交互作用不确定下的项目组合选择鲁棒决策

陶 莎, 盛昭瀚，朱建波

(1.南京大学工程管理学院, 江苏 南京 210093；2.互联网+与大数据时代的中澳重大工程管理合作创新联盟)



交互作用不确定下的项目组合选择鲁棒决策

陶 莎1,2, 盛昭瀚1,2，朱建波1,2

(1.南京大学工程管理学院, 江苏 南京 210093；2.互联网+与大数据时代的中澳重大工程管理合作创新联盟)

项目间交互作用以及参数不确定性增加了项目组合选择问题的复杂性和求解难度。研究带有不确定项目收益交互和资源交互作用的项目组合选择问题。建立鲁棒性可调节的鲁棒优化模型，通过模型逐步推导，建立与之等价的线性混合整数规划模型。例举一个研发项目的算例，用CPLEX求解并对实验结果进行分析。结果表明，该方法可以灵活地控制最优解的鲁棒性，适用于不同风险偏好的决策者，为项目管理者提供决策支持。

项目组合选择；项目交互作用；不确定性；鲁棒优化；可调节鲁棒性

1 引言

项目组合选择(Project Portfolio Selection)是项目管理和工程管理领域中最重要的决策问题之一。项目组合选择是指在资源等约束条件下，从一个备选项目集合中挑选一个最合适的子集以实现一个或多个目标[1]。伴随着项目交互作用、参数不确定性、多目标等特征的加入，项目组合选择更加复杂且难以解决，从而引起诸多学者的研究兴趣[2-4]。

早在1991年，Roussel等建议项目管理应考虑项目活动之间的相互影响关系，用整体和系统的观点看待项目组合问题[5]。项目间的交互作用(Project Interaction/Project Interdependence)是指项目之间相互依赖或排斥关系、资源消耗的相互影响、项目收益的相互影响等关系[4-6]。项目交互作用增加了项目组合选择问题的复杂度。Yu等[4]建立收益交互作用下的多属性项目组合选择的0/1整数规划模型。杨颖等[6]考虑项目交互作用以及项目与企业战略的匹配度，建立基于战略一致性的项目组合选择模型并设计模拟退火算法求解。

现实中的项目组合选择问题通常面临一些关键信息的不确定性，比如项目收益回报、资源可得性、资源消耗量等。针对带有参数不确定性条件的组合选择问题，许多学者用随机变量或模糊变量刻画不确定性参数，并利用随机优化理论、模糊理论、风险价值模型等方法求解满意解[2-3,7-10]。尤其，在现实的项目管理中，项目之间的相互影响涉及的要素众多、关联复杂，因此项目间的交互作用通常具有更严重的不确定性，难以估计其概率分布。鲁棒优化方法正是应对的参数先验概率分布未知的决策问题，以克服传统随机优化理论对假设和分布估计的依赖性[11]。鲁棒优化中的不确定性参数用离散的情景[12-13]或连续的区间[14-15]描述。鲁棒优化的目的是要找一个对不确定参数的变动不敏感(稳健)的满意解，称为鲁棒决策方案。鲁棒决策方案能在不确定参数变动的情况下，仍保持较高的质量，包括解的可行性和目标水平。Hassanzadeh等[15]研究了目标参数和约束参数不确定下的多目标项目组合鲁棒优化模型。利用切比雪夫法处理多目标，再将模型转化为等价的线性模型求解。考虑专家对项目的评价以及专家自身偏好的不确定性，Fliedner和Liesiö[16]研究多属性项目组合选择问题，并设计了一种鲁棒性可调节的决策支持方法。然而，目前鲜少有学者研究考虑项目交互作用不确定条件下的项目组合选择的鲁棒决策问题。

