启迪数学思维，关注数学本质——平行四边形的面积练习课的实践与思考

浙江杭州市萧山区益农镇中心小学 李国良

启迪数学思维，关注数学本质
——平行四边形的面积练习课的实践与思考

浙江杭州市萧山区益农镇中心小学 李国良

练习课在小学数学中占有很重要的地位，它是对新知识的巩固、发展与提升。平行四边形课后练习11个小题有一半以上内容是对平行四边形面积的进一步理解，特别是涉及面积大小的两个要素底和高。笔者试着对其内容进行整合，在重视数学基础知识和技能的同时，构建起突出数学的基本思想和本质的课堂，以发展学生数学思维。

启迪 思维 本质

【教材分析】

思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映，它是认知的核心成分。数学是思维的体操，让学生在掌握数学知识的同时学会思考，促进其思维发展是数学教学的灵魂，也是每一位数学教师所应追寻的价值取向。

人教版数学五年级上册第六单元练习十九，是一节学习了“平行四边形的面积计算公式”后的专项练习课。教材中除了紧接新授课安排的一些简单计算和解决问题（1～5题）之外，有一半以上的篇幅（6～11题）涉及对平行四边形面积的进一步理解以及在理解的基础上解决问题，其中第6、7、8三道题（如图2～图4）主要涉及平行四边形面积的决定要素——底和高；而第5题（如图1），更像把平行四边形放在了一个坐标系中进行研究。细细分析这些题目，它们的最大特点是通过对面积的计算来理解平行四边形的面积与其高和底的相关性，发展学生分析问题、思考问题的能力。

【教学实践】

怎样有效地利用这些题目，让学生通过解决问题，实现在认知和思维能力上得到进一步的发展？笔者抓住问题本质，以学生存在疑问的点为切入口，将题目进行有机整合，以便关注平行四边形面积的本质，启迪学生的数学思维。

一、在比较辨析中，进一步理解“高”与平行四边形面积的关系

平行四边形面积计算公式的推导主要是通过割补法来得出，而学生在新授课时容易把平行四边形的面积计算方法定位在“底×邻边”上。因此，“高”是决定平行四边形面积的其中一个因素，必须进一步加以理解。

课始，进行一些简单的基本练习之后，笔者抓住：“根据平行四边形易变形的特性，把它进行拉动，思考平行四边形的面积是否发生变化？”课件出示平行四边形的拉动过程，并将其中两个平行四边形作为研究对象，辅之以网格图（如图5），在引导学生作出判断并用自己的方法加以证明。很快，有的学生通过“整体剪拼”的方法，将平行四边形转化成长方形，并得出长方形的长相等、宽不同，因此面积不同；有的学生则通过计算，得出第一个平行四边形的面积为18cm2，第二个平行四边形的面积为12cm2，两者面积不同；有的学生则从平行四边形的面积计算公式出发，发现两个平行四边形底相同，高不同，第一个平行四边形的面积更大。

图5

图6

在此基础上，笔者出示图6两个平行四边形，让学生比较它们之间的面积大小。有了刚才的经验，学生很快得出结论，两个平行四边形的面积一样大，因为它们底和高一样。随后，把图6中右边的平行四边形移动到与左边图形的底重合（如图7），接着再出现一个平行四边形（如图8），进一步明确等底等高的平行四边形面积相等。

通过两组素材的对比，学生进一步体会到了底和高作为平行四边形的两个重要元素，决定了平行四边形的面积大小。当然，作为特殊的平行四边形，长方形的面积由它的长和宽决定。这一点学生也在原有的认知基础上，有了更深的体会。之所以将这两个问题进行整合，是因为它们之中一组是等底等高的平行四边形，另一组是等底但不等高的平行四边形。在处理教材时，我们需看到它们的不同之处，更应看到它们背后的本质问题，即在底相等的情况下，高决定了平行四边形的面积大小。

图7

图8

二、在动静结合中，进一步理解“同底”条件下平行四边形的面积关系

在完成第一个环节后，笔者继续利用刚才的素材进行提问：第一组的平行四边形拉动时，什么时候面积最大？为什么？学生通过观察和思考，以及对平行四边形面积计算公式的理解，很快发现在底不变的情况下，高最大时面积也最大。当拉成长方形时，高也就是长方形的宽是最大的，此时，平行四边形就是长方形，面积最大。笔者继续追问：有没有面积最小的时候？学生自然顺着前面的思路回答：有，当高为0的时候，平行四边形面积最小。笔者没有急于下结论，而是问：再想想，如果高为0，这个平行四边形会怎样？此时，出现了不同的声音：

生1:当高是0时，平行四边形就变成了一条线段，它的面积最小。

生2:高不能是0，如果高是0，那平行四边形就没有了。

看到学生已经隐约感受到了高的取值范围，笔者表示赞同第二种意见：平行四边形的高无限接近0，因此它的面积也无限接近0，但不会等于0，否则就不能称之为平行四边形了。

学生在新授课中通过剪拼等方法得出平行四边形的面积计算公式后，容易将之它视为孤立的、静态的规则。因此设计这样一个环节，使静态化计算面积的方法动起来，并进一步体会高的变化引起的面积变化。另一方面，也让学生适当地体验变量的取值范围，初步渗透极限思想。

