“数概念”核心经验概说

田方

数概念是学习其他数学概念的基础。在日常生活中，数可以用来表示各种客观事物的量，量可以用数字符号来表示。幼儿生活在数的世界中，会在日常生活中不断接触和用到数。学前儿童数概念的学习与发展包含着丰富的内容，其中最核心的三个方面是计数、数量比较和理解数字符号含义。

核心经验要点一：通过计数确定一个集合的数量，掌握五个计数的基本原则

计数与儿童数概念的发展有着密切关系，通过计数可以确定一个集合中的数量。计数是一种有目的、有手段、有结果的活动，其目的是确定集合的数量，其手段是运用数数的方法和策略，其结果是用数字来表现。计数（count）亦称数数，就是将一个具体集合的各元素与自然数建立起一一对应关系，通常方法有口说数字、手点实物，使数字和要数的物体一一对应，结果用数字来表示。

计数一般包括记忆计数和理解计数两种类型。记忆计数主要是指按顺序从记忆中提取数字。如果幼儿能够说出“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”，就说明他已能在记忆层面准确计数1到10。通常我们所说的唱数就是记忆计数，是幼儿掌握序数的主要方法。很多幼儿都能在进入幼儿园之前唱数1～20，但能唱数并不代表就能正确计数。因为有意义的数数，既要能够记住顺序或者数字的名称（记忆计数），又要能够有原则地数数（理解计数）。“理解计数”是指能够把每个数字和集合中的具体物体对应起来，它建立在理解一一对应概念的基础上。如果幼儿能每次手指着饼干说“一块饼干，两块饼干，三块饼干”，那就说明他已能成功地在“理解计数”的水平上数出3个物品。理解计数是一种高水平的一一对应，它是幼儿在协调对应关系、序列关系和包含关系的基础上表现出来的点数并说出总数的数数水平。美国心理学教授格尔曼等人认为幼儿计数能力的发展受计数原则的影响，幼儿在3岁时就能逐渐了解计数实物的原则，但只有当他们已熟练掌握计数的全部五个基本原则时，他们才算真正能“理解计数”。

●一一对应原则

一一对应原则，是指幼儿在数数时必须理解要数的集合中的每一个元素只能对应于一个数字，也就是说一个集合中的物体必须且只能点数一次。计数活动的过程就是把要数的那个集合的元素与自然数列的集合建立起一一对应关系的过程。学会一一对应的方法是幼儿掌握计数和正确理解数量的实际含义的基础。对幼儿来说，要掌握这个原则需要经过大量的练习，并在理解集合概念的基础上不断得到强化。幼儿在掌握这一原则的过程中通常表现为将嘴里说出的数字和手眼一致点数物体的动作一一对应起来，一个数字对应一个物体，直到所有的物体都被点数一遍。一个物体只能数一次，一个数字也只能用一次。在这个过程中，幼儿容易出现两种错误情况：（1）手和口不匹配，譬如手点得快，嘴数得慢。（2）在数数时忘记已经点数过而产生重复数问题。

●固定顺序原则

固定顺序原则，是指用于数不同物体的数字顺序是固定不变的，它是由数字本身特定的规律所决定的，如用“1、2、3、4……”的顺序去数一个集合，再数另一个集合时，也应当是相同的顺序，即3总是在2的后面、4的前面。对幼儿来说，唱数就是熟悉和掌握这一原则的具体体现。

很多幼儿在将计数与实物联系起来时仍比较困难，比如正在学计数的幼儿可能在数13个物体时口中念的是“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13”，即跳过或忘记将11“标记”给一个实物，这说明幼儿还没有很好地掌握10以后的数字顺序，这也与幼儿不能同时运用固定顺序原则和一一对应原则有关。数字名称的顺序是固定的，所以记住数序是掌握固定顺序原则的重要前提。但是，要想真正理解固定顺序原则，不能仅仅依靠机械背诵数字顺序的方法，因为固定顺序原则也体现了模式和结构特点，即每一个数都比它的前一个数多1，比它的后一个数少1。

●顺序无关原则

顺序无关原則是建立在固定顺序原则基础上的，也是由一一对应原则推理而来的。它是指在数数时结果是唯一的，与被数物体的顺序无关，无论是从左往右数，还是从中间往两边数、转圈数，其结果总是同一个数，简而言之，即集合的总数与点数这个集合时物体的顺序无关。幼儿掌握这一原则需要积累一定的数数经验，因为幼儿早期常会受物体排列顺序的影响而产生计数错误，同样的五个糖果如果从左到右排成直线，幼儿就比较容易点数，但如果散乱无序地摆放，幼儿就比较容易漏数或重复数。随着数数经验的不断丰富，尤其是在有了对不同排列形式和摆放位置的材料进行计数的感性经验后，幼儿才能慢慢体会到顺序无关原则。

●基数原则

基数原则，是指计数到最后一个物体时的数字代表该集合的总数。基数原则看起来比较简单，但是要理解它就会涉及数字的两种不同用法：其一，幼儿要为点数过的物体赋予数字名称，同时还要使用正确的数序（固定顺序原则），每个元素必须且只能点数一次（一一对应原则）。其二，点数结束时，幼儿要用点数到的最后一个数字来命名这个集合的总数。这个数字的意义不同于在点数集合时说出的最后一个数字，前者是表示点数过的集合的总数，而后者不仅是对最后一个物体的“命名”，也标志着点数的结束。