基于上述分析，本文创新性地考虑项目交互作用不确定且概率分布未知这一现实特征，研究项目交互作用不确定条件下的项目组合选择问题。

2 项目组合选择优化模型

本文除了考虑资源约束之外，还考虑多项目间的收益交互影响、资源消耗交互影响两种交互作用。首先，不考虑参数不确定性，建立项目交互作用下的项目组合选择模型。

模型涉及的集合、参数和变量符号列表如下。

集合与索引变量P={1，…，|P|}备选项目集合，共有|P|个备选项目，i∈P；R={1，…，|R|}资源集合，共涉及|R|类资源，k∈R；V={1，…，|V|}收益交互影响集合，v∈B；U={1，…，|U|}资源交互影响集合，u∈U；Mv={1，…，|Mv|}产生收益交互作用v的项目集合，Mv⊂P；Nu={1，…，|Nu|}产生资源交互作用u的项目集合，Nu⊂P；已知参数bi项目i的基本收益，即不考虑项目之间收益交互影响的项目i的收益；ri，k项目i对第k类资源的基本需求，即不考虑项目之间资源交互影响时项目i对资源k的需求量；R-k资源k的总供给量；ev收益交互作用v引起的额外收益或损失。ev>0表示产生额外收益ev；反之，表示额外损失-ev；su，k资源交互作用u引起的对第k类资源的额外消耗或节省。su，k>0表示额外损耗数量su，k的资源k；反之，额外节省-su，k资源k；决策变量xi∈{0，1}项目组合方案是否包含项目i；yv∈{0，1}收益交互影响v是否生效；zu∈{0，1}资源交互影响u是否生效。

该问题可以建立为线性整数规划模型[M1]。其中，目标函数(1)表示项目组合的总收益最大化。总收益包含各个被选择执行的项目的基本收益总和∑i∈Pbi·xi，以及收益交互影响产生的额外收益/损失总和∑v∈Vev·yv。公式(2)表示资源约束，其中，∑u∈Usu,k·zu计算资源交互作用下的对资源k用量的额外节省/消耗，对第k类资源的基本消耗总量进行修正。公式(3)至公式(4)判断每个收益交互作用是否生效。对于任意v，当且仅当Mv集合中的项目全部被选择时，收益交互作用v才生效。其中，|Mv|表示收益交互作用v涉及的项目数量。类似地，公式(5)至公式(6)判断资源交互是否生效。公式(7)定义三类决策变量。由于该模型中的|Mv|,|Nu|可以大于等于2，因此，模型[M1]不局限于两项目间的相互作用，是多项目收益和资源交互作用下的项目组合选择问题的一般数学规划模型。

[M1] maxf=∑i∈Pbi·xi+∑v∈Vev·yv

(1)

(2)

(3)

yv≥∑i∈Mvxi-|Mv|+1,∀v∈V

(4)

(5)

zu>∑i∈Nuxi-|Nu|+1,∀u∈U

(6)

xi,yv,zu∈{0,1},∀i∈P,v∈V,u∈U

(7)

3 鲁棒优化模型

现实中的项目交互作用通常受到诸多关联复杂的因素影响，具有不确定性且难以估计其概率分布的特征。基于上述确定性优化模型[M1]，当项目交互作用不确定时，即参数ev和su,k不确定时，进一步构建鲁棒优化模型。

由于参数的概率信息未知，决策者对于任何可能发生的情景都没有概率上的把握。这里情景的含义是不确定参数集合{ev,su,k}的任意一个确定性的取值。由于，情景的好坏直接影响决策方案选择。尤其，糟糕的情景容易引起决策方案失效，如目标值没有达到最优，甚至决策方案不可行。因此，决策者做出的决策需要能在一定程度上应对糟糕的情况，即决策方案应具有一定的鲁棒性。

(8)

(9)

定义Υ,Γk满足约束条件(10)和(11)，分别控制目标和任意资源k的交互参数的不确定性程度。显然，Υ∈[0,1],Γk∈[0,1]。

∑vδv≤Υ·|V|

(10)

∑uσu,k≤Γk·|U|,∀k

(11)

基于以上不确定性和不确定性的控制参数的定义，建立鲁棒决策模型[M2]。在收益交互参数和目标交互参数的不确定程度(相对于标称值)分别保持在Υ和Γk前提之下，模型[M2]求解应对最坏情景的最优决策方案，即鲁棒决策方案，不妨记为x(Υ,Γk)。最坏情景是指使目标函数达到交互收益最小min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ]，且交互资源消耗量最多max[∑u∈Usu,k·zu|∑uσu,k≤Γk]的一组不确定参数的固定取值。

因此，当Υ,Γk取值越大，模型考虑的最坏情景越糟糕，求得的最优解的鲁棒性也越大。因此，通过设置参数Υ和Γk，可以调节解的鲁棒性。根据参数出现在模型[M2]中的位置(目标函数或资源约束)，不妨称Υ为目标鲁棒水平，称Γk为资源约束k的鲁棒水平。鲁棒控制参数Υ,Γk的引入，实现了不同决策者可以根据自身风险偏好灵活地控制解的鲁棒性，避免了传统的worst-case法造成的过度悲观和保守主义[11]。

