基于范式视角看数学实验教学中“做”的基本特征

孙朝仁�お�

【摘要】将哲学范式观划分形态引进数学实验教学领域，其“做”的基本特征主要表现在以下四个方面：观察与直觉经验的一致性，表象与原型经验的一致性，表征与心向经验的一致性，迁移与再造经验的一致性.从实验主题、实验目的、实验任务和实验过程4个维度，进行思维学与素养观层面的研究，揭示数学实验教学中“做”的科学本体意义.

【关键词】教学范式；数学实验；基本特征；经验一致性

范式属于哲学领域的概念，是符合某种级别关系模式的集合.范式与后现代教育学联结表现为四种形式：“一是以教育、课程、教学为对象探寻范式内涵、历史流变、功能和价值；二是联结“范式”与教育、课程、教学等相关教育学概念开展主题研究；三是从认识论或方法论意义上探寻范式对教育学的静力与动力作用；四是将范式作为一个重要概念或方法融入陈述体系或作为一个重点论据支撑立论逻辑.”[1]将这种范式观划分形式引进数学实验教学领域则反映“做实验”的基本特征，即观察与直觉经验一致性、表象与原型经验一致性、表征与心向经验一致性、迁移与再造经验一致性.

本研究从实验主题、实验目的、实验任务和实验过程4个维度，进行思维学与素养观层面的研究，揭示后现代数学实验“做”的科学本体意义和价值特征.1观察与直觉经验的一致性

观察是思维的物质外壳，是对客观事物所进行的一种视思维活动.观察起于事实性经验，终于突发性经验，带有强烈的直觉思维特征.为此，数学直觉经验就是对数学对象本质的直接领悟，是对数学结构和关系的洞察.由于观察是一种带有普适特征的视觉思维活动，而视思维动觉形态是直觉经验的集中作用的表现，因此，观察强调实验主题与学习者直觉经验的内部关系一致.观察聚焦研究实验主题的拟定与设计的论证，关乎实验的机制、作用、功能和价值以及规则的合理性.

江苏省初中数学实验研究课题组为落实课程的“积累基本活动经验”目标，编写了《初中数学实验手册》（以下简称《手册》），共5册，分别是七年级上下册、八年级上下册和九年级全一册.每册都编制十多个实验主题，每个主题都突出“做”的可行性特征，通过“画”“折”“拼”等活动，发现与获得数学结论并加以验证，这就外显了观察与直觉经验显著相关的一致性关系.比如，七年级上册“火柴棒游戏”“平移、旋转、翻折”实验，七年级下册“搭三角形”“拼图”实验，八年级上册“折纸与含30°角的直角三角形”“打印纸中的数学”实验，八年级下册“‘做菱形”“折中位线”实验，九年级全一册“折纸与黄金矩形”“折纸与特殊角的三角函数”实验等.这里的“火柴棒”“投射性图形”“条件型纸板”“打印纸”等都是“做”的工具.观察是“直观的‘懂”的先行组织行为，直觉经验是身体力行“做”的后概念.为此，针对初中阶段学生形象思维占主导地位，抽象思维尚未成熟状态，让学生借助玩纸片、画图形、拼火柴棒等数学行为，实现了观察思维与直觉经验的联结作用，使得视觉思维运动与从天而降的直觉经验紧密相关并带有合理性和关系性特征，缩短了学生从形象到抽象的距离.

有许多文献研究了数学建模和数学实验系统模式，试图通过实验的工具性作用“培养学生的想象力、洞察力、直觉思维以及动手能力.”[2]这些带有直观形态特征的数学思维起于观察行为，终于直觉作用，而动手能力是在想象力、洞察力支配下发挥作用的，终归于直觉经验的结构化.上世纪90年代中后期，高校借鉴国外“做中学”[3]的教学模式，渐次将数学实验引进课程，努力实现“手工计算”向“应用计算机软件计算”[4]转变，充分展现计算机的工具性和应用性价值.借助计算机软件系统（Mathematica软件包）进行数学实验，在实验主题划分层面属于操作型实验，其功能在于符号演算、数值计算和绘图.由于该软件界面直观、文件小巧，因而便于观察.体现了观察力对直觉经验的作用，反映思维经验内部关系的一致性.2表象与原型经验的一致性

表象属于心理学概念，“是个体过去经历过某一事物，由此头脑中存储了有关这一事物形象的信息，当这一事物不在面前时头脑中出现关于这一事物的形象”[5].表象在数学心智技能形成过程中发挥重要的作用，关乎想像力，更关乎创造力.康德的“想象力能从真正的自然界创造出一个抽象的自然界”的观点也充分证实了这一点.原型经验是把头脑中观念的、內隐的、简缩的经验外化为物质的、外显的、展开的“心理模型”的过程（也称物质化过程）.源于原型经验具有概括性特征，这就使得表象活动与原型经验具有正相关性，表象越丰富，原型经验调用越清晰；表象越肤浅，原型经验提取越困难.表象突出“想像表象”的心理基础特征，重视原型经验在表象动作的心理支配下，认证数学实验目的的合情性和映射性，凸显表象与原型经验一致性的关系范式特征.换言之，就是实验目的的拟定应与学习者现实表象力水平一致，实验目的的修正应与学习者的原型经验结构匹配，方能切实发挥数学实验的工具性作用.

