(4.25,0.97,3.87,0.31,2.92,5.71,2.45,5.75,1.16,1.46)时T20内能量最大，为多载波微放电工作的最坏状态，等效电压为53.17V，即2 826.53W，如图7所示。可以看出对于10路多载波信号当其中某几路载波的频率间隔展宽时，等效电压减小。

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4 结束语

本文针对周期内多载波微放电等效功率的全局优化问题，理论推导了多载波合成信号T20时间内的能量，采用二次插值法进行局部搜索，采用修正查分进化算法进行全局优化，从而高效、准确获得全局最优解，确定周期内多载波微放电等效功率。所提出方法不仅能够适用于幅度不同、频率间隔不等的多载波信号情况，并且能够提供微放电最坏状态时的相位分布，为多载波微放电实验验证提供相位输入，所提出方法比传统的基于经验公式的方法具有明显优势，为空间宽带多载波工作微波部件微放电设计提供有效依据，在卫星转发器多载波微放电分析及设计中具有重要价值。

致谢：感谢西安电子科技大学电子工程学院张立副教授提供差分进化算法指导。

References)

[1] FARNSWORTH P. Television by electron image scanning[J]. Journal of the Franklin Institute，1934，218(88-89)：411-444.

[2] GILL E W B, ENGEL A. Starting potentials of high-frequency gas discharges at low pressure[C]//Proceedings of the Royal Society of London，Series A，Mathematical and Physical Sciences，1948，192(192)：446-463.

[3] VAUGHAN J. Multipactor[J]. IEEE Trans. Electron Devices，1988，35(7)：1172-1180.

[4] HATCH A, WILLIAMS H. The secondary electron resonance mechanism of low-pressure high-frequency gas breakdown[J]. Journal of Applied Physics，1954，25(4)：417-423.

[5] WOODE A, PETIT J. Diagnostic investigations into the multipactor effect, susceptibility zone measurements and parameters affecting a discharge, ESTEC working paper No. 1556[R]. Noordwijk：ESTEC, 1989.

[6] ANDERSON D, JORDAN U, LISAK M, et al. Microwave breakdown in resonators and filter[J]. IEEE Trans. Microwave Theory Tech.，1999，47(12)：2547-2556.

[7] YU M. Power-handling capability for RF filters[J]. IEEE Microwave Magazine，2007，8(5)：88-97.

[8] MONGE J, CRUZ J A R, ANZA S, et al. High power analysis and design of dual-mode channel filters[C]//Proceedings of IEEE International Microwave Symposium Digest. Boston：IEEE，2009：1353-1356.

[9] ECSS-20-01A.Space engineering: multipacting design and test[S]. Netherlands：ESA Publication Division，2003：19-23.

[10] MARRISON J, MAY R, SANDERS J D, et al. A study of multipaction in multi-carrier RF components, AEA/TYBK/31761/01/RP/05[R]. Netherlands：ESTEC, 1997.

[11] ANZA S, VICENTE C, GIMENO B, et al. Long-term multipactor discharge in multicarrier systems[J]. Phys. Plasmas，2007，14(8)：082112-082112-8.

[12] 王新波，李永东，崔万照，等.基于临界电子密度的多载波微放电全局阈值分析[J]. 物理学报，2016，65(4)：047901-047901-10.

WANG X B，LI Y D，CUI W Z，et al.Global threshold analysis of multicarrier multipactor based on the critical density of electrons[J]. Acta Phys. Sin.，2016，65(4)：047901-047901-10(in Chinese).

[13] WOLK D, SCHMITT D, SCHLIPF T. A novel approach for calculating the multipaction threshold level in multicarrier operation[C]// Workshop on Multipactor, RF and DC Corona and Passive Intermodulation in Space RF Hardware. Noordwijk：ESTEC，2000：85-91.

[14] ANGEVAIN J C, DRIOLI L S, DELGADO P S, et al.A boundary function for multicarrier multipaction analysis[C]//European Conference on Antennas and Propagation. Berlin：IEEE，2009：2158-2161.

[15] UDILJAK R. Multipactor in low pressure gas and in nonuniform RF field structures[D]. Chalmers：Chalmers University of Technology，2007.

[16] STORN R, PRICE K. Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J]. J. Global Optim.，1997，11(4)：341-359.

[17] ZHANG L, JIAO Y C, LI H, et al. Hybrid differential evolution and the simplified quadratic interpolation for global optimization[C]//Proceedings of the First ACM/SIGEVO Summit on Genetic and Evolutionary Computation. Shanghai：ACM，2009：1049-1052.

(编辑：高珍)

Equivalent power determination for single-event multicarrier multipactor based on a modified differential evolution algorithm

WANG Xinbo1,2，ZHANG Xiaoning1，LI Yongdong1，LIU Chunliang1，WANG Rui1,2,WEI Huan2，RAN Lixin3,*

1.KeyLaboratoryforPhysicalElectronicsandDevicesoftheMinistryofEducation,Xi′anJiaotongUniversity,Xi′an710049,China2.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonSpaceMicrowave,ChinaAcademyofSpaceTechnology(Xi′an),Xi′an710100,China3.LaboratoryofAppliedResearchonElectromagnetics(ARE),ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China

Multipactor is one of the most important failure effects for the spaceborne microwave components. With the rapid development of wideband communication satellite systems, the multicarrier multipactor (MM) is paid more and more attentions. While the design criterion with microwave components for single carrier RF signal is explicit, it is controversial for multicarrier multipactor.A method to determine equivalent power for the single-event multicarrier multipactor using the modified differential evolution algorithm was presented to overcome the disadvantages of the conventional empirical formula. The power properties for the multicarrier synthesis signals were analyzed, and the energy in 20 electron transit time was globally optimized. In each optimization, quadratic interpolation was used to find the local optimum, then the global optimum was obtained by using the modified Differential Evolution algorithm. It is the worst case for all kinds of configurations and the optimal average power can be used for the equivalent power in the wideband-component design. The proposed method is demonstrated with the uniform amplitude and equally spaced frequencies. The proposed approach is also able to provide reasonable equivalent power for multicarrier signals with non-uniform amplitudes or the unequally spaced frequencies.

differential evolution algorithm；single-event multicarrier multipactor；equivalent power；microwave components

10.16708/j.cnki.1000-758X.2017.0033

2016-08-31；

2017-01-09；录用日期：2017-03-17；

时间：2017-03-21 15:25:20

http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20170321.1525.001.html

国家自然科学基金(U1537211, 11675278, 51675421)；空间微波技术重点实验室基金重点项目(9140C530101150C53011)

王新波(1984-01)，男，高级工程师，博士研究生，xinbof@163.com，研究方向为空间大功率微波技术、空间微波特殊效应

王新波，张小宁，李永东，等.基于修正差分进化算法确定周期内多载波微放电等效功率[J].中国空间科学技术，2017,37(2)：66-72.WANGXB，ZHANGXN，LIYD,etal.Equivalentpowerdeterminationforsingle-eventmulticarriermultipactorbasedonmodifieddifferentialevolutionalgorithm[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2017，37(2):66-72(inChinese).

TN101

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http://zgkj.cast.cn

*通讯作者：冉立新，男，教授，ranlx@zju.edu.cn，研究方向电磁波理论及其应用、射频/微波电路与系统、射频与微波成像