然而，模型[M2]是非线性优化模型，难以求解。下面，为了将模型[M2]线性化，对其中的子模型进行推导。先将公式(12)中子优化模型min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ·|V|]转化为等价模型[M3]，具体证明见文献[11]。

同理地，模型[M2]中，公式(13)的子优化模型max[∑u∈Usu,k·zu|∑uσu,k≤Γk·|U|]可以转化为模型[M4]。

[M2] maxf=∑i∈Pbi·xi+min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ·|V|]

(12)

(13)

约束(3)-(7)，(10)-(11)

(14)

s.t.∑v∈Vζv≤Υ·|V|

(15)

0≤ζv≤1,∀v∈V

(16)

(17)

s.t. ∑u∈Uλu≤Γk·|U|

(18)

0≤λu≤1,∀u∈U

(19)

s.t. ∑v∈Vζv≤Υ·|V|

0≤ζv≤1,∀v∈V

s.t.∑u∈Uλu≤Γk·|U|

0≤λu≤1,∀u∈U

综合上述的模型推导过程，有以下定理成立。

定理：鲁棒优化模型[M2]等价于线性混合整数规划模型[M7]。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

ζv≥0,∀v∈V

(26)

λu≥0,∀u∈U

(27)ψk≥0,∀k∈R (28) 表1 项目基本收益和成本

φ≥0

(31)

约束(3)-(7)

证明：建立模型[M4]的对偶模型[M8]。根据强对偶理论，[M4]和[M8]最优解的目标值相等。

[M8] max -Υ·|V|·φ-∑v∈Vζv

ζv≥0,∀v∈V

φ≥0

同理，建立模型[M6]的对偶模型[M9]。

[M9] min Γk·|U|·ψk+∑u∈Uλu

λu≥0,∀u∈U

ψk≥0

对于任意给定的鲁棒水平Υ,Γk，容易求解线性混合整数规划模型[M7]，得到满足鲁棒水平为Υ,Γk的最优项目组合选择方案。

4 算例分析

4.1 算例描述

以国内某汽车企业投资研发项目为例。企业拟投资研发10个项目，经过市场勘察和调研，预计每个项目的收益和成本如表1所示。仅考虑资金这一种资源，研发预算不得超过300万。估计项目间的收益和成本交互作用如表2所示。项目收益和成本交互作用具有不确定性，表示为区间[a-ξ,a+ξ]的形式，并且，参数在取值区间上的概率分布未知。由于算例只考虑了资金这一种资源，不妨将上述模型中与k相关的变量或参数的下标k省略。

根据表2，分别对收益和成本交互作用重新编号，定义集合V={1,…,5},U={1,…,4}，|V|=5,|U|=4。

所有计算实验在CPU主频2.20GHz、内存8GB、64位操作系统配置的个人计算机上运行实现。优化模型均在软件MATLABR2013a上编译，调用CPLEX规划求解器求解。

表2 项目交互作用信息表

4.2 结果分析

不妨设置鲁棒水平为Υ=Γ=0.5，用CPLEX求解模型[M9]，耗时1.4426秒，得到的最优决策方案为x=(1,1,1,0,0,0,0,1,0,0)，即选择项目1，2，3，8构成的项目组合，总的收益目标值为3500。

为了研究不同鲁棒水平Υ和Γ对最优解的影响。分别设置目标鲁棒水平Υ和约束鲁棒水平Γ的取值从0.00到1.00，以0.01为间隔，共计10201个不同鲁棒水平的组合。计算每个鲁棒水平组合下的鲁棒最优解，统计结果，得到如图1所示的目标值随着两种鲁棒水平变化的情况。

从三维曲面图1可以看出，最优目标值分别随着鲁棒水平Υ和Γ的增加呈递减的趋势。考虑两个极端情况，当鲁棒水平为Υ=Γ=1，参数的不确定程度最大，求解的鲁棒最优决策方案为x=(0,0,1,0,0,1,0,1,0,0)，即选择项目3，6，8构成的项目组合，总收益目标值为3220。该决策方案是对应最坏情景的最优方案，即鲁棒性最高的决策方案。当Υ=Γ=0，最优解为x=(1,1,1,0,0,0,0,1,1,0)，即选择项目1，2，3，7，8构成的项目组合，总收益目标值为4360。该方案是不考虑参数不确定(参数等于标称值)的最优方案，方案的鲁棒性最低。