《手册》实验范例中的每个实验目的的确立，都以表象建立与原型经验匹配为依据.例如，“火柴棒游戏”实验目的为：通过动手操作与思考活动，提高对一些基本图形的认识能力.初中段学生经过小学六年的数学学习，具备拼正方形、长方形、三角形等基本圖形的能力，所以，学习者头脑中的原型经验与所开展的活动相匹配.借助火柴棒拼图的操作与思考活动，实现表象的过程性建立，达成提高对一些基本图形认识水平的目的.因此，从一定层面来说，表象现实与原型经验具有适配性.再如，“平移、翻折、旋转”实验目的为：通过观察、操作与思考，感受平移、翻折和旋转三种图形运动的过程，发展空间观念.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）指出，空间观念主要是根据实物特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动变化；依据语言描述画出图形等.平移、翻折和旋转属于描述图形运动变化范畴，与表象的概括活动直接相关；而“操作”的具体意义表现在依据语言描述并画出图形的空间观念思维形态，“感受”画出图形的过程必须建立在支取原型经验基础之上.因此，实验目的在表象动作的帮助下，与学习者的原型经验结构具有系统内部关系一致性.

我国教育心理学家通过教学实验，提出了原型定向、原型操作、原型内化的心智技能形成经验论.这一理论在中小学数学教育中发挥重要的作用，与安德森提出的认知阶段、联结阶段和自动化阶段心智模式具有一致性表象特征.这一心智技能培养模式运行的表象基础是原型经验的重组与调用.原型定向的作用指向程序性经验的获取，原型操作指向外显并付诸实施心理经验模式（活动计划），原型内化指向心智活动模式向头脑内部转化并以观念的形式存储.由此可见，原型经验的“定向”“操作”“内化”过程需要表象动作的运行，方能有“程序”“模式”“观念”等原型经验的监控与调节，体现实验目的与经验原型的一致性.比如，“折纸与含30°角的直角三角形”实验目的确定为：利用折纸探索并发现含30°角的直角三角形的特征.“含有30°角的直角三角形斜边等于该角所对直角边的两倍”的性质比较抽象，“传授式”教学难以建立清晰的定向表象，这里利用折纸活动进行直观表象契合学生的原型经验（直观的“做”），因此，该实验目的的确立与学习者原型内化水平存在一致性关系.再如，“打印纸中的数学”实验目的确定为：通过对A4纸的长与宽的估计、度量、折叠等活动，探索A4纸长与宽的比值，感受无理数就在身边.无理数概念的抽象程度高，由于“看不见、摸不着”，学生往往难以真正理解.这里利用比较、估计、度量、折叠等活动进行表象定向，在头脑动觉经验的原型支配下，实现对原型经验的改造与内化，便于学生对无理数概念的直观感受.因此，这一实验目的拟定与学生的原型经验相对接，在一定层面反映表象与原型经验的一致性.3表征与心向经验的一致性

表征是认知心理学的核心概念，是信息在头脑中呈现的方式，是对客观事物的反映.根据信息加工的观点，当有机体对外界进行信息加工（输入、编码、转换、存储和提取等）时，这些信息是以表征的形式在头脑中出现的.数学实验教学重视实验任务的表征性，任务的指向反映表征行为的两个维度：一是动作性表征（“做”数学），二是图形性表征（“画”数学），三是语言性表征（“说”数学）.由于表征行为发生需要心向（先于一定的活动而又指向该活动的一种动力准备状态）动力系统援助，因此，表征与心向经验存在现象上的一致性关系.

《手册》编制的每个实验任务（活动）都突出表征与心向经验的一致性关系特征.例如，“火柴棒游戏”的任务单是：一是用火柴棒拼正方形；二是搭三角形；三是图形变化（移动或去掉火柴棒）；四是数学思考（允许火柴棒交叉或搭成空间图形）.“搭”是动作表征的先行组织行为，图形变化是图形表征的集中表现，数学思考是语言表征的动力系统.而“搭图”“变化”“思考”等行为动作都是源于心向活动状态，是表征的执行行为.因此，在实验任务的背后揭示了表征与心向的内在联结，反映感性行为与理性行为的融通状态，易于发展学生的几何直观.事实上，真正的数学实验，不在于做了多少，而在于思考了多少，这与“大思考小计算”的中考考试导向相一致.为此，笔者认为，若能让学生及时“画”出所搭图形，则能强化学生的抽象能力，更有利于图形表征行为的正态发生.

