顺势而为溯源明道提炼优术

范志文

习题课是初中数学课堂教学的重要课型，如果教师在教学传授中方向不明、深度不够、方法不当，那么学生就看不清知识的发展趋势，不能明白知识的真谛，无法提升自身的学习能力，学生负担就会过重，总体效果也不明显.惟有深入研究试题，进而加深对课标和教材的理解，才会发现习题教学引导功能和教学价值，使教师的教学工作游刃有余.带着这些思考，笔者结合日常教学，通过具体案例谈谈个人对习题教学中的“取势、明道、优术”三个层面的认识.

一、且做且思提炼结论顺势而为

习题教学的最终目标是追求解题“随机而发，顺势而为”，从而使解题变得快速而精确，充满穿透力.提炼“基本结论”是解题高效的最好保障.当学生学会自觉地反思、推进、提炼的时候，解题将会充满乐趣.

例1如图1，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为.

解如图2，因为直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），且OD=5，⊙O的半径为13，所以D（3，4）在⊙O内，因此，过点D（3，4）的最短的弦BC与OD垂直.

连接OB.在Rt△BOD中，OB=13，OD=5，所以BD=12.故BC的长的最小值为24.

提炼结论过圆内一点的弦中，与过该点的直径垂直的弦最短.

例2如图3，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点.作正方形DEFG，连接AE，若DE=BC=2，将正方形DEFG绕点D旋转一定角度，当AE为最大值时，求AF的值.

解当正方形DEFG绕点旋转时，点E在以点D为圆心，2为半径的圆上，此时点A在该圆内，所以当线段AE经过点D时AE的值最大（如图4），这时AE=3，EF=2.又因为∠E=90°，所以由勾股定理，得AF=32+22=13.

提炼结论如图5，若点P不在⊙O上，射线OP交⊙O于M，射线OP的反向延长线交⊙O于N，则点P到⊙O上各点的距离中，点P到M的距离最小，点P到N的距离最大.

例3如图6，在平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（0，6），动点C在半径为3的⊙O上，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积最大值.

解如图7，因为△OAB为等腰直角三角形，所以AB=2OA=62.

当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大.

过O点作OD⊥AB于D，OD的反向延长线交⊙O于C，此时点C到AB的距离最大.OD=12AB=32，所以CD=OC+OD=3+32.

图8△ABC的面积为12AB·CD=12×62×（3+32）=92+18.

提炼结论如图8，直线l与⊙O相离，线段OP⊥l，垂足为P，交⊙O于点M，PO的延长线交⊙O于点N，则⊙O上各点到直线l的距离中，最小距离是PM，最大距离是PN.

例4如图9，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为.

解如图10，连接OP、OQ.由PQ是⊙O的切线，得QO⊥PQ.由勾股定理，得PQ=OP2-OQ2.因為OQ=3是定值，所以当OP最小时，线段PQ最小，即当PO⊥AB时，线段PQ最短.

在Rt△AOB中，OA=OB=32，

所以AB=2OA=6，OP=OA·OBAB=3.

所以PQ=OP2-OQ2=32-12=22.

即PQ的最小值为22.

提炼结论直线l与半径为r的⊙O相离，圆心O到直线l的距离为d，点P为直线l上任一点，PA与⊙O相切于点A，则PA的最小值是d2-r2.

显然，有了这些结论的提炼，学生可以摸透命题的态势和发展走向，解题顺势而为，并且可以借鉴这些结论举一反三，触类傍通，轻松解决同一类型的数学问题.基本结论无穷尽，常做有心人，且思且提炼.

二、回归课本探究本质溯源明道

“以课本为根本”一直是数学命题的一大特色，习题教学中应重视探究习题的原型，课本内的“母题”.以最短问题为例，形式各异的考题一般都是从课本出发，再加以引申和改编.

例5已知，如图11，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA的距离之和最小.

解析如图12，作M关于直线OB的对称点M1，作M1Q⊥OA，交OB于点P，则点P为所求点，连接PM，此时PM+PQ为最小.

课本原型探究“造桥选址”：如图13，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥EF，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解析如图14，过点A作直线垂直于河边，在直线上截取AC等于桥长，然后连接CB交河边于点F，最后过点F作FE垂直于河边.则EF即为所求的架设桥的地点.分析出“AE+BF”转化为“CF+FB”，从而实现了问题的求解.

例6已知，如图15，∠MON=30°，A为OM上一点，OA=5，D为ON上一点，OD=12，C为射线AM上任意一点，B为线段OD上任意一点，求拆线AB-BC-CD的长度的最小值.