接着，对两种鲁棒水平进行敏感性分析，分别固定Υ和Γ其中之一为0.5，令另一参数取值从0到1变化(以0.01为间隔)。则最优目标值随着Υ和Γ分别变化的情况如图2所示。可以看出，随着Γ的增长，最优目标呈阶梯式下降；而随着Υ的增长，最优目标呈缓慢地逐渐下降。总体上看，最优目标值对资源鲁棒水平Γ的变动而改变的幅度更大，敏感性更高。

下面，对10201次实验的最优方案进行进一步统计分析，发现在所有的鲁棒水平组合下，最优的项目组合方案共计10组，各最优方案产生的频率如表3所示。从表3可以判断，决策者风险偏好未知的情况下(任意的鲁棒水平)，项目组合方案被选择的概率。例如，项目组合方案{1, 2, 3, 8}在10201次实验中，作为最优方案的次数最多，频率最高，共计2659次，频率为0.26。继续考察单个项目的选择情况，如图3项目选择频率条形图所示。可以看出，即使在项目交互作用不确定且决策者偏好不确定的情况下，项目3和项目8仍然具有较为稳定的优势，分别以68%和74%的概率被选择。而无论鲁棒水平如何，最优方案都没有选择项目10。

图1 不同目标和资源鲁棒水平组合下的 最优目标值

图2 鲁棒水平的敏感性分析

图3 项目选择的频率直方图

综上，决策者可以根据自身的风险偏好，通过调节鲁棒水平参数Υ和Γ灵活地控制方案的鲁棒性。并且，决策者可以统计和分析不同鲁棒水平下的最优项目组合以及单个项目被选择的情况，为进一步方案筛选和项目优劣势评价提供决策支持。

表3 最优项目组合方案统计表

5 结语

项目组合选择是项目管理领域最基本和最重要的决策问题之一。项目间交互作用和不确定性增加了项目组合选择问题的复杂性。本文创新性地考虑了项目间收益交互和资源交互作用不确定性的特征，建立了鲁棒性可调节的项目组合选择鲁棒优化模型，利用相关的优化理论，通过模型的逐步推导，建立对等的线性混合整数规划模型。例举一个研发项目组合案例，用CPLEX规划求解器求解。通过设置不同的鲁棒水平，进行了大量的计算实验，并对结果进行了多角度的分析。探索收益目标和资源约束的鲁棒水平对最优解的影响，统计最优方案以及单个项目被选择的情况。结果表明，该鲁棒优化模型可以灵活控制最优解的鲁棒性，适用于不同风险偏好的决策者，为项目管理者提供有效的决策支持。研究的下一阶段将致力于结合考虑决策主体不确定性的项目组合选择的鲁棒决策问题，设计综合考虑客观和主观不确定性的鲁棒决策支持系统。

[1] 李星梅, 魏涵静,乞建勋,等. 资源约束下可打断项目组合选择模型研究[J]. 中国管理科学, 2016, 24(11):40-46.

[2] Tavana M, Khalili-Damghani K, Abtahi A R. A fuzzy multidimensional multiple-choice knapsack model for project portfolio selection using an evolutionary algorithm[J]. Annals of Operations Research, 2013, 206(1): 449-483.

[3] Gutjahr W J, Froeschl K A. Project portfolio selection under uncertainty with outsourcing opportunities[J]. Flexible Services and Manufacturing Journal, 2013, 25(1-2): 255-281.

[4] Yu L, Wang Shouyang, Wen Fenghua, et al. Genetic algorithm-based multi-criteria project portfolio selection[J]. Annals of Operations Research, 2012, 197(1): 71-86.

[5] 寿涌毅, 姚伟建. 信息不确定下项目组合选择问题的鲁棒优化[J]. 系统工程, 2009, 27(7): 90-95.

[6] 杨颖, 杨善林, 胡小建. 基于战略一致性的新产品开发项目组合选择[J]. 系统工程理论与实践, 2014, 34(4): 964-970.

[7] Bas E. Surrogate relaxation of a fuzzy multidimensional 0-1 knapsack model by surrogate constraint normalization rules and a methodology for multi-attribute project portfolio selection[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2012, 25(5): 958-970.