●抽象原则

抽象原则，是指任何由可数实体组成的集合都可以进行计数。这一可数实体既可以是感知性的材料，也可以是非感知性的观点、想法等，但数数的原则同样适用，因为计数的结果是抽象的。

核心经验要点二：数量是集合的一种属性，不同数字可以用来表示不同的数量，两个集合的数量可以用来进行比较

任何一个集合都有多种属性，如物体的颜色、材质、图案等。但实际上，数量也是集合的一种属性。例如，三朵花，三只蚂蚁，三把椅子，数量3是它们的共同属性。回答“多少”，是计数活动的基本目的，知道“多少”能帮助幼儿在日后有意义地进行数运算。知道多少，不仅是在计数，还是在进行集合比较，即比较不相等的数量或者确认相等的数量。幼儿在计数能力有了进一步发展之后，就会更加确切地进行数量比较。通常，幼儿进行数量比较的方法有如下几种。

●目测

幼儿在比较两个集合元素数量多少的时候，通常会采用目测的方式，即一瞬间看到集合数量（数群）。

●视觉提示

幼儿通常是以看到的物体的大小、排列形式等外显特征来判断数量多少的。例如，教师出示两组数量一样、材料和形状相同但大小不同的积木，问幼儿哪组积木多、哪组积木少，幼儿往往会认为大的那组积木多，小的那组积木少。可见，幼儿会受物体的大小、空间排列等影响而产生错误判断。

●一一对应

幼儿在尚不会准确计数时，通常会运用一一对应的方式来比较两组物体的数量。他们会将两组物体加以重叠摆放，或者进行直线式排列，这种情况下幼儿通常会很快比较、判断出两组物体的多少。随着比较经验的不断丰富，幼儿会在此基础上判断出“多多少”“少多少”。

●数数

幼儿学会数数后，就会通过点数去比较两组物体的数量，判断出两组物体哪个多、哪个少。当数量比较的经验足够丰富时，他们就会进一步得出“多多少”“少多少”，逐步涉及有关数运算的经验。因此，数数、数量比较是幼儿后续学习数运算的基础。

应当注意的是，已有研究证明，学前儿童还不能自发地运用数数去解决数量比较的问题（要到5岁半后才能得到较好的发展），他们常会使用目测或者一一对应的比较方法。可见，集合呈现的方式会影响幼儿对两个集合的数量比较。《3～6岁儿童学习与发展指南》明确指出，3～4岁幼儿能够通过一一对应的方法比较两组物体的多少，4～5岁幼儿能通过数数比较两组物体的多少。幼儿在掌握数数的基本技能之后，数量比较的结果就会逐渐精确起来，从而为他们学习数运算、理解数量的变化打下坚实的基础。

核心经验要点三：生活中充满着数字符号，数字除了可用于表征数量之外，还有种种不同的含义

日常生活中充满了数字，学前儿童在理解和使用数字之前就已经开始接触数字。例如门牌、电话、闹钟、车牌、运动衣上都有数字，不同的情境下，数字符号代表的意义各不相同。因此，让幼儿认识数字，不是纯粹的让他们认读数字，而是要引导他们理解数字所表达的实际意义，理解数字是在抽取实物相关特征的基础上，对其本质特征的一种概括和提炼。幼儿在生活中接触到的数字较多是用以表征数量的，此外还有表征次序或位置，以及表征名称或时间的。幼儿平常接触到的数字所表征的含义大致有以下四种类型。

●基数

基数是指用来表示集合中元素个数的数。与命名数、参照数不同，基数和序数是幼儿建立数感的重要基础。基数能够回答“多少”的问题。比如，“今天班里来了几个小朋友”，如果答案是20，20就是一个基数，它表示班里出勤的小朋友这一集合的数量。理解基数的含义是进行数数以及数运算的首要基础。

●序数

序数是用以表示集合中元素排列次序的數。序数并不表示数量，而是具体指明排列次序。序数还能用来比较数量属性，比如，如果一个玩具娃娃在五个娃娃中第二高，那就是还有一个娃娃比这个娃娃高，是第一高的，这个娃娃比其他三个娃娃高，排在其他三个娃娃前面。

基数和序数的含义既有区分又有联系，如幼儿在数一盘糖果时，点一块，数一块，点到最后一块时，数出的数字“6”就表示了这盘糖果的数量，这是基数的含义；若幼儿手点第6块糖果，说出数字“6”，代表的就是序数的含义。刚开始学习基数和序数时，很多幼儿容易将两者混淆，这是幼儿发展过程中的正常现象。理解这一点，有助于教师根据幼儿的特定回答，洞察他们的思维过程，从而帮助他们形成稳定的基数概念。

●命名数

命名数是指用来给一个集合中的元素命名的数，如电话号码、电视频道、社会保险号、邮编、运动衣上的数字、房间号等，它们只是一个名称或分类编号，主要用以标记和识别。它们并没有实际的数学意义，不表示数量、身份或其他的测量结果。

●参照数

参照数是指用以共享的衡量标准。例如，当钟表上的时针指向10时，孩子们就知道户外活动时间到了。我们把这个数称为“参照数”，因为它是可以共享的衡量标准。这些数字是用作参照的，就像命名数一样也没有实际的数学意义，例如我们经常会说“明天下午4点见”或者“明天暖和，大概有25摄氏度”。尽管参照数也可以排列或者比较，如20摄氏度要比10摄氏度暖和，或者下午3点要比下午4点早一个小时，但我们一般不对这些数字进行数学思考。