高中导数理论的学习初探

高娅杰

世界上的实物是瞬息万变的，因此，不断认识事物的变化规律是我们面临的重大问题。高中数学的学习不仅关注着事物内在的数量关系还特别重视变量之间的函数关系，研究函数的变化趋势不仅是现实的需要，更具有十分重要的理论意义。在高中课堂中提出导数的概念，使我们更进一步理解了变量之间的关系，不可否认，导数在高考中占据着举足轻重的地位，导数思想和方法也成为解决变量问题的基本工具，同时为进一步学习数学和其他学科奠定了基础，因此需要我们认真学习，进一步研究。

导数在课本中是这样定义的：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0，即。如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。不难看出，导数的几何意义是函数曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

导数理论的应用在高中数学的学习中是我们经常混淆的地方，因此我总结了以下两个重点和难点：

1.通过导数判断出函数的单调性

这一部分主要是利用导数的定义和题目所给条件判断出函数的单调区间，可以运用数形结合的方法化抽象为具体，帮助我们更好的理解函数和函数单调性之间的关系。在高中课本中是这样定义导数和函数单调性的关系的：如果在（a，b）内，f'（x）>0，则f（x）在这个区间内是单调递增的，（a，b）则为f（x）的单调递增区间。如果在（a，b）内，f'（x）<0，则f（x）在这个区间内是单调递减的，（a，b）则为f（x）的单调递减区间。我们必须牢记，当遇到判断含参数函数的单调性这类题目时，不但要考虑参数的取值范围还要根据函数的定义域来判断f；'（x）的符号，否则可能会带来误判。通过做题经验，我建议大家形成这样的思想：“先求定义域，再求单调区间”。可以按照以下步骤来求解这部分题目：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求出导函数f'（x）；（3）通过f'（x）>0（或f'（x）<0）求出相应的x的范围，再根据当f'（x）>0是f（x）在相应的区间范围内是单调递增的，当f（x）<0时，f（x）在相应的区间范围内是单调递减的。当确定了导数和函数单调性意见的关系后，我们就可以利用这种关系来求函数中含有某些参数的问题。这类题型一般会给出函数在哪个区间上是单调递增的在哪个区间上单调递减的，让我们求参数的范围。这时，求解参数的范围实际上还是相当于求出函数的单调区间。需注意的是，题目中给出的单调区间一定是我们最后求出的单调区间的一个子集，我们便可以利用这个条件，通过集合的有关知识或者转化为恒成立问题来求解。当然还可以利用导数来证明不等式f（x）>g（x）这类问题，需要我们先构造一个函数F（x）=f（x）-g（x），然后求出F（x）的导数，根据F'（x）确定函数的单调区间，利用函数的单调性证明题目要求的不等式。在求解上述类型题目时都要时刻牢记数形结合的运用，通过图形化抽象为具象。

2.通过导数分析函数的极值

这部分要求我们学会根据已知导数求解函数的极值和最值，由于极值点和最值点的易混淆使这部分内容成为我们头痛的地方，必须清楚认识极值和最值的区别。根据极值的定义我们可以知道取到极值的点称為极值点，极值点指的是自变量的值；极值指的是函数值，即当x为极值点时f（x）的值。另外，极值是一个局部概念，而函数的极值点必定会出现在这个区间内部，区间的端点不能成为极值点。在某些情况下函数的极值是不唯一的，要根据具体条件具体分析。在求极值时，我们一般先令f（x）=0，求出x的极值x ，再判断x 两边f（x）的符号的变化，从而判断出x 是否为极值点，再根据图像和性质得出是极大值还是极小值点，从而进一步求出所对应的极值。当然还需要注意一点，虽然极值点出的导数一定是0，但导数为零的点不一定都是极值点，需要具体问题具体分析。不难发现，极值表现的是函数在某一点时的局部的性质，而最值则表示函数在整个定义域里的性质；极值只可以在区间内取到，而最值则可以在断点处取到。因此，在求解导数f（x）在[a，b]上的最值时，可以将步骤规范如下：（1）求出f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与区间端点值f（a）、f（b）比较，其中最大的则为最大值最小的则为最小值。

学习数学绝不是死记定理、公式，不是空洞的解题训练，仅注重其形式化的表面，是无法把握数学的实质的。数学的存在和发展是基于某种实际需要的，了解这种需要，即数学各部分的作用，有助于对数学这个有机整体的认识，不假思索的接受，难以导致对数学的真正了解，因此亲身接触活生生的数学就显得尤为重要。这就需要学习中对每个问题都能亲自思考、透彻理解。我通常习惯于在遇到新概念时，自己先分析、推导一下它的性质；碰到定理、公式时自己先试着证明一下，这样再学习书本上的内容时，与自己所思考的有种比较，对知识的体会就更多些，理解也能更深一点。众所周知，数学需要严密的逻辑推理，但逻辑上的推理却不足以代表数学的全部。如本世纪的大数学家柯朗所说："过分着重演绎公式的数学特性可能失之偏颇，创造性发明以及起指导和推动作用的直觉的要素才是数学理论的核心。"数学很重要的几个因素就是逻辑与直觉、分析与创造、一般性与个别性，正是他们的综合交错作用才构成数学的丰富内涵。要学好数学，只有将自己置身于其中，亲自去体会，才能发现数学的魅力。