[8] Liesiö J, Salo A. Scenario-based portfolio selection of investment projects with incomplete probability and utility information[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 217(1): 162-172.

[9] Perez F, Gomez T. Multiobjective project portfolio selection withfuzzy constraints[J]. Annals of Operations Research, 2014,245(1): 1-23.

[10] Huang Xiaoxia, Zhao Tianyi, Kudratova S. Uncertain mean-variance and mean-semivariance models for optimal project selection and scheduling[J]. Knowledge-Based Systems, 2016, 93: 1-11.

[11] Bertsimas D, Sim M. The price of robustness[J]. Operations Research, 2004, 52(1): 35-53.

[12] 陈涛, 黄钧, 朱建明. 基于信息更新的两阶段鲁棒-随机优化调配模型研究[J]. 中国管理科学, 2015, 23(10): 67-77.

[13] Shen Ruijun, Zhang Shuzhong. Robust portfolio selection based on a multi-stage scenario tree[J]. European Journal of Operational Research, 2008, 191(3): 864-887.

[14] 赵昊天, 贾传亮, 宋砚秋, 等. 不确定需求下航空超售问题的鲁棒优化研究[J].中国管理科学, 2013, 21(S1):98-102.

[15] Hassanzadeh F, Nemati H, Sun Minghe. Robust optimization for interactive multiobjective programming with imprecise information applied to R&D project portfolio selection[J]. European Journal of Operational Research, 2014, 238(1): 41-53.

[16] Fliedner T, Liesiö J. Adjustable robustness for multi-attribute project portfolio selection[J]. European Journal of Operational Research, 2016, 252(3): 931-946.

[17] Hassanzadeh F, Modarres M, Nemati H R, et al. A robust R&D project portfolio optimization model for pharmaceutical contract research organizations[J]. International Journal of Production Economics, 2014, 158: 18-27.

Robust Decision-Making of Project Portfolio SelectionwithUncertain Project Interactions

TAO Sha1,2, SHENG Zhao-han1,2，ZHU Jian-bo1,2

(1.School of Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China；2.Sino-Australia Collaborative Innovation Alliance for Megaproject Management in the Era of Internet+ and Big Data)

Project portfolio selection (PPS) is one of the most important basic problems in the field of project management. PPS is to select a subset of projects from candidates subject to resource capacity and some other constraints to realize one or more goals. By integrating some features, such as project interactions, parameter uncertainty and multiple objectives.The PSS is more complex and difficult to be solved. In practice, project interaction is influenced by many factors among which the relationships are uncertain and complicated.Consequently, the project interaction is usually with severer uncertainty and its probability distribution is difficult to estimate. Therefore, in this paper, the PSS problem with uncertain project interaction is investigated. At first, without considering uncertainty, the programming model is formulated to maximize the total profits for the PSS with two types of project interactions including profit interaction and resource consumption interaction. Then, the uncertainty of project interactions is taken into consideration. The uncertainty is defined as an interval with nominal value and the half-interval width. Two controller parameters called objective robustness level and constraint robustness level are also defined,which vary in the interval [0, 1].The objective robustness level and constraint robustness level control the robustness of objective function and constraints against the level of conservatism respectively. Based on the definitions of uncertainty as well as robustness level, the general robust optimization model is formulated.To solve the model, its robust counter part as a linear mix integer programming is derived on the basis of optimization theory. A case of R&D project portfolio selection is illustrated and numerous experiments are conducted to investigate the relationship among two robustness levels and the objective. Experiments show that the method can adjust the robustness of solutions, and thus can provide project managers who have different risk preferences with decision support.

project portfolio selection; project interaction; uncertainty;robust optimization; adjustable robustness

2014-08-07；

2017-01-06

国家自然科学基金重大项目(71390520,71390521)；国家自然科学基金项目(71571098,91646123,71671088,71501102，71471077)：南京大学优秀博士研究生创新能力提升计划资助项目(201601B034)；南京大学博士研究生创新创意研究计划资助项目(2016010)

盛昭瀚(1944-)，男(汉族)，江苏人，南京大学工程管理学院教授，博士生导师，研究方向：社会经济系统工程、社会科学计算实验等，E-mail:zhsheng@nju.edu.cn.

1003-207(2017)04-0190-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.023

C934

A