三、在图形变化中，进一步理解“底和高”两个维度与面积之间的关系

紧接着，笔者趁热打铁，先后出示了以下内容（如图9～图10），使学生加深对平行四边形中底和高的作用的认识。

图9

图10

学生通过两组图形的观察、思考和交流，进一步加深了对平行四边形的面积大小由底和高决定的理解。

在观察两组图形时，学生发表了如下意见：

生1：（图9）竖的那一组平行四边形底不变，高在变，面积也在变，它们的面积变大了；横的那一组图形，底在变长，高不变，面积也变大了。

生2：（图10）平行四边形的底和高都在变化，它的面积变化更大了。

教师追问：看来，是谁决定了平行四边形的面积大小？

生：平行四边形的底和高决定了平行四边形的面积大小。

师：那长方形呢？

生：长方形的长和宽。

师：长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么相同之处？

生：它们都是朝着横和竖两个方向的。

在此基础上，教师出示面积单位cm2、dm2、m2、km2，请学生说说对这些单位的理解。一开始学生对这些面积单位没有特别的感受，于是，笔者提醒学生应与刚才的发现相结合，在教师的提示下，学生逐渐有所感悟。

生1：这些单位都有平方，单位右上角都有一个“2”。

生2：这些单位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。

生3：这些单位表示（图形的）两个方向（维度）相乘。

随后，笔者继续设疑（出示图11），要求计算出三个平行四边形A、B、C的面积，并分析比较底和高的变化与面积变化的关系。

图11

生1：A的面积是6×5=30，B的面积是12×10=120，C的面积是24×20=480。

生2：我发现图形A与图形B之间，底扩大2倍，高扩大2倍，而面积扩大了4倍。

生3：图形B与图形C之间，底扩大2倍，高扩大2倍，面积就扩大了4倍。

生4：图形A与图形C之间，底扩大4倍，高扩大4倍，面积是30和480，面积扩大了16倍。

生5：这些图形的底与高和面积之间的倍数关系是底扩大的倍数乘高扩大的倍数，就是面积扩大的倍数。

这一环节是对前面两个环节的整合与发展，通过图形之间的整体变化让学生进一步理解平行四边形的底和高与面积的关系，帮助学生通过迁移、拓展，从整体的视野来加深对两种平面图形的面积及其计算方法的认识，同时在学习与思考的过程中，理解底和高的变化与面积变化之间的关系，为后续学习三角形、梯形等平面图形的面积打下认知基础。

从二维的角度去分析面积及面积的计量单位，有助于帮助学生将图形、面积计算公式、面积单位及面积单位间的进率有机统一起来，形成整体，便于理解。学生对面积的二维性质的理解，也有助于为后续更好地理解立体图形的相关内容做准备。

【教学反思】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。体会数学知识之间等的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”这为我们的数学教学指明了方向：在重视数学基础知识和基本技能的同时，更应关注数学的基本思想和基本活动经验，为学生的后续发展奠定基础。当教材中出现能够发展学生数学思维、拓宽学生视野的素材时，作为数学教师应有敏锐的嗅觉，及时捕捉住这些有价值的学习素材。

上述三个环节的学习与研究，结构上环环相扣，内容上层层深入，紧紧抓住平行四边形易变形的特性，从底不变、高的变化来分析平行四边形的面积变化；再到等底等高面积相等，然后同底条件下研究什么情况下面积最大，什么情况下面积会越来越小；最后研究底和高均发生变化与面积变化之间的联系。在掌握数学基础知识、发展数学基本技能的同时，学生的思维得到了充分发展。学生分析问题的角度慢慢从一个维度逐步向两个维度推进。

小学阶段的数学学习，不仅需要教授数学知识，使学生掌握数学基础知识及其运用能力，更需要通过数学知识的传授过程，着重培养学生的数学思维能力，为学生的后续发展提供保障。例如，在“长方形、正方形的周长”单元中，教学时不仅要让学生明白周长计算的一般方法，而且还要让学生明白有时只需要知道长与宽的和，就能计算出它们的周长。这样，学生的思维就得到了一定的提升与发展。人教版教材中还安排了一节图形的拼组：16个正方形拼成的长方形和正方形，哪个周长大，哪个周长小？如果老师把这节拼组课作为基础，再继续深入的研究（如图12），按图中的拼法，拼成后的图形周长是多少？引导学生通过几个正方形周长之和减去重复边的长度和，那么拼成后的周长和是2a（n＋1）。这样学生不仅掌握了这类图形拼组后计算周长的一般规律，而且为六年级数形结合的规律探究打下了基础（如图13）。一张方桌每边坐一个人，如果按下图拼在一起，n张方桌可以坐多少人？这题的思路与图12的思路完全一致，a=1，拼成后可以坐的人数为2（n＋1）人。

图12

图13

总之，教师要善于结合教学内容、善于创造良好的思维环境来激发学生积极地思维，重视数学思维品质的培养来提高思维能力，注重数学思想方法的教学来挖掘学生的思维潜能。