巧用对应关系指导应用题教学

吕庆海

当前，小学数学应用题教学中，分数、百分数、正比例等类型题是教学工作的重点，所占教学比例较大，因此有必要在基本算理数学外，进行深入的实践应用与总结分析，摸索出其中蕴涵的解答规律，进而提升教学针对性和教学效果。其中，巧用对应关系就是解答这类题型的有效方法之一。下面从以下几个类型题具体分析介绍。

分数应用题；例1：要修一条1600米长的道路，第一周修了全长的1/2，第二周又修了全长的3/10，两周一共修了多少米？还有多少米没有修？分析思路是：要求解修了多少米，首先应该看所修道路占了全长的几分之几，用1/2+3/10=4/5，再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”原则，列式为1600×4/5=1280米[综合列式：1600×（1/2+3/10）或者1600×1/2+1600×3/10）]。同理，求解还有全长的几分之几没有修：用1-4/5=1/5或1-1/2-3/10=1/5，再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”原则，列式为1600×1/5=320（米）或者1600×（1-1/2-3/10）。

在小结时，通过研究对应关系可引导学生发现：“修了全长的4/5”和“修的米数”是相对应的两种量，所以用“全长的米数”乘以“修了全长的4/5”，就等于相对应修的米数。同理“还有全长的1/5没有修”和“还有多少米没有修”也是相对应的两种量，所以用“全长的米数”乘以“还有全长的1/5没有修”，就等于相对应的还有多少米没有修。如果教学中能够时时注意引导学生运用这种规律，将有助于寻求更加简单、直观的算法进行问题求解，促进教学效果提升的同时，也有助于拓宽学生思维。

例2：一个工程队要修一条铁路，第一季度完成了全长的1/8，第二季度完成了全长的1/10，结果第一季度比第二季度多修了4千米，问这条铁路总长有多少千米？此题教学时通常利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法”原理，通过列方程形式解答：解：设这条铁路全程为χ千米，可得：1/8×χ- 1/10×χ=4；1/40×χ=4；χ=160。在该解法中，可以发现1/8×χ- 1/10×χ是表示第一季度与第二季度所修的铁路千米数之差，正是相对应的第一季度比第二季度多修的4千米，这里体现了对应关系。

此题还可以列另一个方程：χ×（1/8-1/10）=4，从中也体现了这种对应关系。“全长的千米数”乘以“第一季度与第二季度所修全长的几分之几之差”就等于相对应的“第一季度比第二季度多修的4千米”。这样的教学思路和过程，学生显然更容易理解。除此列方程解答之外，运用算数解答，这种关系体现得则更加鲜明。即用“第一季度比第二季度多修的4千米”除以相对应的“第一季度比第二季度多修全长的几分之几”，就等于全长的千米数（也叫作已知部分求整体，用除法）。列式为：4÷（1- 1/8- 1/10）=160（千米）。

从以上两题解答中，巧妙地使用对应关系，不仅使教师便于教学，而且学生也更容易理解和掌握。此外，很多比例应用题中也体现了对应关系，并可以应用同样的思路进行求解。

例1：少年军校的同学进行行训练，他们3小时行57千米，照这样计算，5小时可以行多少千米？此题是典型的归一问题，也是正比例问题。它的解题方法可以有如下4种。

方法一：用算术归一方法，先利用题中条件“3小时行57千米”求出每小时行多少千米，也就是先求出速度为：57÷3=19（千米/时），然后再求5小时行多少千米：19×5=95（千米）。

方法二：用比例求解。解：设5小时行y千米，可得：57/3=y/5；y=57×5/3；y=95。仔细思考分析不难发现，方程里的“57/3”和“y/5”是对应关系。因为“57/3”表示每小時行多少千米（速度），“y/5”也表示每小时行多少千米（速度），即为同种对应关系。又根据题目中的“照这样计算”就是行进速度相等，所以可应用对应关系列出方程。

方法三：可以列出方程3/57=5/y，因为“3/57”和“5/y”又都表示行每小时需要几小时，所以它们也是同种对应关系，再根据题目中的“照这样计算”，意味着行每千米所用时间相等，因此根据对应关系可得出所列方程。

方法四：又可以列出方程3/5=57/y，可理解为在速度不变的情况下，前后行进所用时间之比等于相对应所行的路程之比，此种解法同样应用了对应关系。

例2：某地下午4时，一根6米高的杆子直立后，它的影长是4米，此时它的旁边还有一根9米高的直立杆子，其影长有多少米？如果应用算术法教学，可以先求出下午4时1米高的杆子的影长有多长：4÷6，再求9米高的杆子影长有多长，列式为：4÷6×9=6（米）。由于本题又是典型的正比例关系应用题，所以可用正比例方法求解。

解法二：设9米杆子的影长是y米，可得：6/4=9/y；y=4×9/6；y=6。分析可知，方程中的“6/4”是表示地面上1米影长的杆子物高多少米，9/y也是表示地面上1米影长的杆子物高多少米，它们在同地同时是相等的，所以是同种对应关系。

解法三是列成如下方程：4/6=y/9；y=4×9/6；y=6。方程中的“4/6”是表示地面上1米长的杆子影长多少米，y/9也是表示地面上1米长的杆子影长多少米，它们在同地同时是相等的，所以也是同种对应关系。

解法四是列成如下方程：6/9=4/y或9/6=y/4。即同地同时的物高之比等于相对应的影长之比，同样是利用的对应关系。

例3：在一幅地图上量得A、B两地间的距离是4.8厘米，而它们在地面上的距离是96千米，如果甲、乙两地相距240千米，那么它们在这幅地图上应该相距是多少厘米？这是比例尺问题，因为都是在同一幅地图上，所以所应用的比例尺是同一个。先把240千米换算成24000000厘米，96千米换算成9600000厘米，然后列方程解答。

解法一：设甲、乙两地在这幅地图上的距离是y厘米，可得：4. 8/9600000= y/24000000；y=4.8×24000000/9600000；y=12。本题的解答过程是根据同一幅地图上比例尺相等的原理列出方程，即同种量对应的关系，但在解答时，把240千米、96千米都转换成与图距单位统一的厘米单位后再进行解答，显然这种解法过于死板、繁琐，而通过对应关系，则可用下面的简单算法进行求解。

解法二：设甲、乙两地在图上的距离是y厘米，可得：4.8/96=y/240；y=4.8×240/96；y=12。可见，解法二比解法一要简单得多，它不要像解法一那样将题目中的四个量进行统一，而是利用“图距统一，实距统一”，即图距单位对应统一，实距单位对应统一。

总之，分数、比例应用题等类型数学题型的解答，是一个寻找对应关系进而应用对应关系的过程，如果能把以上对应关系巧妙的用于实际教学中，将会对提升教师的教学效果以及学生的学习掌握程度起到积极的促进作用。