解析如图16，作点D关于OM的对称点D′，作点A关于ON的对称点A′，连接A′D′，分别交OM，ON于点C，B，则拆线长最小值为AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′.在直角三角形A′OD′中，∠A′OD′=90°，OD′=12，OA′=5，所以A′D′=13，即折线AB-BC-CD的长度的最小值为13.

课本原型探究“将军饮马”：如图17，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？

解析如图18，作点A关于河岸的对称点A1，连接A1B，交河岸于P点，边接AP，则AP+PB就是最短路径.很显然“AP+PB”最小转化为“A1P+PB”最小，利用“两点之间线段最短”.

通过课本原型探究，不仅可以让学生充分认识到“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”是最短问题的核心依据，掌握“平移、旋转、翻折”等基本方法；熟练运用“作图、计算、推理”等基本手段，而且让学生明白了知识的真谛，成就了解题的大智慧.

三、一题多解舍繁求简提炼优术

习题教学既要关注方法的多样化，又对方法进行优化，那么教学效果定能明显提高.通过方法比较，使学生从多个角度思考问题，形成多样化的问题解决意识，又帮助学生舍繁求简，归纳提炼了思考问题的基本方法和途径.

例7（2015宁波中考例卷）如图19，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E、F分别在AB，BC，AC上，DE⊥BC，DF⊥AC，则EF的最小值是.

解设DF=x，由题设知DF∥CE，则△AFD～△ABC，则AF=43x，FC=8-43x，EF=FC2+CE2=43x2+8-43x2，即EF=259x2-693x+64，根据二次函数可求出EF的最小值为4.8.

方法优化如图20，连接CD，由题设可知四边形FDEC为矩形，则CD=EF，故EF的最小值可转化为求CD的最小值，所以当CD⊥AB时，CD最小，利用“等积法”易求出此时CD的最小值为4.8.

例8如图21，△ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D、E，求DE的长.

解设△ABC内切圆的半径为r，BC边上的高为h.由三角形的面积公式得12r·AB+12r·AC+12r·BC=12h·BC，即12r×（7+8+9）=12h×8，所以r=13h.因为DE∥BC，所以△ADE～△ABC，DEBC=h-rh，即DE8=h-13hh，所以DE=163.

方法优化如图22，连接BI、CI，因为⊙I为△ABC的内切圆，所以∠DBI=∠CBI.因为DE∥BC，所以∠DBI=∠IBC，∠DBI=∠DIB，所以DI=DB.同理IE=EC，所以DE=DI+IE=DB+EC.所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC=16.因为DE∥BC，所以△ADE～△ABC.所以C△ADEC△ABC=DEBC，即1624=DE8.所以DE=163.

例9如图23，已知四边形ABCD為直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面积.

解如图24，作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别M，N.设AB=m，PM=x，PN=y，则x2+y2=4，

x2+（m-y）2=1，

（m-x）2-y2=9， 解得m2=5±22.由题设取m2=5+22，

故S梯形ABCD=m·m2+m2=34m2=154+322.

图25方法优化如图25，将△APB绕点B顺时针旋转90°得△CBE.连接PE，则△PBE为等腰直角三角形，∠PEB=45°，所以PE2=BP2+BE2=8，EC2=1.所以PE2+CE2=9=PC2，故∠PEC=90°，∠BEC=135°，作BF⊥CE交CE延长线于点F，则∠BEF=45°，

所以BF=EF=22BE=2，FC=2+1，

于是BC2=BF2+FC2=5+22.

故S梯形ABCD=12（AD+BC）AB=34BC2=154+322.

一个好的解题方法，一定有方法常用、思路常见、运算简洁等特征，以上三个例题的优化方法正是如此，不仅大大简化了运算过程，解题中所涉及的知识与方法都是平时学习中经常出现，反复用到了.通过这种对比，能够激发学生主动探索的欲望，从不同的角度去研究一个题目的解法，寻找更有价值的解题方法，从而大大提升自身的数学水平和解题技巧.

“顺势而为”是让学生看清命题的发展趋势及导向，“势”往往无形，却具有方向；“溯源明道”让学生回归教材，明白知识的规律、原则，明确自己的学习方向，摆正自己的位置；“提炼优术”让学生不断提升方法，探索和积累实用的策略，积淀适合于自己的解题经验.

【参考文献】

[1]范建兵.追“本”溯源，品味“最短问题”[J].中学数学（下），2014（2）.

[2]田传弟.聚焦中考热点之圆中的几何最值问题[J].中学数学（下），2014（4）.