曹才翰先生认为，随时组织和指导学生归纳出有关知识和技能方面的一般结论，然后结合必要的讲解，揭示结论在整体中的相互关系和结构上的统一性并纳入知识系统，对于提高练习的质量和效益都大有好处，所以“归纳总结，纳入知识系统”[6]应作为教学的一个基本环节.数学实验作为数学学习的一种有效方式，要避免张奠宙先生担心的“去数学化”[7]倾向.实验任务不是仅满足于趣味的“做”，而应更注重“做实验”后的数学抽象、“思考”后的归纳概括.这里的“做、思考”等都是动作表征的具体化行为，数学抽象是图形表征的一种思维现象，归纳概括是语言表征的一种思维形态，无论是思考、抽象，还是归纳都是心向运动指向作用的理性表征过程.因此，数学实验中的表征与心向经验存在一种内驱关系一致性.4迁移与再造经验的一致性

现代迁移理论认为，任何有意义的学习都是在原有学习基础上进行的，有意义的学习中一定有迁移.可以说，迁移本质上是新旧经验的整合过程，整合可以通过同化、顺应与重组来实现.整合是新旧经验的一体化现象，通过分析、抽象、综合、概括等认知活动，使新旧经验相互作用，进而形成结构上的一体化、系统化，在功能上能稳定调节活动的一个完整的心理系统.数学实验中的迁移关注学习者原有认知结构的清晰性、稳定性、概括性、包容性、连贯性和可辨性等特性对新知的获得与保持的影响.也就是说，实验过程要立足于学生的事实经验，让学生在“做”“思”“用”的实验过程中实现“经验再造”，从而促进学生行为认知的正向迁移.事实上，学习者利用原有的数学经验在对信息进行加工处理时，个体会按照自己理解的深度、广度，并结合自己的感知、记忆、思维、联想的特点，使原有的数学经验得到迁移、分化、重组、改造.从这种逐步趋于完善数学经验的过程行为来说，迁移与经验再造具有内在结构范式一致性.

例如，“折纸与含有30°角的直角三角形”的实验过程，就体现了迁移行为与经验再造的一致性关系.首先，让学生用A4纸任意折角，在学生折出45°、225°、675°等与“2倍”有关系的角度后，抛出“如何折出30°的角”的实验问题，体现了问题设置的迁移.其次，在转化思想的指导下，让学生自主探求“折等边三角形”的问题并说明理由，体现了过程探究的迁移.最后，让学生剪下折得的含有30°角的直角三角形，经历折角平分线的过程，探求图形中一些相关线段的数量关系，体现了思维转化的迁移.如果说第一个活动是经验再造的先行组织行为，那么，第二个活动则是加工、重组、改造等整合经验的行为，而第三个活动是经验再造的表现与迁移行为关系一致性的具体体现.诚然，为了观照个体的事实经验水平，在学生折出“30°角”后，教师应该借助几何画板软件的动态功能，演示折叠流程（见图1），让学生的“个体经验”公共化并客观化，为后续的经验的再造和迁移提供可能.另外，为正向迁移活动经验，笔者认为，让学生在联结思想的指导下，探讨“如何折出75°角”的问题不仅必要而且重要.理由如下：一是75°角是迁移的“重要事件”，带有鲜明的个体认知特征，学生可以在折纸探讨中回归“30°→15°→75°”与“2倍”联结的前经验，反映“折纸”经验的再造；二是“含有30°角的直角三角形的斜边等于直角边的两倍”的性质的直观化与理性化的“和合”行为表现，有利于迁移行为的上位转化，实现“折是为了不折”“再造是为了创造”的数学实验教学的终极目标.

Hiebert和Lefevre把数学知识分成两类，即概念性知识（conceptual knowledge）和程序性知识（procedural knowledge）.这里的“程序性知识”就是通过操作形式化的数学语言或符号表征体系，执行已有的算法或程序，达到完成任务的目的.数学实验本质就是程序知识的直观化.因此，程序性知识从迁移视角可以被看成是一种技能（skill）.而任何技能的形成与发展总是与经验再造行为密切相关，迁移实验经验的过程就是不断精致其内部经验结构，扩张其外部联系的过程，实现经验的重组与再造.为此，数学实验教学需要通过知识内部关系，让学生形成知识网络，但不应是主流，而要以“程序性教學”为数学实验的主流，让“做实验”体现真正的数学实验课的内在特征，体现迁移与经验再造相统一的实体意义.

参考文献

[1]赵康.大概念的引入与教育变革[J].教育研究，2015（2）：33-40.

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[3]刘丽颖，黄翔.美国数学教材中的“动手做”[J].数学教育学报，2005，14（2）：53-55.

[4]高洁，周玮.在高等数学课程中开展数学实验教学的探索与研究[J].数学教育学报，2005（3）：86-90.

[5]彭聃龄.普通心理学（第三版）[M].北京：北京师范大学出版社，2004∶78-254.

[6]章建跃.立足中国国情，积极稳妥地进行数学教育改革——为《曹才翰数学教育文选》出版而用[J].数学教育学报，2006，15（2）：93-96.

[7]洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生.《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询——访谈张奠宙先生[J].数学教育学报，2015（3）：35-39.

作者简介孙朝仁（1967—），男，江苏省连云港市人，中学正高级教师，中学数学特级教师，主要研究初中数学实验的设计与实施.